12 Contoh Soal Polinomial beserta Penyelesaiannya Lengkap

12 Contoh Soal Polinomial beserta Penyelesaiannya Lengkap — Kemampuan untuk memahami dan menyelesaikan masalah yang melibatkan polinomial adalah keterampilan matematika yang esensial.

Sebab polinomial penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari termasuk cukup luas, meliputi bidang fisika, ekonomi dan sebagainya.

Dalam artikel ini, Mamikos akan menghadirkan 12 contoh soal polinomial yang beragam beserta penyelesaiannya secara lengkap. Simak baik-baik, ya!

Berikut Contoh Soal Polinomial

Polinomial adalah persamaan matematika yang terdiri dari satu atau lebih suku, di mana setiap suku adalah produk dari konstanta, variabel, dan eksponen yang positif.

Polinomial sangat umum digunakan dalam matematika dan berbagai cabang ilmu, termasuk fisika, ekonomi, teknik, dan statistik.

Penguasaan operasi matematika seperti pengurangan, penambahan, perkalian dan pembagian sangat disarankan sebab akan banyak sekali penerapannya pada materi ini.

Untuk memahami lebih lanjut tentang contoh soal polinomial yang nanti akan Mamikos kupas, mari kita pelajari terlebih dahulu tentang unsur polinomial.

Unsur-unsur polinomial adalah komponen-komponen utama yang membentuk persamaan polinomial. Unsur-unsur tersebut terdiri dari:

1. Variabel

Variabel dalam polinomial adalah simbol atau huruf yang mewakili nilai yang dapat bervariasi.

Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y, atau t. Variabel ini adalah elemen yang memungkinkan kita untuk mengekspresikan hubungan antara nilai yang tidak diketahui dalam polinomial.

2. Koefisien

Koefisien adalah angka yang mengalikan variabel dalam setiap suku polinomial. Koefisien ini dapat berupa angka riil, bilangan bulat, atau bahkan bilangan kompleks.

Koefisien ini menentukan seberapa besar atau kecil kontribusi suku tersebut terhadap nilai polinomial keseluruhan.

3. Eksponen

Eksponen adalah pangkat atau derajat variabel dalam setiap suku polinomial. Eksponen ini adalah bilangan cacah positif yang menentukan jenis variabel dalam suku tersebut.

Misalnya, dalam suku 3x^2, eksponen variabel x adalah 2, yang menunjukkan variabel tersebut dikuadratkan.

4. Suku Polinomial

Suku adalah bagian dasar dari ekspresi polinomial. Setiap suku terdiri dari koefisien, variabel, dan eksponen yang menggambarkan variabel tersebut.

Contohnya adalah suku 2x^3, di mana 2 adalah koefisien, x adalah variabel, dan 3 adalah eksponen.

5. Derajat atau Tingkat

Derajat atau tingkat dari suatu polinomial adalah eksponen tertinggi dari variabel dalam polinomial tersebut.

Misalnya, dalam polinomial 4x^3−2x^2+5x−1, derajatnya adalah 3 karena eksponen tertinggi dari x adalah 3.

6. Koefisien Bebas

Koefisien bebas adalah angka konstan dalam polinomial yang tidak terkait dengan variabel. Dalam polinomial 3x^2−7x+2, angka 2 adalah koefisien bebas.

7. Sederajat

Sederajat adalah kondisi di mana dua atau lebih suku polinomial dalam polinomial yang sama memiliki eksponen yang sama pada variabel.

Misalnya, dalam polinomial 3x^2−7x+2, suku pertama dan kedua adalah sederajat karena keduanya memiliki eksponen 2 pada x.

Contoh Soal Polinomial 1

Hitung nilai dari p(x) = 2x^3 – 3x^2 + 4x – 1 ketika x = 2!

Pembahasan

Gantikan nilai x dengan 2 dalam persamaan polinomial yang diketahui

p(2) = 2(2)^3 – 3(2)^2 + 4(2) – 1

p(2) = 16 – 12 + 8 – 1

p(2) = 11

Maka, Nilai dari p(2) adalah 11.

Contoh Soal Polinomial 2

Hitung hasil perkalian dari (x – 3)(x + 4)!

Pembahasan

Gunakan rumus distribusi (FOIL) untuk mengalikan kedua binom.

(x – 3)(x + 4) = x * x + x * 4 – 3 * x – 3 * 4

Hasil yang didapat = x^2 + 4x – 3x – 12

Hasil yang didapat = x^2 + x – 12

Maka, hasil perkalian dari (x – 3)(x + 4) adalah x^2 + x – 12.

Contoh Soal Polinomial 3

Hitung hasil pembagian dari p(x) = 6x^3 – 8x^2 + 12x – 18 dibagi oleh q(x) = 2x – 3!

Pembahasan

Tentukan urutan tinggi tertinggi polinomial pembilang (p(x)) dan penyebut (q(x)).

Bagi suku terdepan p(x) dengan suku terdepan q(x) untuk mendapatkan suku pertama hasil pembagian.

Hitung hasil perkalian antara suku pertama hasil pembagian dengan q(x) dan taruh hasilnya di bawah p(x).

Kurangkan hasil perkalian tersebut dari p(x) untuk mendapatkan sisa.

Ulangi langkah 2-4 dengan menggunakan sisa sebagai pembilang baru hingga derajat pembilang lebih rendah dari derajat penyebut.

Selesaikan langkah 2-4 untuk mendapatkan hasil pembagian lengkap.

Hasil pembagian p(x) = 6x^3 – 8x^2 + 12x – 18 dibagi oleh q(x) = 2x – 3 adalah p(x) = 3x^2 – 1 dan sisa -15.

Contoh Soal Polinomial 4

Hitung akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: x^2 – 5x + 6 = 0!

Pembahasan

Gunakan rumus kuadrat: x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a).

Persamaan yang sudah diketahui adalah x^2 – 5x + 6 = 0

Maka dari persamaan itu di dapat a = 1, didapat b = -5, dan nilai c = 6.

Hitung diskriminan (D = b^2 – 4ac): D = (-5)^2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1.

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung akar-akar: x = (5 ± √1) / (2 * 1).

x1 = (5 + 1) / 2

x1= 6 / 2

x1= 3.

x2 = (5 – 1) / 2

x2= 4 / 2

x2= 2.

Maka, akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 – 5x + 6 = 0 adalah x1 = 3 dan x2 = 2.

Contoh Soal Polinomial 5

Hitung hasil penjumlahan dari p(x) = 2x^2 – 3x + 5 dan q(x) = 4x^2 + x – 2!

Pembahasan

Jumlahkan masing-masing koefisien pada polinomial dengan tingkat yang sama.

p(x) + q(x) = (2x^2 – 3x + 5) + (4x^2 + x – 2)

p(x) + q(x) = (2x^2 + 4x^2) + (-3x + x) + (5 – 2)

p(x) + q(x) = 6x^2 – 2x + 3

Maka, hasil penjumlahan dari p(x) dan q(x) adalah 6x^2 – 2x + 3.

Contoh Soal Polinomial 6

Hitung hasil perkalian dari (3x^2 – 2x + 1)(x^2 + 4x – 5)!

Pembahasan

Gunakan rumus distribusi (FOIL) untuk mengalikan kedua polinomial.

(3x^2 – 2x + 1)(x^2 + 4x – 5) = 3x^2 * (x^2 + 4x – 5) – 2x * (x^2 + 4x – 5) + 1 * (x^2 + 4x – 5)

(3x^2 – 2x + 1)(x^2 + 4x – 5) = 3x^4 + 10x^3 – 19x^2 – 22x + 5

Maka, hasil perkalian dari (3x^2 – 2x + 1)(x^2 + 4x – 5) adalah 3x^4 + 10x^3 – 19x^2 – 22x + 5.

Contoh Soal Polinomial 7

Hitung nilai dari f(x) = 2x^4 – 5x^3 + 3x^2 – x + 7 ketika x = -2!

Pembahasan

Gantikan x dengan -2 dalam persamaan polinomial.

f(-2) = 2(-2)^4 – 5(-2)^3 + 3(-2)^2 – (-2) + 7

f(-2) = 32 + 40 + 12 + 2 + 7

f(-2) = 93

Maka, nilai dari f(-2) adalah 93.

Contoh Soal Polinomial 8

Hitung hasil pembagian dari p(x) = 4x^3 – 6x^2 + 7x – 8 dibagi oleh q(x) = 2x – 1!

Pembahasan

Dengan menggunakan metode pembagian bersusun, didapatkan bahwa p(x) = 4x^3 – 6x^2 + 7x – 8 dibagi oleh q(x) = 2x – 1 adalah p(x) = 2x^2 – 2x + 5 dan sisa -3.

Contoh Soal Polinomial 9

Hitung akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: 3x^2 – 7x + 2 = 0!

Pembahasan

Gunakan rumus kuadrat: x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a).

Dalam persamaan 3x^2 – 7x + 2 = 0, a = 3, b = -7, dan c = 2.

Hitung diskriminan (D = b^2 – 4ac): D = (-7)^2 – 4(3)(2) = 49 – 24 = 25.

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung akar-akar: x = (7 ± √25) / (2 * 3).

x1 = (7 + 5) / 6

x1 = 12 / 6

x1 = 2.

x2 = (7 – 5) / 6

x2 = 2 / 6

x2 = 1/3.

Maka, akar-akar dari persamaan kuadrat 3x^2 – 7x + 2 = 0 adalah x1 = 2 dan x2 = 1/3.

Contoh Soal Polinomial 10

Hitung hasil penjumlahan dari p(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 4 dan q(x) = 2x^3 + 5x^2 – x + 6!

Pembahasan

Jumlahkan masing-masing koefisien pada polinomial dengan tingkat yang sama.

p(x) + q(x) = (x^3 – 2x^2 + 3x – 4) + (2x^3 + 5x^2 – x + 6)

p(x) + q(x) = (x^3 + 2x^3) + (-2x^2 + 5x^2) + (3x – x) + (-4 + 6)

p(x) + q(x) = 3x^3 + 3x^2 + 2x + 2

Maka, hasil penjumlahan dari p(x) dan q(x) adalah 3x^3 + 3x^2 + 2x + 2.

Contoh Soal Polinomial 11

Hitung hasil perkalian dari (2x^3 – 3x^2 + 4x – 1)(x^2 + 2x – 1)!

Pembahasan

Gunakan rumus distribusi (FOIL) untuk mengalikan kedua polinomial.

(2x^3 – 3x^2 + 4x – 1)(x^2 + 2x – 1) = (2x^3)(x^2 + 2x – 1) – (3x^2)(x^2 + 2x – 1) + (4x)(x^2 + 2x – 1) – (1)(x^2 + 2x – 1)

Lanjutkan dengan menyederhanakan persamaan matematika di atas

Maka, hasil perkalian dari (2x^3 – 3x^2 + 4x – 1)(x^2 + 2x – 1) adalah 2x^5 – x^4 – 7x^3 + 7x^2 – 6x + 1.

Contoh Soal Polinomial 12

Hitung nilai dari f(x) = x^4 – 3x^3 + 2x^2 – 5x + 8 ketika x = 3!

Pembahasan

Gantikan x dengan 3 dalam persamaan polinomial.

f(3) = (3)^4 – 3(3)^3 + 2(3)^2 – 5(3) + 8

f(3) = 81 – 81 + 18 – 15 + 8

f(3) = 11

Maka, nilai dari f(3) adalah 11.

Penutup

Demikian 12 contoh soal polinomial yang sudah Mamikos hadirkan bersama pembahasannya.

Semoga contoh soal polinomial di atas membantumu untuk lebih memahami konsep dasar polinomial dan bagaimana cara mengatasi berbagai jenis permasalahan yang melibatkan materi polinomial.

Dengan memahami dasar-dasarnya dan melatih diri dalam menyelesaikan soal-soal seperti yang telah kami sajikan, kamu dapat meningkatkan kemampuan matematikamu secara signifikan.

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta