Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya untuk Bahan Belajar

Uyo Yahya 13min read

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya untuk Bahan Belajar – Salah satu materi dalam mata pelajaran Matematika ada yang namanya Kedudukan Titik terhadap Lingkaran. ✍️⭕️

Materi ini banyak melibatkan rumus-rumus persamaan dan juga pertidaksamaan sehingga dengan dasar kuat dari keduanya, penguasaannya tidaklah terlalu sulit.

Kamu bisa kuasai materi ini dengan rajin mempelajari contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang bisa kamu mulai di laman ini. Yuk, simak keseluruhan artikelnya di bawah ini! 👇

Seperti Apa Kedudukan Titik terhadap Lingkaran?

canva.com/@BiancaMarieArreola

Sebelum jauh membahas contoh soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran, ada baiknya kamu pahami dulu seperti apa kemungkinan yang dimiliki oleh titik-titik tersebut.

Ada 3 kemungkinan posisi atau kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak tepat pada garis lengkung lingkaran.

Penentuan titik-titik ini bisa kamu lakukan dengan mudah bila tergambar pada suatu bidang. Hanya saja hal tersebut kurang efektif karena membutuhkan waktu lebih lama.

Maka dari itu, ada cara di mana kamu bisa menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran tanpa harus menggambarnya di suatu bidang Kartesius. Caranya adalah dengan mengetahui rumus persamaan lingkaran berikut ini:

  1. Bila pusatnya P (0,0) dan jari-jarinya r, maka bentuk persamaannya x2 + y2 = r2
  2. Jika pusatnya P (a,b) dan jari-jarinya r, maka bentuk persamaannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2
  3. Jika pusatnya P(-1/2A, -1/2B) dan jari-jarinya r =√1/4 A2 + 1/4 B2 – C , maka bentuk persamaannya x2 + y2 +Ax + By + C = 0

Nah, itulah rumus persamaan lingkaran yang akan berguna untuk menentukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran.

Baca Juga :

Contoh Soal Vektor Matematika Kelas 11 SMA dan Pembahasannya Kurikulum Merdeka

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran 

Yuk, pelajari beberapa contoh soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran berikut ini:

Contoh Soal 1

Tentukanlah posisi titik (3,4) terhadap lingkaran x2 +y2 = 36 !

Pembahasan:

Untuk bisa menentukan posisi dari titik (x1,y1) terhadap lingkaran x2 +y2 = r2, maka kamu bisa membandingkan nilai x12 + y12 dengan r2.

  1. Apabila x12 + y12 > r2, maka titik terletak di luar lingkaran.
  2. Apabila x12 + y12 = r2, maka titik tepat pada lingkaran.
  3. Apabila x12 + y12 < r2, maka titik berada di dalam lingkaran

Pada soal ini diketahui bahwa titik (3,4), sehingga x1 = 3 dan y1 = 4. 

Maka, persamaan lingkarannya adalah  x2 +y2 = 36, sehingga r2 = 36.

Selanjutnya, hitunglah nilai dari x12 + y12 :

32 + 42 = 9 + 16 = 25

Lalu, bandingkan 25 dengan r2 = 36 : 

25 < 6

Dikarenakan 32 + 42 < 36, maka posisi atau kedudukan dari titik (3,4) berada di dalam lingkaran.

Contoh Soal 2

Tentukanlah posisi atau kedudukan titik (-6, 0) terhadap lingkaran x2 +y2 = 25 !

Pembahasan:

Contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang kedua ini juga sama seperti yang pertama yaitu membandingkan nilai x12 + y12 dengan r2.

Titik pada soal ini adalah (-6,0), maka x1 = -6 dan y1 = 0 dengan persamaan lingkaran x2 +y2 = 25, sehingga nilai dari r2 = 25.

Dari sini kita bisa hitung nilai dari x12 + y12 :

(-6)2 + 02 = 36 + 0 = 36

Baca Juga :

10 Contoh Soal TKA Bahasa Inggris Kelas 12 SMA dan Kunci Jawabannya

Lalu, bandingkanlah 36 dengan r2 = 25 : 

36 > 25

Maka dari itu, dikarenakan (-6)2 + 0 > 25 maka posisi titik (-6,0) berada di luar lingkaran.

Contoh Soal 3

Tentukan kedudukan titik (5, 6) terhadap lingkaran dengan persamaan (x−2)2 +(y−3)2 = 25.

Pembahasan:

Agar bisa menemukan posisi atau kedudukan dari titik (x1,y1) terhadap lingkaran yang memiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka kita harus substitusikan koordinat titik titik dengan persamaan lingkaran.

  1. Bila (x – a)2 + (y – b)2 > r2, maka titik tersebut letaknya berada di luar lingkaran.
  2. Bila (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka titik tersebut letaknya berada pada lingkaran.
  3. Bila (x – a)2 + (y – b)2 < r2, maka titik tersebut letaknya berada di dalam lingkaran.

Di soal yang ini, diketahui titiknya adalah (5,6) maka x1 = 5 dan y1 = 6. 

Lalu persamaan lingkarannya adalah (x−2)2 +(y−3)2 = 25, sehingga a = 2, b = 3, dan r2 = 25.

Pertama, mari substitusikan nilai dari x1 dan y2 ke dalam ruas kiri dari persamaan, sehingga:

(5 – 2)2 + (6 – 3)2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 

Setelah itu, bandingkanlah hasil dari r2 = 25:

18 < 25

Maka, dikarenakan (5 – 2)2 + (6 – 3)2 < 25, dapat dipastikan bahwa posisi titik (5,6) berada di dalam lingkaran tersebut.

Contoh Soal 4

Tentukanlah kedudukan dari titik (1, -1) terhadap lingkaran dengan persamaan (x+1)2 +(y−2)2 = 9.

Pembahasan:

Pada contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran keempat ini, titiknya diketahui adalah (1, -1), maka x1 = 1 dan y1 = -1 dengan persamaan linkgarannya adalah (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9, maka a = -1, b = 2, dan r2 = 9.

Substitusikan nilai x1 dan y1 ke dalam persamaan bagian ruas kiri, sehingga didapat:

(1 + 1)2 + (-1 – 1)2 = 22 + (-3)2 = 4 + 9 = 13

Selanjutnya, bandingkan hasil tersebut dengan r2 = 0, maka:

13 > 9

Dengan alasan (1 + 1)2 + (-1 – 1)2 > 9, maka posisi atau kedudukan titik (1, -1) terletak di luar lingkaran.

Baca Juga :

Jawaban Bahasa Inggris Tingkat Lanjut Kelas 12 SMA Halaman 3 dan 4 Kurikulum Merdeka

Contoh Soal 5

Tentukanlah nilai p agar titik (p,1) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0.

Pembahasan:

Untuk menentukan kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran x2 +y2 + 4x + By + C = 0, kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran.

  1. Bila x12 + y12 + Ax1 +By1 + C > 0, maka titik terletak di luar lingkaran.
  2. Jika x12 + y12 + Ax1 +By1 + C = 0, maka titik terletak pada lingkaran.
  3. Apabila x12 + y12 + Ax1 +By1 + C < 0, maka titik terletak di dalam lingkaran.

Pada contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang terakhir ini diketahui bahwa titiknya adalah (p, 1), maka x1 = p dan y1 = 1. Lalu, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0.

Dikarenakan titik (p, 1) letaknya ada di dalam lingkaran, maka kita harus bisa memenuhi kondisi berikut ini:

x12 + y12 + 4x1 +2y1 – 4 < 0

Pertama, substitusikan terlebih dahulu nilai dari x1 = p dan y1 = 1 seperti ini:

p2 + 12 – 4(p) + 2(1) – 4 < 0

P2 + 1 – 4p + 2 – 4 < 0

p2 – 4p – 1 < 0

Selanjutnya, untuk bisa menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, amaka kita harus cari terlebih dahulu akar-akar yang ada di dalam persamaan p2 – 4p – 1 = 0 yang bisa dilakukand dengan menggunakan rumus ABC:

p = -b +- b2 – 4ac / 2a

p = – (-4) +- (-4)2 – 4 (1) (-1) / 2 (1)

p = 4 +- 16 + 4 / 2

p = 4 +- 20 / 2

p = 4 +- 2 5 / 2

p = 2 +- 5

Maka, ditemukanlah akar-akar dari p1 = 2 – 5 dan p2 = 2 + 5.

Dengan pertidaksamaan p2 – 4p – 1 < 0 dan koefisien dari p2 yang merupakan 1 nilainya adalah positif, maka yang merupakan daerah penyelesaiannya terletak di antara kedua akar.

Maka dari itu, nilai p agar titik (p, 1) berada di dalam lingkaran adalah 2 – 5 < p < 2 + 5.

Baca Juga :

Jawaban Bahasa Inggris Tingkat Lanjut Kelas 12 SMA Halaman 5 6 7 Kurikulum Merdeka

Penutup

Itulah beberapa contoh soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran yang bisa kamu jadikan bahan belajar tambahan baik di sekolah maupun di rumah.✍️⭕️

Dengan semakin banyak mempelajari contoh soal spesifik pada materi ini, sudah pasti penguasaan dan pemahamanmu terhadap materi ini jadi semakin dalam.

Saat ada ulangan harian mengenai materi ini atau saat muncul di UAS atau UTS, pastinya jadi lebih lihai mengerjakan karena sudah tahu cara-cara penyelesaiannya.

Terima kasih telah menyimak hingga titik ini. Semoga bermanfaat!😊

FAQ

Bagaimana kedudukan titik terhadap lingkaran?

Kedudukan titik terhadap lingkaran terbagi ke dalam tiga kondisi, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak pada garis lengkung lingkaran.

Bagaimana cara menemukan titik-titik pada lingkaran?

Untuk mencari titik-titik pada lingkaran, gunakan persamaan lingkaran dalam bentuk standar yaitu (x−h)2+(y−k)2=r2 , dimana (h,k) merupakan pusat lingkaran, dan r merupakan jari-jari lingkaran. Pasangan terurut (x,y) merupakan sembarang titik pada lingkaran.

Apa saja kedudukan lingkaran?

Terdapat beberapa kemungkinan kedudukan dua lingkaran yaitu berpotongan, bersinggungan, atau tidak berpotongan/bersinggungan, semuanya tergantung pada jarak antara pusat dan jari-jari dari masing-masing lingkaran.

Apakah lingkaran merupakan tempat kedudukan titik yang berjarak sama?

Ya, lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Dimana letak titik pusat lingkaran?

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Titik O merupakan titik pusat lingkaran.

Referensi:

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta