Contoh Soal Matriks Identitas beserta Hasil Perhitungannya Lengkap
Contoh Soal Matriks Identitas beserta Hasil Perhitungannya Lengkap — Matriks identitas merupakan salah satu materi matriks dan wajib dipelajari di sekolah menengah atas.
Tempo hari kita sudah belajar mengenai matriks diagonal, pada umumnya konsep matriks identitas sama seperti matriks diagonal hanya saja kedua matriks ini memiliki elemen penyusun diagonal utama yang berbeda.
Untuk itu, pada kesempatan ini Mamikos akan memberikan kumpulan contoh soal matriks identitas agar kamu bisa memahami materi ini dengan lebih mudah. Simak, ya!
Matriks Identitas
Daftar Isi
Daftar Isi
Sebelum kita berlatih dengan contoh soal matriks identitas, maka ada baiknya kita pahami dulu definisi matriks identitas.
Di bawah ini Mamikos akan menjelaskan sedikit dan singkat saja mengenai matriks identitas.
Menurut Matematika Tingkat Lanjut SMA Kelas XI yang disusun oleh Al Azhary Masta, dkk, matriks identitas merupakan matriks diagonal dengan elemen-elemen pada diagonal utamanya berupa bilangan satu.
Matriks jenis ini disebut dengan “identitas” karena berfungsi seperti angka satu dalam operasi perkalian karena ketika sebuah matriks dikalikan dengan matriks identitas, hasilnya adalah matriks itu sendiri.
Ciri-ciri Matriks Identitas
- Matriks identitas selalu berbentuk persegi. Jadi jumlah barisnya akan sama dengan jumlah kolomnya.
- Matriks identitas berukuran n × n, di mana n adalah jumlah baris dan kolom.
- Elemen-elemen pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) semuanya bernilai 1.
- Elemen-elemen di luar diagonal utama semuanya bernilai 0.
Matriks identitas berukuran n×n biasanya dinotasikan dengan In atau cukup dengan I.
Sifat Matriks Identitas
- Untuk setiap matriks A berukuran n × n, berlaku: A × In = In × A = A
- Matriks identitas adalah invers dari dirinya sendiri: In -1 = In
- Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n dan B adalah matriks persegi n × n, maka:
A x (B x In) = A x B
Kumpulan Contoh Soal Matriks Identitas dan Pembahasannya
Setelah memahami konsep matriks identitas, maka untuk mempermudah latihanmu mengerjakan soal terkait matriks identitas, Mamikos menyajikan contoh soal matriks identitas.
Contoh soal matriks identitas ini bisa kamu pakai untuk mengevaluasi pemahaman kamu, soal di bawah ini lengkap dengan pembahasan dan jawabannya yang bisa kamu jadikan tolok ukur saat latihan menyelesaikan soal. Jadi, kerjakan semaksimal mungkin, ya!
Contoh Soal Matriks Identitas Nomor 1
Misalkan B adalah matriks berukuran 2 × 2 sebagai berikut:
Maka tentukan matriks identitas I!
Jawaban dan Perhitungannya
Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah memahami definisi matriks identitas terlebih dahulu.
Matriks identitas I untuk ukuran 2 × 2 adalah matriks persegi yang memiliki nilai 1 pada elemen diagonal utama (mulai dari kiri atas lalu menuju ke kanan bawah) dan 0 pada elemen lainnya.
Tuliskan asumsi bentuk matriks identitas I untuk ukuran 2 × 2 yang akan kita cari seperti di bawah ini:
Sesuai aturan dasar matriks identitas, kita mengasumsikan bahwa elemen-elemen diagonal utama adalah 1 dan elemen lainnya adalah 0. Maka, kita dapat mengubah asumsi tersebut menjadi bentuk berikut:
Untuk mencari nilai I dan membuktikan nilainya sesuai asumsi yang kita buat di poin 2 maka harus melakukan perkalian B dengan I seperti di bawah ini:
Mari kita hitung hasil perkalian elemen demi elemen matriks B × I untuk mencari hasilnya. Ingat bahwa perkalian matriks ordo 2 × 2 dengan matriks lain berordo 2 × 2 juga akan menghasilkan matriks baru dengan ordo 2 × 2:
Perhitungan elemen baris pertama dan kolom pertama (C11):
C11 = (8×1) + (1×0) = 8
Perhitungan elemen di baris pertama dan kolom kedua (C12):
C12 = (8×0) + (1×1) = 1
Perhitungan di baris kedua dan kolom pertama (C21):
C21 = (3×1) + (2×0) = 3
Perhitungan di baris kedua dan kolom kedua (C22):
C22 = (3×0) + (2×1) = 2
Kita susun hasil perhitungan itu ke bentuk matriks, didapatkan hasil perkalian B dengan I adalah:
Dari hasil yang diperoleh membuktikan kalau hasilnya sama dengan matriks B yang asli, sehingga kita dapat mengonfirmasi bahwa asumsi kita benar karena nilai matriks identitas I adalah
Jadi:
Contoh Soal Matriks Identitas Nomor 2
Diketahui bahwa 𝐴 merupakan matriks berukuran 3 × 3 sebagai berikut:
Buktikan bahwa perkalian matriks A dengan matriks identitas I3 menghasilkan matriks A itu sendiri!
Jawaban dan Perhitungannya
Tuliskan terlebih dahulu Matriks Identitas I3 seperti di bawah ini:
Kalikan Matriks 𝐴 dengan Matriks Identitas I3 seperti ini:
Kita operasikan perkalian elemen-elemen matriks:
Untuk setiap elemen pada hasil perkalian C (hasil dari A × I3), kita menggunakan aturan perkalian baris dengan kolom seperti ini:
Baris pertama dan kolom pertama:
C11 = (0×1) + (8×0) + (0×0) = 0
Baris pertama dan kolom kedua:
C12 = (0×0) +(8×1) + (0×0) = 8
Baris pertama dan kolom ketiga:
C13 = (0×0) + (8×0) + (0×1) = 0
Baris kedua dan kolom pertama:
C21 = (8×1) + (0×0) + (8×0) = 8
Baris kedua dan kolom kedua:
C22 = (8×0) + (0×1) + (8×0) = 0
Baris kedua dan kolom ketiga:
C23 = (8×0) + (0×0) +( 8×1) = 8
Baris ketiga dan kolom pertama:
C31= (0×1) + (8×0) + (0×0) = 0
Baris ketiga dan kolom kedua:
C32= (0×0) + (8×1) + (0×0) = 8
Baris ketiga dan kolom ketiga:
C33= (0×0) + (8×0) + (0×1) = 0
Hasil Perkalian dari
Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa: 𝐴 x 𝐼3 = 𝐴
Hal ini menunjukkan bahwa perkalian matriks 𝐴 dengan matriks identitas 𝐼3 menghasilkan matriks 𝐴 itu sendiri.
Contoh Soal Matriks Identitas Nomor 3
B adalah matriks berukuran 3×3 sebagai berikut:
Tentukan nilai matriks identitas I!
Jawaban dan Perhitungannya
Untuk menemukan nilai matriks identitas I yang digunakan dalam perkalian dengan matriks B berukuran 3 × 3, mari kita bisa menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Kita perlu ingat kembail kalau matriks identitas I ialah matriks persegi yang memiliki nilai 1 pada elemen diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) dan 0 pada elemen lainnya.
Matriks identitas berfungsi seperti angka 1 dalam perkalian bilangan biasa, yaitu saat dikalikan dengan matriks lain, hasilnya ialah matriks itu sendiri.
Pertama kita tuliskan matriks yang akan dikalikan: Misalkan B adalah matriks berukuran 3 × 3
Asumsikan bentuk matriks identitas I berordo 3 × 3 seperti di bawah ini:
Kita terapkan elemen-elemen diagonal utama adalah 1 dan elemen lainnya adalah 0, maka kita bisa mengasumsikan nilai matriks I seperti di bawah ini:
Namun, asumsi kita di atas bisa saja salah, untuk itu kita buktikan terlebih dahulu dengan mengalikan matriks B dan matriks I untuk membuktikannya.
Mari kita hitung hasil perkalian elemen demi elemen untuk membuktikannya.
Operasi Perkalian Tiap Elemen
Untuk itu kita operasikan perkalian matriks di baris pertama serta kolom pertama:
C11= (9×1) + (5×0) + (6×0) = 9
Pada baris pertama serta kolom kedua:
C12 = (9×0) + (5×1) +(6×0) = 5
Di baris pertama serta kolom ketiga:
C13 = (9×0) + (5×0) + (6×1) = 6
Baris kedua serta kolom pertama:
C21 = (8×1) + (5×0) + (5×0) = 8
Untuk baris kedua serta kolom kedua menjadi:
C22 = (8×0) + (5×1) + (5×0) = 5
Pada baris kedua serta kolom ketiga akan didapatkan:
C23 = (8×0) + (5×0) + (5×1) = 5
Baris ketiga serta kolom pertama:
C31 = (2×1) + (8×0) + (7×0) = 2
Baris ketiga serta kolom kedua:
C32 = (2×0) + (8×1) + (7×0) = 8
Baris ketiga serta kolom ketiga:
C33 = (2×0) + (8×0) + (7×1) = 7
Maka, didapat hasil perkalian B dengan I adalah:
Kalau kita cermati lagi hasilnya sama seperti matriks B yang asli, sehingga kita dapat mengonfirmasi kalau asumsi kita awal kita terbukti. Jadi, matriks identitas I adalah:
Contoh Soal Matriks Identitas Nomor 4
B ialah matriks berordo 2 × 2 sebagai berikut:
Coba buktikan kalau perkalian matriks B dengan matriks identitas I menghasilkan matriks B itu sendiri!
Jawaban dan Perhitungannya
Tuliskan Matriks Identitas I seperti ini:
Kalikan Matriks B dengan Matriks Identitas I seperti di bawah ini:
Lakukan perkalian matriks untuk setiap elemen pada hasil perkalian C (hasil dari B×I), kita menggunakan aturan perkalian baris dengan kolom.
C11 = (4×1) + (5×0) = 4
C12 = (4×0) + (5×1) = 5
C21 = (5×1) + (4×0) = 5
C22 = (5×0) + (4×1) = 4
Jadi hasil dari B x I adalah
Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa: B × I = B
Perhitungan ini menunjukkan bahwa perkalian matriks B dengan matriks identitas I menghasilkan matriks B itu sendiri.
Dengan demikian, telah terbukti bahwa perkalian matriks apa pun dengan matriks identitas tidak mengubah matriks tersebut.
Penutup
Demikian contoh soal matriks identitas yang Mamikos bahas dalam artikel ini. Semoga contoh-contoh yang diberikan bisa menjadi tambahan pengetahuan bagimu yang sedang mendalami materi matriks.
Jangan lupa berlatih agar kamu semakin mahir, ya. Selamat belajar dan semoga kamu meraih hasil terbaik dan sesuai harapan.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: