10 Contoh Soal Perkalian Matriks beserta Pembahasannya dalam Matematika
10 Contoh Soal Perkalian Matriks beserta Pembahasannya dalam Matematika — Operasi perkalian pada matriks memiliki aturan tersendiri yang membutuhkan ketelitian dalam mengerjakannya.
Tempo hari Mamikos sudah menghadirkan contoh soal terkait penjumlahan dan pengurangan matriks, jika kamu sudah cukup menguasai dua operasi tersebut berarti sekarang saat yang tepat bagi kamu untuk mempelajari perkalian matriks.
Agar siswa kelas 11 SMA terbiasa mengoperasikan perkalian matriks, berikut Mamikos sajikan contoh soal perkalian matriks beserta pembahasannya. Simak, ya!
Perkalian Matriks
Daftar Isi
Daftar Isi
Sebelum kamu melihat contoh soal perkalian matriks yang akan Mamikos bahas pada kesempatan ini, pelajari dulu yuk sifat-sifat perkalian matriks berikut.
Perkalian matriks di SMA biasanya dibedakan menjadi 2 jenis yaitu perkalian skalar dan perkalian dua matriks.
Sebelum Mamikos membahas contoh soal perkalian matriks, berikut akan Mamikos bahas lebih dulu sifat-sifat perkalian matriks skalar dan perkalian dua matriks. Simak ya!
A. Perkalian Matriks dengan Skalar
Apabila matriks A merupakan matriks yang berordo m × n dan k merupakan bilangan real (k kerap disebut sebagai skalar), maka kA menyatakan matriks yang diperoleh denga mengalikan setiap elemen pada matriks A dengan k.
Sifat-sifat Perkalian Matriks dengan Skalar
Misalkan matriks A serta B yang merupakan matriks-matriks yang memiliki ordo sama, serta k dan h merupakan skalar, maka matriks itu akan memenuhi ketentuan berikut ini:
kO = O, dengan O merupakan matriks nol
kA = O, untuk k = 0
Bersifat Asosiatif: h(kA) = (hk) A
Bersifat Distributif: (h ± k)A = hA ± kA
Bersifat Distributif sehingga apabila k(A ± B) maka bisa didapat (kA) ± (kB)
B. Perkalian Dua Matriks
Apabila matriks A merupakan matriks berordo m × n dan B merupakan matriks berordo n × p maka ada matriks C yang adalah hasil perkalian matriks A dengan matriks B atau C = AB.
Matriks C berordo m × p dan elemen-elemen cij dihitung dengan cara mengalikan elemen baris ke-i pada matriks A terhadap elemen kolom ke-j pada matriks B, kemudian ditambahkan dengan hasilnya.
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + … + ain.bnj
Sifat-sifat Perkalian Dua Matriks
Apabila dimisalkan matriks A, B, C, serta I adalah matriks-matriks yang ordonya sama, lalu I merupakan sebuah matriks identitas, maka akan memenuhi ketentuan seperti di bawah ini.
Bersifat Asosiatif: AI = IA =A
Distributif: A(B±C) = AB ± AC atau (A±B)C = AC ± BC
Contoh Soal Perkalian Matriks Bagian 1
Berikut contoh soal perkalian matriks bagian pertama beserta pembahasannya, langsung saja kerjakan yuk!
Contoh Soal 1
Diketahui matriks A dan B seperti dibawah ini:
Tentukan A.B!
Pembahasan
Matriks A merupakan ordo 2 × 2 dikalikan dengan matriks B yang berordo 2 × 2, maka hasil kalinya nanti akan menghasilkan matriks dengan ordo 2 × 2 juga.
A.B =
Kita hitung semua bilangan yang didapat di a11, a21, a21 dan a22 sehingga didapat:
A.B =
Jadi hasil dari perkalian matriks A.B =
Contoh Soal 2
Hitung hasil perkalian matriks P.Q apabila diketahui matriks P serta Q sebagai berikut:
Pembahasan
Perkalian matriks P berordo 2 × 2 dengan matriks Q berordo 2 × 1 nantinya pasti menghasilkan matriks ordo 2 × 1. Sehingga menjadi:
Contoh Soal 3
Berapakah nilai a dan b yang memenuhi perkalian matriks A.B = C berikut ini?
Pembahasan
Kita kalikan dulu elemen-elemen di matriks A serta B. Karena keduanya merupakan matriks berordo 2 × 2 sehingga akan didapat matriks ordo 2 × 2 menjadi:
Lewat operasi perkalian matriks di atas bisa kita dapatkan persamaan dari C11:
(a.2) + (2.1) = 10
2a + 2 = 10
2a = 10 – 2
2a = 8
a = 8/2
a = 4
Kita abaikan elemen matriks yang tidak memiliki variabel a ataupun b. Sebaliknya, kita operasikan elemen di C21 menjadi:
(b.2) + (-1.1) = 1
2b – 1 = 1
2b = 1 + 1
2b = 2
b = 2/2
b = 1
Jadi, nilai a = 4 dan b = 1.
Contoh Soal Perkalian Matriks Bagian 2
Berikut contoh soal perkalian matriks bagian kedua yang sudah Mamikos lengkapi dengan pembahasannya. Coba kerjakan sendiri dulu tanpa melihat jawabannya ya!
Contoh Soal 4
Diketahui 2 buah matrik yaitu R & S sebagai berikut ini:
R = dan S =
Apabila Q = 3R – ST, maka matriks Q itu adalah…
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal ini, kita harus mengerjakannya dengan beberapa langkah sebagai berikut:
Pertama-tama kita harus mengalikan dulu matriks R dengan skalar 3 agar didapatkan 3R sehingga:
3R =
Langkah selanjutnya, kita harus menghitung transpose dari matriks S atau ST sebagai berikut:
ST =
Selanjutnya kita operasikan sesuai permintaan soal yaitu Q = 3R – ST menjadi:
Q =
Contoh Soal 5
Hitunglah G yang merupakan hasil dari perkalian matriks E.F, jika diketahui matriks E dan F seperti berikut ini:
Pembahasan
Untuk menghitung hasil perkalian matriks G = E.F, perlu kita ketahui dulu matriks ordo berapa yang akan dihasilkan dari operasi perkalian tersebut dengan mencermati ordo E dan F.
E adalah matriks dengan ordo 3 × 2 sementara matriks F ordonya 2 × 3, jadi nantinya matriks G akan memiliki ordo 3 × 3.
G =
G =
Contoh Soal 6
Berapa nilai x serta y yang tepat untuk mengisi elemen matriks berikut ini?
Pembahasan
Kita kalikan dulu elemen-elemen matriks di ruas kiri agar kita bisa mendapatkan persamaan x serta y:
Dari operasi perkalian matriks sebelumnya kita bisa mendapatkan persamaan sebagai berikut untuk mencari nilai x:
(y.-4) + (3.0) = -4
-4y + 0 = -4
-4y = -4
y = -4/-4
y = 1
Jadi, nilai yang paling tepat untuk mengisi x = 2 sedangkan b = 1.
Contoh Soal Perkalian Matriks Bagian 3
Mamikos tambahkan lagi contoh soal perkalian matriks bagian ketiga yang akan membuatmu lebih bisa mendalami lagi konsep terkait operasi pada matriks. Yuk, kerjakan sekarang!
Contoh Soal 7
Telah diketahui 2 buah matriks yang bernama O & P dengan rincian seperti di bawah ini:
O = dan P =
Apabila Q = 2O + PT, maka susunan elemen-elemen matriks Q yang tepat yaitu…
Pembahasan
Langkah pertama, kita harus mengalikan dulu matriks O dengan skalar 2 supaya bisa kita dapatkan nilai 2O yaitu seperti ini:
2O =
Langkah kedua, kita hitung transpose matriks P yang disimbolkan dengan PT dengan cara sebagai berikut:
PT =
Di langkah ketiga ini baru kita operasikan matriks sesuai dengan permintaan yang tercantum di soal yaitu Q = 2O + PT sehingga didapatkan:
Q =
Contoh Soal 8
Temukan hasil perkalian matriks D dengan matriks E berikut ini, jika diketahui matriks-matriks tersebut:
D = , F = [2 -1]
Pembahasan
Matriks berordo 2 × 1 seperti matriks D apabila dikalikan dengan matriks F yang berordo 1 × 2 nantinya akan menghasilkan matriks berordo 2 × 2. Untuk menyelesaikan soal di atas, kita cukup mengalikannya seperti ini:
D . F =
Contoh Soal Perkalian Matriks Bagian 4
Nah, ini dia contoh soal perkalian matriks bagian keempat sekaligus yang terakhir. Semoga di sesi ini kamu sudah lebih paham mengenai operasi perkalian matriks, ya!
Contoh Soal 9
Hitunglah operasi perkalian matriks K dan L apabila terlebih dahulu diketahui matriks-matriks itu:
Pembahasan
Matriks K memiliki ordo 2 × 3 sementara matriks L mempunyai ordo 3 × 2 sehingga saat operasi perkalian matriks dilakukan maka akan membentuk matriks berordo 2 × 2.
Oleh karena itu, apabila kita ingin menyelesaikan soal ini, kita akan mengalikannya dengan cara:
K . L =
K . L =
Contoh Soal 10
Diketahui matriks Y dan Z sebagai berikut ini:
Y = , Z = [3 2]
Hitung X = Y.Z!
Pembahasan
Matriks Y ordonya 2 × 1, berbeda dengan matriks Z yang memiliki ordo 1 × 2. Perkalian dari kedua matriks itu (X) nantinya menghasilkan matriks dengan ordo 2 × 2.
Berikut cara menyelesaikan X = Y.Z:
X = Y.Z =
Penutup
Demikian beberapa contoh soal perkalian matriks beserta pembahasannya yang sudah Mamikos susun untuk kelas 11 SMA yang sedang belajar materi matriks.
Penguasaan konsep ini sangat penting karena perkalian matriks sering dijumpai pada soal-soal terkait matriks.
Ada berbagai soal matriks yang sudah Mamikos sediakan di blog ini, jangan ragu untuk membacanya, juga, ya!
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: