8 Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam beserta Gambar dan Pembahasannya

8 Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam beserta Gambar dan Pembahasannya – Mempelajari garis singgung persekutuan dalam akan terasa lebih mudah jika kamu langsung mengerjakan soal tentang materi terkait, lho.

Perlahan, kamu akan menjadi terbiasa menggunakan rumus dan memecahkan soal dengan mudah. Sehingga proses belajarmu akan lebih efektif. 📖✨

Oleh karena itu, Mamikos telah menyiapkan pembahasan tentang contoh soal garis singgung persekutuan dalam beserta gambar di artikel ini. Namun sebelum itu, ingat kembali, yuk, materi garis singgung yang sudah dipelajari di sekolah! 😉

Sekilas Materi Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyentuh masing-masing dari dua lingkaran pada satu titik, dengan kedua lingkaran berada di sisi yang berlawanan dari garis tersebut.

Garis ini selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di titik singgungnya dan posisinya berada di antara kedua lingkaran.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam

Misalkan dua lingkaran memiliki jari-jari r₁ dan r₂, dengan jarak antar pusat s. Panjang garis singgung persekutuan dalam (d) dapat dihitung dengan rumus:

d = √(s² − (r₁ + r₂)²)

Rumus ini berlaku jika jarak pusat lingkaran lebih besar daripada jumlah jari-jari, yaitu s > r₁ + r₂.

Contoh Gambar dan Cara Menggambar

Garis singgung persekutuan dalam menghubungkan titik singgung pada masing-masing lingkaran. Titik singgung digambar sedemikian rupa sehingga garis singgung tegak lurus dengan jari-jari yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik singgung tersebut.

Perhatikan gambar di bawah ini, ya.

Pembahasan Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam beserta Gambar

Nah, dari ringkasan materi di atas, sekarang kamu bisa memulai untuk belajar menggunakan contoh soal yang terdiri dari 8 nomor ini, ya. Perhatikan setiap langkah pengerjaan agar kamu semakin paham. Selamat belajar!

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Bagian 1

1. Perhatikan gambar berikut ini!

Dari satu titik P di luar sebuah lingkaran ditarik dua garis singgung yang menyentuh lingkaran di titik Q dan R. Diketahui panjang jari-jari lingkaran OQ = 8 cm dan jarak dari pusat lingkaran ke titik luar OP = 17 cm. Tentukan:

a. Panjang PQ
b. Luas segitiga OPQ
c. Luas layang-layang PQOR

Pembahasan:

Diketahui:
OQ = 8 cm
OP = 17 cm
OQ tegak lurus PQ (karena garis dari pusat ke titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singgung).

a. Panjang PQ

Pada segitiga OPQ, berlaku teorema Pythagoras:
OP² = OQ² + PQ²

Maka:
PQ² = 17² – 8²
PQ² = 289 – 64
PQ² = 225
PQ = √225 = 15

Jadi, panjang PQ = 15 cm.

b. Luas segitiga OPQ

Karena segitiga OPQ siku-siku di Q, maka:
Luas = ½ × alas × tinggi
= ½ × PQ × OQ
= ½ × 15 × 8
= 60 cm²

Jadi, luas segitiga OPQ = 60 cm².

c. Luas layang-layang PQOR

Layang-layang PQOR terbentuk dari dua segitiga kongruen, yaitu segitiga OPQ dan segitiga OPR. Maka luas layang-layang = 2 × luas segitiga OPQ.

Luas = 2 × 60 = 120 cm²

Jadi, luas layang-layang PQOR = 120 cm².

2. Titik O adalah pusat sebuah lingkaran. Diketahui sudut OPA = (2x + 10)° dan sudut POA = (4x + 8)°. Tentukan nilai x dari gambar di bawah ini.

Pembahasan:

Karena O adalah pusat, OP dan OA adalah jari-jari sehingga OP = OA. Jadi segitiga OPA adalah segitiga sama kaki dengan sudut di P dan di A sama besar. Artinya sudut di A = sudut di P.

Jumlah tiga sudut dalam segitiga = 180°, maka:
2 × sudut di P + sudut di O = 180°

Substitusi nilai yang diberikan:
2 × (2x + 10) + (4x + 8) = 180

Hitung langkah demi langkah:
2 × (2x + 10) = 4x + 20

Sehingga persamaan jadi: (4x + 20) + (4x + 8) = 180
Gabungkan suku-suku: 4x + 4x + 20 + 8 = 180 → 8x + 28 = 180
Kurangi 28 dari kedua sisi: 8x = 180 − 28 = 152
Bagi kedua sisi dengan 8: x = 152 ÷ 8 = 19

Jadi nilai x = 19.

3. Pada gambar di bawah ini, diketahui PA merupakan garis singgung terhadap sebuah lingkaran dengan pusat O. Panjang jari-jari lingkaran adalah 16 cm, dan panjang garis singgung PA = 30 cm. Tentukan panjang PO.

Pembahasan:

Karena PA adalah garis singgung, maka jari-jari OA tegak lurus pada garis singgung PA.
Dengan demikian, segitiga OAP adalah segitiga siku-siku di titik A.

Diketahui:
OA = 16 cm
PA = 30 cm

Maka untuk mencari PO digunakan teorema Pythagoras:
PO² = OA² + PA²

Hitung satu per satu:
OA² = 16² = 256
PA² = 30² = 900
PO² = 256 + 900 = 1156

Akar dari 1156 adalah 34.

Jadi, panjang PO = 34 cm.

4. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dua lingkaran masing-masing memiliki jari-jari PS = 37 cm dan QR = 13 cm. Jarak antara pusat kedua lingkaran PQ = 74 cm. Tentukan panjang garis singgung SR yang menghubungkan kedua lingkaran.

Pembahasan:

Rumus panjang garis singgung persekutuan luar:
SR² = (PQ)² − (selisih jari-jari)²

Masukkan data:
SR² = 74² − (37 − 13)²
SR² = 5476 − 24²
SR² = 5476 − 576
SR² = 4900

Maka:
SR = √4900 = 70

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Bagian 2

5. Diketahui segitiga PQR seperti gambar berikut dengan PQ = jari-jari lingkaran. Jika segitiga PQR siku-siku, tentukan pernyataan mana yang benar:

a. ∠PRQ = 30°
b. ∠RPQ = 60°
c. ∠PQR = 90°
d. ∠PRQ + ∠RPQ = 180°

Pembahasan

1. Karena segitiga PQR siku-siku, satu sudut = 90°.

2. Sudut siku-siku selalu pada satu titik, jumlah dua sudut lain = 90°.

Opsi:

a. ∠PRQ = 30° → mungkin, tapi tidak pasti dari info yang ada

b. ∠RPQ = 60° → mungkin, tapi tidak pasti dari info yang ada

c. ∠PQR = 90° → menunjukkan sudut dari segitiga siku-siku

d. ∠PRQ + ∠RPQ = 180° →  tidak mungkin, jumlah dua sudut < 180°

Maka, jawaban yang benar adalah  c. ∠PQR = 90°

6. Dua lingkaran memiliki garis singgung persekutuan dalam sepanjang 12 cm. Lingkaran besar memiliki jari-jari 3 cm, dan jarak antara kedua pusat lingkaran = 13 cm. Tentukan jari-jari lingkaran kecil.

Pembahasan:

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam:
panjang garis singgung² = jarak antar pusat² − (jumlah jari-jari)²

Diketahui:

panjang garis singgung = 12 cm

rBesar = 3 cm

jarak pusat = 13 cm

rKecil = ?

Masukkan angka:
12² = 13² − (rKecil + 3)²
144 = 169 − (rKecil + 3)²
(rKecil + 3)² = 169 − 144 = 25
rKecil + 3 = √25 = 5
rKecil = 5 − 3 = 2

Jadi jari-jari lingkaran kecil = 2 cm

7. Dua lingkaran memiliki jari-jari sama 4,5 cm. Jarak antara pusat kedua lingkaran = 15 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.

Pembahasan:

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam:
panjang garis singgung² = jarak antar pusat² − (jumlah jari-jari)²

Diketahui:

r1 = r2 = 4,5 cm

jarak pusat = 15 cm

Maka:

jumlah jari-jari = 4,5 + 4,5 = 9 cm
panjang garis singgung² = 15² − 9²
panjang garis singgung² = 225 − 81 = 144
panjang garis singgung = √144 = 12

Jadi panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 12 cm.

8. Dua lingkaran memiliki selisih diameter 10 cm. Garis singgung persekutuan dalam = 20 cm, jarak pusat kedua lingkaran = 25 cm. Tentukan jari-jari lingkaran yang lebih kecil.

Pembahasan:

Misal jari-jari lingkaran besar = R, lingkaran kecil = r.
Diketahui selisih diameter = 10 → 2R − 2r = 10 → R − r = 5

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam:
panjang² = jarak pusat² − (R + r)²

Masukkan angka:
20² = 25² − (R + r)²
400 = 625 − (R + r)²
(R + r)² = 625 − 400 = 225
R + r = √225 = 15

Sekarang kita punya sistem:
R − r = 5
R + r = 15

Jumlahkan: 2R = 20 → R = 10
R − r = 5 → 10 − r = 5 → r = 5

Maka jawabannya adalah 5 cm.

Penutup

Semoga setelah belajar dengan contoh soal garis singgung persekutuan dalam beserta gambar di atas, kamu menjadi semakin paham dan percaya diri di ujian nanti.

Oh, ya, jangan lupa mampir ke blog Mamikos jika kamu hendak mencari materi belajar mata pelajaran lainnya. 🐾

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta