Contoh Soal Vektor Matematika Kelas 11 SMA dan Pembahasannya Kurikulum Merdeka

Contoh Soal Vektor Matematika Kelas 11 SMA dan Pembahasannya Kurikulum Merdeka – Vektor menjadi salah satu materi yang tidak jarang dianggap rumit karena harus menerapkan rumus dan membutuhkan ketelitian.

Bagi kamu yang sedang belajar, yuk, Mamikos temani melalui beberapa contoh soal vektor Matematika kelas 11 SMA di artikel ini.

Kamu tidak perlu khawatir karena setiap soal akan disertai dengan pembahasan yang mudah untuk dipahami dan dipelajari di rumah. ✨ 📖

Contoh Soal Vektor Matematika Kelas 11 SMA dan Pembahasannya

Di bawah ini tersedia 25 soal pembahasan vektor Matematika, berupa penjumlahan dan pengurangan vektor. Sebelum mulai belajar, pastikan sekarang kamu sudah dalam keadaan siap di tempat yang nyaman, ya.

Soal Vektor Matematika – Bagian 1

1. Jika diketahui vektor p dan q membentuk sudut 60°, dengan |p| = 6 dan |q| = 5, tentukan nilai p · q!

Pembahasan:

Rumus perkalian titik: p · q = |p| × |q| × cos θ
= 6 × 5 × cos 60°
= 30 × ½
= 15

Jawaban: 15

2. Diketahui p = (3x − 3, 1 − x, 2x − 2) dan q = (3, −1, 2). Jika p merupakan kelipatan dari q, searah dan diperpanjang, tentukan interval nilai x.

Pembahasan:

Jika p kelipatan q, maka p = k q.

Dari komponen pertama: 3x − 3 = 3k → x − 1 = k

Dari komponen kedua dan ketiga juga diperoleh k = x − 1 (konsisten).

Syarat searah dan diperpanjang: k > 1 → x − 1 > 1 → x > 2

Jawaban: x > 2

3. Diketahui a = (2, −1, 4) dan b = (−1, 2, 1). Hitunglah a · b dan tentukan apakah kedua vektor tegak lurus.

Pembahasan:

a · b = (2)(−1) + (−1)(2) + (4)(1)

= −2 − 2 + 4

= 0

Jika hasil dot product = 0, maka vektor tegak lurus.

Jawaban: a · b = 0, vektor tegak lurus

4. Vektor u = (3, 4). Tentukan vektor satuan searah u.

Pembahasan:

|u| = √(3² + 4²) = 5

Vektor satuan = (3/5, 4/5)

Jawaban: (3/5, 4/5)

5. Titik A(1, 2) dan B(5, 6). Tentukan vektor AB dan panjangnya.

Pembahasan:

AB = B − A = (5 − 1, 6 − 2) = (4, 4)

Panjang AB = √(4² + 4²) = √32 = 4√2

Jawaban: AB = (4, 4), |AB| = 4√2

6. Jika m = (k, 3) dan n = (4, −2) tegak lurus, tentukan nilai k.

Pembahasan:

m · n = 0

4k + 3(−2) = 0

4k − 6 = 0

4k = 6

k = 3/2

Jawaban: 3/2

7. Diketahui p = (2, 1, −1) dan q = (1, 0, 1). Tentukan panjang p dan proyeksi p pada q.

Pembahasan:

|p| = √(2² + 1² + (−1)²) = √6

p · q = (2)(1) + (1)(0) + (−1)(1) = 1

|q|² = 1² + 0² + 1² = 2

Proyeksi p pada q = (1/2)(1, 0, 1) = (0,5, 0, 0,5)

Jawaban: |p| = √6, proyeksi = (0,5, 0, 0,5)

8. Vektor a = (4, 0) dan b = (0, 3). Tentukan luas segitiga yang dibentuk O, A, dan B.

Pembahasan:

Luas = ½ |a × b|

Karena 2D, gunakan determinan: |4·3 − 0·0| = 12

Luas = ½ × 12 = 6

Jawaban: 6 satuan luas

9. Cari t sehingga r = (1 + 2t, 3 − t) sejajar dengan s = (2, −1).

Pembahasan:

Sejajar =  perbandingan komponen sama:

(1 + 2t)/2 = (3 − t)/(−1)

1 + 2t = −2(3 − t)

1 + 2t = −6 + 2t

1 = −6 (kontradiksi) → tidak ada t yang memenuhi.

Jawaban: Tidak ada solusi

10. Vektor a = (x, 2) dan b = (3, y). Jika |a| = 5, a · b = 9, dan y = 1, tentukan x.

Pembahasan:

y = 1 → b = (3, 1)

|a| = 5 → x² + 4 = 25 → x² = 21 → x = ±√21

a · b = 9 → 3x + 2(1) = 9 → 3x = 7 → x = 7/3

Nilai x dari kedua syarat berbeda → tidak ada x yang memenuhi keduanya.

Jawaban: Tidak ada solusi

Soal Vektor Matematika – Bagian 2

11. Diketahui vektor a = (2, 3) dan b = (4, −1). Tentukan sudut antara a dan b.

Pembahasan:

cos θ = (a · b) / (|a| |b|)

a · b = (2)(4) + (3)(−1) = 8 − 3 = 5

|a| = √(4 + 9) = √13

|b| = √(16 + 1) = √17

cos θ = 5 / (√13 × √17) = 5 / √221

θ = cos⁻¹(5 / √221)

Jawaban: θ = cos⁻¹(5 / √221)

12. Sebuah kapal bergerak dari pelabuhan menuju titik A(8, 6) dari titik O(0, 0). Nyatakan vektor perpindahan kapal tersebut dalam bentuk komponen.

Pembahasan:

Perpindahan = A − O = (8 − 0, 6 − 0) = (8, 6)

Jawaban: (8, 6)

13. Titik P membagi ruas garis AB dengan A(2, 4) dan B(8, −2) dalam perbandingan 2 : 1. Tentukan koordinat P.

Pembahasan:

P = ((2×8 + 1×2)/(2+1), (2×(−2) + 1×4)/(2+1))

= ((16 + 2)/3, (−4 + 4)/3)

= (18/3, 0/3) = (6, 0)

Jawaban: P(6, 0)

14. Vektor kecepatan mobil adalah v = (20, 10) m/s. Tentukan besar kecepatan dan arah terhadap sumbu x.

Pembahasan:

Besar = √(20² + 10²) = √(400 + 100) = √500 = 10√5

Arah = tan⁻¹(10/20) = tan⁻¹(0,5)

Jawaban: Besar = 10√5 m/s, arah = tan⁻¹(0,5)

15. Dua gaya bekerja pada sebuah benda: F₁ = (5, 2) N dan F₂ = (−1, 3) N. Tentukan resultan gaya.

Pembahasan:

R = F₁ + F₂ = (5 + (−1), 2 + 3) = (4, 5)

Jawaban: (4, 5) N

16. Tentukan nilai k jika vektor (k, 3, 1) tegak lurus dengan (2, −1, 1).

Pembahasan:

Dot product = 0:

2k + (3)(−1) + (1)(1) = 0

2k − 3 + 1 = 0

2k − 2 = 0

2k = 2

k = 1

Jawaban: 1

17. Diketahui vektor a = (1, 2, −1) dan b = (2, 1, 1). Tentukan a × b.

Pembahasan:

a × b = | i j k |
| 1 2 −1 |
| 2 1 1 |

= i(2×1 − (−1)×1) − j(1×1 − (−1)×2) + k(1×1 − 2×2)

= i(2 + 1) − j(1 + 2) + k(1 − 4)

= (3, −3, −3)

Jawaban: (3, −3, −3)

18. Jika vektor u = (x, 4) memiliki panjang 10, tentukan semua kemungkinan x.

Pembahasan:

√(x² + 16) = 10

x² + 16 = 100

x² = 84

x = ±√84 = ±2√21

Jawaban: x = 2√21 atau x = −2√21

19. Diketahui a = (1, 2) dan b = (3, 5). Tentukan vektor yang searah a tetapi panjangnya sama dengan panjang b.

Pembahasan:

|a| = √(1² + 2²) = √5

|b| = √(3² + 5²) = √34

Vektor searah a panjang |b| = (√34 / √5) × a = (√34 / √5)(1, 2)

Jawaban: (√34/√5, 2√34/√5)

20. Dua vektor r = (3, −2, 1) dan s = (k, 4, −2) membentuk sudut 90°. Tentukan k.

Pembahasan:

r · s = 0 → 3k + (−2)(4) + (1)(−2) = 0

3k − 8 − 2 = 0

3k − 10 = 0

3k = 10

k = 10/3

Jawaban: 10/3

Soal Vektor Matematika – Bagian 3

21. Sebuah pesawat terbang ke arah timur dengan kecepatan 300 km/jam, lalu angin bertiup ke arah utara dengan kecepatan 100 km/jam. Tentukan besar kecepatan resultan pesawat.

Pembahasan:

Kecepatan pesawat = (300, 0)

Kecepatan angin = (0, 100)

Resultan = (300, 100)

Besar = √(300² + 100²) = √(90000 + 10000) = √100000 = 100√10 km/jam

Jawaban: 100√10 km/jam

22. Vektor p = (4, 3) dan q = (−2, y) saling sejajar. Tentukan nilai y.

Pembahasan:

Sejajar → (4)/(−2) = (3)/y

−2 = 3/y → y = −3/2

Jawaban: y = −3/2

23. Diketahui a = (1, −1, 2) dan b = (2, 0, 1). Hitunglah luas jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b.

Pembahasan:

Luas jajaran genjang = |a × b|

a × b = | i j k |
| 1 −1 2 |
| 2 0 1 |

= i((−1)(1) − (2)(0)) − j((1)(1) − (2)(2)) + k((1)(0) − (−1)(2))
= i(−1 − 0) − j(1 − 4) + k(0 + 2)
= (−1, 3, 2)
Besar = √(1 + 9 + 4) = √14

Jawaban: √14 satuan luas

24. Vektor u = (2, 5) dan v = (−3, 4). Tentukan sudut antara keduanya.

Pembahasan:

u · v = (2)(−3) + (5)(4) = −6 + 20 = 14

|u| = √(4 + 25) = √29

|v| = √(9 + 16) = √25 = 5

cos θ = 14 / (√29 × 5) = 14 / (5√29)

θ = cos⁻¹(14 / (5√29))

Jawaban: θ = cos⁻¹(14 / (5√29))

25. Titik A(1, 1, 0) dan B(4, 5, 2). Tentukan panjang vektor AB.

Pembahasan:

AB = (4 − 1, 5 − 1, 2 − 0) = (3, 4, 2)

Panjang = √(3² + 4² + 2²) = √(9 + 16 + 4) = √29

Jawaban: √29

Penutup

Sekian dulu, ya, sesi belajar bersama Mamikos dengan menggunakan contoh soal vektor Matematika kelas 11 SMA. Semoga pembahasan tadi mudah untuk kamu pahami, ya. 🧮

Namun, apabila kamu ingin mengulang lagi materi vektor kelas 11 SMA yang sudah disampaikan di sekolah, jangan lupa untuk mencarinya di blog Mamikos.

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta