Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan 2 beserta Pembahasannya
Pernah merasa stuck dan putus asa saat mengerjakan contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan 2? Tenang, kamu tidak sendiri. Masih banyak yang menganggap bahwa materi persamaan diferensial sangat sulit dengan adanya simbol-simbol. 📏😵💫
Dengan memahami pola persamaan diferensial, kamu bisa mengerjakan berbagai macam contoh soal. Ingin menguji pemahaman dan kemampuanmu dalam menjawab soal? Simak contoh-contohnya berikut.
Daftar Isi
Daftar Isi
Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan 2 dan Pembahasannya
Sebelum mengerjakan contoh soal persamaan diferensial, pahami terlebih dahulu konsep dasarnya. Dengan demikian, saat diminta mengerjakan soal yang lebih kompleks, kamu tidak akan kesulitan.
Materi persamaan diferensial biasanya dipelajari di bangku kuliah pada jurusan tertentu. Misalnya Jurusan Teknik, Jurusan Fisika, Jurusan Matematika, dan jurusan lain yang memerlukan pemodelan matematis.
Banyak mahasiswa mengulang mata kuliah ini bukan karena tidak paham, tapi terlalu fokus pada simbol dan bukan logikanya.
Yuk, kita mulai dengan belajar konsep persamaan diferensial.
Bayangkan kamu sedang mengendarai motor dengan kecepatan dan jarak tertentu. Jarak yang kamu tempuh disebut fungsi (y), sedangkan kecepatan motormu (perubahan jarak per detik) disebut turunan pertama (y’ atau dy/dx).
Apabila ada akselerasi atau perubahan kecepatan per detik, maka disebut turunan kedua (y” atau d2y/dx2 ).
Persamaan diferensial ibarat teka-teki yang menanyakan sampai level kecepatan (y’) atau sudah sampai ke level akselerasi (y”). Tujuan akhirnya adalah mencari nilai y.
Secara definisi, persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi. Pada persamaan diferensial orde 1, terdapat turunan pertama dy/dx contohnya y’= f(x,y). Sedangkan persamaan diferensial orde 2, terdapat turunan kedua d2y/dx2.
Sekarang, kamu bisa menguji pemahamanmu dengan soal-soal berikut ini.
Tingkat Kesulitan: Mudah (Pemahaman Konsep Dasar)
1. Manakah di bawah ini yang merupakan Persamaan Diferensial Orde 2?
A. (dy/dx)² + y = x
B. d²y/dx² + 3(dy/dx) – y = 0
C. dy/dx + 2y = x² D. y”’ – y = 0
E. x(dy/dx) – y = 0
Jawaban: B
Pembahasan: Orde ditentukan oleh turunan tertinggi. Opsi B memiliki d²y/dx² (turunan kedua) sebagai turunan tertingginya, sehingga merupakan PD orde 2.
2. Solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx = 3x² adalah…
A. y = 3x³ + C
B. y = x³ + C
C. y = 6x + C
D. y = x² + C
E. y = 3x + C
Jawaban: B Pembahasan: dy = 3x² dx
Integralkan kedua ruas:
∫ dy = ∫ 3x² dx
y = x³ + C
3. Tentukan solusi umum dari y’ – 2y = 0.
A. y = Ce²ˣ
B. y = Ce⁻²ˣ
C. y = e²ˣ
D. y = 2eˣ + C
E. y = eˣ + C
Jawaban: A
Pembahasan:
dy/dx = 2y
dy/y = 2 dx
∫ 1/y dy = ∫ 2 dx
ln|y| = 2x + C₁
y = e^(2x + C₁) = e^C₁ . e²ˣ
y = Ce²ˣ
4. Persamaan karakteristik dari y” – 5y’ + 6y = 0 adalah…
A. r² + 5r + 6 = 0
B. r² – 5r – 6 = 0
C. r² – 5r + 6 = 0
D. 2r² – 5r + 6 = 0
E. r – 5 = 0
Jawaban: C
Pembahasan: Ganti y” dengan r², y’ dengan r, dan y dengan 1. Maka didapatkan persamaan karakteristik r² – 5r + 6 = 0.
5. Akar-akar persamaan karakteristik dari y” – 3y’ + 2y = 0 adalah…
A. 1 dan 2
B. -1 dan -2
C. 1 dan -2
D. -1 dan 2
E. 3 dan 2
Jawaban: A
Pembahasan:
Persamaan: r² – 3r + 2 = 0
Faktorkan: (r – 1)(r – 2) = 0
Maka akar-akarnya adalah r = 1 dan r = 2
Tingkat Kesulitan: Sedang (Aplikasi Rumus & Ketelitian)
1. Solusi umum dari y” – 4y’ + 4y = 0 adalah…
A. y = C₁e²ˣ + C₂e²ˣ
B. y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
C. y = (C₁ + C₂x)e²ˣ
D. y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ
E. y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)
Jawaban: C
Pembahasan:
Persamaan karakteristik: r² – 4r + 4 = 0
(r – 2)² = 0. Akar kembar r = 2.
Rumus akar kembar:
y = (C₁ + C₂x)eʳˣ
y = (C₁ + C₂x)e²ˣ
2. Berapa solusi khusus dari dy/dx = x, dengan syarat y(0) = 2.
A. y = ½x² + 2
B. y = x² + 2
C. y = ½x² – 2
D. y = ½x² + C
E. y = 2x² + 2
Jawaban: A
Pembahasan:
Solusi umum: y = ½x² + C.
Substitusi syarat y(0) = 2: 2 = ½(0)² + C
C = 2
Jadi, y = ½x² + 2
3. Faktor integrasi dari persamaan linear dy/dx + (2/x)y = 3 adalah…
A. e²ˣ
B. ln(x)
C. x²
D. 1/x
E. 2/x
Jawaban: C
Pembahasan:
Bentuk umumnya adalah: y’ + P(x)y = Q(x)
Di sini P(x) = 2/x
Faktor Integrasi (µ) = e^(∫ P(x) dx)
µ = e^(∫ 2/x dx)
= e^(2 ln x)
= e^(ln x²)
= x²
4. Bentuk persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan memisahkan variabel adalah…
A. dy/dx = x + y
B. dy/dx = xy
C. dy/dx = sin(x + y)
D. dy/dx = x² + y²
E. y” + y = x
Jawaban: B
Pembahasan: dy/dx = xy
dapat diubah menjadi (1/y) dy = x dx.
Pilihan jawaban yang lain tidak dapat dipisah secara langsung.
Tingkat Kesulitan: Sulit
1. Diketahui terdapat sebuah benda yang bergerak dengan laju perubahan suhu yang sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu ruangan (Hukum Pendinginan Newton). Persamaan diferensialnya adalah…
A. dT/dt = k(T + Tm)
B. dT/dt = k(T – Tm)
C. dT/dt = k(T)
D. d²T/dt² = k(T – Tm)
E. dT/dt = kT
Jawaban: B
Pembahasan:
Laju perubahan (dT/dt) sebanding (= k) dengan selisih suhu (T – Tm).
Karena suhu biasanya turun, k bernilai negatif, atau ditulis dT/dt = -k(T-Tm).
Bentuk umumnya adalah pilihan B (k bisa positif atau negatif tergantung konteks soal, tapi strukturnya T – Tm)
Soal Esai
Soal 1
d²y/dx² – 5(dy/dx) + 6y = 0
Jawaban: y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
Pembahasan:
Ubah ke persamaan karakteristik dengan mengganti d²y/dx² dengan r², dy/dx dengan r, dan y dengan 1. r² – 5r + 6 = 0
Faktorkan Persamaan dengan mencari dua angka yang jika dikali hasilnya 6, tetapi jika dijumlah hasilnya -5. Angka tersebut adalah -2 dan -3. Maka, (r – 2)(r – 3) = 0
Cari akar-akarnya: r₁ = 2 dan r₂ = 3
Tentukan solusi umum: Karena akar-akarnya bilangan riil dan berbeda (r₁ ≠ r₂), maka rumusnya adalah
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x). y
y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
Soal 2
d²y/dx² + 4(dy/dx) + 4y = 0
Jawaban: y = (C₁ + C₂x)e^(-2x)
Pembahasan:
Ubah ke persamaan karakteristik: r² + 4r + 4 = 0
Faktorkan persamaan dengan mencari dua angka yang jika dikali hasilnya 4, dan dijumlah hasilnya 4. Angka tersebut adalah 2 dan 2 (kembar). Maka (r + 2)(r + 2) = 0 atau (r + 2)² = 0
Cari akar-akarnya: r₁ = r₂ = -2 (Akar kembar)
Tentukan solusi umum: Untuk akar riil kembar, kamu harus menambahkan variabel “x” pada salah satu konstanta agar solusinya tidak sama.
Rumusnya: y = (C₁ + C₂x)e^(rx). y
y = (C₁ + C₂x)e^(-2x)
Soal 3
d²y/dx² + 9y = 0
Jawaban: y = C₁ cos(3x) + C₂ sin(3x)
Pembahasan:
Ubah ke Persamaan Karakteristik: r² + 9 = 0
Cari akar-akarnya: r² = -9 r = ±√(-9) r = ±3i (Akar imajiner/kompleks) Di sini, nilai α (bagian riil) = 0 dan β (bagian imajiner) = 3.
Tentukan solusi umum: Rumus untuk akar imajiner (α ± βi) adalah
y = e^(αx) [C₁ cos(βx) + C₂ sin(βx)]
y = e^(0x) [C₁ cos(3x) + C₂ sin(3x)]
Karena e⁰ = 1, maka
y = C₁ cos(3x) + C₂ sin(3x)
Tips Mengerjakan Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan 2
Terapkan tips-tips mengerjakan soal persamaan diferensial orde 1 dan 2 agar lebih mudah:
1. Identifikasi orde dan linearitas dari kalimat yang diketahui pada soal. Jika hanya ada dy/dx atau y’, artinya Orde 1. Jika ada d²y/dx² atau y”, artinya Orde 2. Perlu kamu ketahui bahwa jumlah orde turut menentukan jumlah konstanta (c) pada jawaban akhir. Orde 1 hanya memiliki satu C, sedangkan Orde 2 memiliki dua C (C₁ dan C₂).
2. Gunakan metode yang tepat untuk tiap soal karena tidak semua soal bisa diselesaikan hanya dengan satu cara.
Saat mengerjakan Orde 1, periksa terlebih dahulu apakah variabelnya dapat dipisah atau tidak. Jika tidak bisa, gunakan Faktor Integrasi. Saat mengerjakan Orde 2, lihat ruas kanan jika sudah bernilai 0 gunakan Persamaan Karakteristik (r² + br + c = 0).
3. Belajar materi integral akan memudahkanmu dalam menyelesaikan soal-soal persamaan diferensial. Hafalkan integral dasar seperti
- ∫ xⁿ dx = (1/n+1) xⁿ⁺¹ + C
- ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
- ∫ eᵃˣ dx = (1/a) eᵃˣ + C
4. Jangan anggap remeh konstanta “C”. Huruf C menunjukkan terdapat banyak kemungkinan fungsi asal yang memiliki turunan sama, sehingga wajib dicantumkan.
5. Lakukan verifikasi untuk mengetahui kebenaran jawabanmu. Caranya dengan menurunkan kembali fungsi jawaban yang sudah kamu dapatkan. Jika hasil turunannya sama seperti soal semula, maka jawabanmu sudah benar.
Penutup
Demikian informasi contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan 2 yang dapat kamu jadikan referensi belajar.
Jika masih mengalami kesulitan dalam mengerjakan contoh-contoh soal terkait persamaan diferensial orde 1 dan 2, kamu bisa mencari sumber belajar lain.
Jangan lupa terus berlatih mengerjakan soal persamaan diferensial dengan berbagai tingkat kesulitan agar semakin terbiasa.
Kamu juga bisa mendapatkan informasi materi belajar yang lain di blog Mamikos. Semoga bermanfaat! ☺️
Referensi:
Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu [Daring]. Tautan: https://mathcyber1997.com/soal-latihan-penyelesaian-persamaan-diferensial-linear-orde-satu/
Teknik Kendali Persamaan Linier Diferensial Orde 1 dan 2 [Daring]. Tautan: https://materiajar.jayabaya.ac.id/Aqil_Aqthobirrobbany_S__T__M__Eng__03102024115909_Pertemuan_3_-_Teknik_Kendali_-_Kelas_Pagi.pdf
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: