Rangkuman Materi Program Linear Kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka dan Penjelasannya
Rangkuman Materi Program Linear Kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka dan Penjelasannya – Materi program linear merupakan salah satu materi yang terdapat di dalam mata pelajaran Matematika.
Meski terkesan susah, materi program linear masih bisa dipahami dengan proses belajar yang giat.
Bagi kamu yang duduk di kelas 11 SMA, berikut adalah rangkuman materi program linear kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka.
Rangkuman Materi Program Linear 11 SMA Kurikulum Merdeka
Daftar Isi
Daftar Isi
Supaya kamu dapat lebih mudah dan efisien memahami materi program linear 11 SMA Kurikulum Merdeka, artikel ini akan menyajikan rangkuman materi program linear 11 SMA Kurikulum Merdeka.
Pembahasan akan dimulai dari pengertian, hingga contoh soal yang relevan dengan materi program linear 11 SMA.
Pengertian Program Linear 11 SMA Kurikulum Merdeka
Pembahasan pertama dalam rangkuman materi program linear kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka adalah terkait pengertiannya terlebih dahulu.
Program linear, juga bisa disebut pemrograman linear, merupakan sebuah metode di dalam ilmu matematika yang diimplementasikan guna menyelesaikan suatu masalah yang berkaitan dengan optimasi linear.
Setiap masalah yang punya hubungan dengan program linear pasti memiliki relasi dengan fungsi objektif berdasarkan kondisi yang membatasi.
Adapun tujuan dari program linear atau pemrograman linear adalah untuk mengoptimalkan atau pun meminimalkan suatu nilai numerik.
Program linear maupun pemrograman linear juga bisa dikatakan sebagai teknik yang objektif untuk melakukan optimasi objektif linear terhadap masalah persamaan maupun pertidaksamaan linear.
Bagian-bagian dari Program Linear
Selanjutnya yang menjadi pembahasan di dalam rangkuman materi program linear kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka adalah terkait bagian-bagian yang ada di dalam program linear.
Terdapat dua bagian utama fungsi dari materi program linear, yaitu fungsi tujuan atau fungsi objektif, dan fungsi kendala.
Uraiannya adalah sebagai berikut.
Fungsi Objektif / Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan atau fungsi objektif adalah fungsi yang setiap nilainya akan dioptimalkan.
Kondisi yang terjadi adalah nilainya bisa menjadi maksimum, dan bisa juga menjadi minimum.
Di dalam konteks program linear, fungsi objektif sering dinyatakan dalam bentuk linear seperti:
Z = ax + by + cz
Z adalah nilai yang ingin dioptimalkan dapat berupa keuntungan, biaya, atau hasil lainnya. Sedangkan x, y, dan z adalah variabel keputusan, dan a, b, serta c adalah koefisien yang menunjukkan kontribusi masing-masing variabel terhadap nilai Z.
Contoh sederhananya: Misal suatu perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan dari penjualan dua produk, x dan y. Fungsi objektifnya bisa berupa:
Z = 5x + 3y
Uraiannya adalah, 5x dan 3y mewakili keuntungan per unit dari masing-masing produk.
Tujuan dari program linear ini adalah untuk menentukan berapa banyak produk x dan y yang harus diproduksi agar keuntungan total Z maksimal, dengan mempertimbangkan kendala-kendala seperti kapasitas produksi atau bahan baku.
Fungsi Kendala
Adapun fungsi kendala adalah sebuah limit yang harus dipenuhi oleh pengubah yang ada di dalam fungsi objektif.
Sebagai contoh, dalam sebuah masalah produksi, perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan dari dua produk, A dan B.
Fungsi tujuan mungkin berbentuk Z = 50A + 40B, Z adalah keuntungan total, dan setiap unit A menghasilkan keuntungan 50, sementara setiap unit B menghasilkan 40.
Namun, perusahaan memiliki keterbatasan bahan baku dan waktu. Fungsi kendalanya bisa seperti berikut:
1. 2A + 3B < 120 (Keterbatasan bahan baku)
2. A + 2B < 80 (Keterbatasan waktu)
Fungsi-fungsi kendala di atas menentukan batasan dalam grafik wilayah solusi, yang disebut daerah feasible.
Solusi optimal harus berada di dalam daerah ini dan sering kali berada di titik perpotongan garis kendala.
Model Matematika di Dalam Program Linear Kelas 11 SMA
Pembahasan selanjutnya dalam rangkuman materi program linear kelas 11 SMA adalah sub-materi model matematika dalam program linear.
Model matematika dalam program linear adalah representasi dari masalah dunia nyata ke dalam bentuk matematis yang terdiri dari fungsi tujuan dan fungsi kendala.
Program linear digunakan untuk memecahkan masalah optimasi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi tujuan di bawah beberapa batasan atau kendala yang berbentuk linear.
Model linear tersebut sangat bermanfaat dalam berbagai bidang seperti ekonomi, manajemen, dan teknik.
Beberapa komponen utama dalam model matematika program linear antara lain:
1. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah simbol yang mewakili kuantitas yang ingin kita tentukan.
Dalam konteks program linear, variabel-variabel ini biasanya dinyatakan dengan huruf seperti x atau y, dan mereka adalah variabel bebas yang akan dimaksimalkan atau diminimalkan.
Misalkan dalam sebuah masalah produksi, x mewakili jumlah produk A yang diproduksi, dan y mewakili jumlah produk B yang diproduksi.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan adalah persamaan linear yang menggambarkan tujuan dari masalah tersebut, seperti memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya.
Fungsi tujuan terdiri dari variabel keputusan dan koefisien yang mewakili dampak setiap variabel terhadap tujuan.
Sebagai gambaran, jika perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan dari dua produk, A dan B, dan keuntungan dari produk A adalah 40 per unit dan dari produk B adalah 30 per unit, maka fungsi tujuan akan dinyatakan sebagai:
Z = 40x + 30y
Di sini, Z adalah keuntungan total yang ingin dimaksimalkan.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala adalah persamaan atau pertidaksamaan yang menggambarkan batasan atau keterbatasan yang ada, seperti ketersediaan sumber daya, kapasitas, atau waktu.
Kendala-kendala ini juga berbentuk linear dan menentukan daerah feasible, yaitu himpunan semua solusi yang mungkin.
Misalkan ada dua kendala:
Bahan baku yang tersedia hanya cukup untuk memproduksi maksimal 100 unit produk, dengan produk A membutuhkan 2 unit bahan baku dan produk B membutuhkan 3 unit. Kendalanya:
2x + 3y < 100
Selain itu, waktu kerja yang tersedia hanya cukup untuk memproduksi maksimal 80 unit, dengan produk A membutuhkan 1 jam dan produk B membutuhkan 2 jam per unit.
Kendalanya: x + 2y < 80
4. Daerah Feasible
Daerah feasible merupakan sebuah wilayah yang terbentuk dari perpotongan semua kendala dalam bentuk grafis.
Setiap titik dalam daerah feasible mewakili solusi yang memenuhi semua kendala. Solusi optimal untuk masalah program linear terletak di titik-titik sudut dari daerah feasible.
5. Solusi Optimal
Solusi optimal adalah nilai dari variabel keputusan yang memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan, dengan syarat semua kendala terpenuhi.
Proses pencarian solusi optimal bisa dilakukan melalui metode grafik (untuk dua variabel) atau metode Simpleks (untuk lebih dari dua variabel).
Contoh Soal dan Jawaban Materi Program Linear Kelas 11 SMA
Pada akhir artikel ini yang akan menambah pemahamanmu mengenai rangkuman materi program linear kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka adalah contoh soal dan jawabannya.
Berikut terdapat 3 contoh soal dan jawaban materi program linear kelas 11 SMA yang bisa kamu jadikan bahan belajar.
1. Sebuah toko roti memproduksi dua jenis kue, yaitu kue cokelat dan kue vanila. Untuk membuat kue cokelat, diperlukan 2 kg tepung dan 3 kg gula, sedangkan untuk kue vanila, diperlukan 4 kg tepung dan 2 kg gula. Toko tersebut memiliki persediaan 20 kg tepung dan 18 kg gula. Keuntungan dari setiap kue cokelat adalah Rp6.000, dan keuntungan dari setiap kue vanila adalah Rp5.000. Berapa jumlah masing-masing jenis kue yang harus diproduksi agar keuntungan maksimal?
Jawaban
Langkah 1: Definisikan variabel keputusan
X adalah jumlah kue coklat yang diproduksi.
Y adalah jumlah kue vanila yang diproduksi.
Langkah 2: Fungsi tujuan (memaksimalkan keuntungan)
Z = 6000x + 5000y
Langkah 3: Fungsi kendala
1. Tepung : 2x + 4y < 20
2. Gula : 3x + 2y < 18
3. x > 0 dan y > 0
Langkah 4: Cari titik potong kendala
Dari kendala 1: 2x + 4y = 20 → y = 5 – 0.5x
Dari kendala 2: 3x + 2y = 18 → y = 9 – 1.5x
Langkah 5: Hitung nilai Z di titik sudut
– Titik sudut: (0,5), (6,0), (3,3)
– Nilai Z :
– Di titik (0,5): Z = 6000 (0) + 5000 (5) = 25.000
– Di titik (6,0): Z = 6000 (6) + 5000 (0) = 36.000
– Di titik (3,3): Z = 6000 (3) + 5000 (3) = 33.000
Solusi optimal
Produksi kue cokelat sebanyak 6 dan kue vanila sebanyak 0 untuk keuntungan maksimal sebesar Rp36.000.
2. Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis barang, A dan B. Setiap barang A memerlukan 4 jam untuk diproduksi dan setiap barang B memerlukan 3 jam untuk diproduksi. Perusahaan memiliki total waktu produksi 240 jam per minggu.
Selain itu, perusahaan hanya memiliki kapasitas gudang untuk menyimpan maksimal 50 unit barang A dan 60 unit barang B. Jika keuntungan dari setiap barang A adalah Rp50.000 dan dari setiap barang B adalah Rp40.000, berapa unit barang A dan B yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan?
Jawaban
Langkah 1: Definisikan variabel keputusan
X jumlah barang A yang diproduksi
Y jumlah barang B yang diproduksi
Langkah 2: Fungsi tujuan
Z = 50.000x + 40.000y
Langkah 3: Fungsi kendala
1. Waktu produksi : 4x + 3y < 240
2. Kapasitas gudang A: x < 50
3. Kapasitas gudang B: y < 60
4. x > 0 dan y > 0
Langkah 4: Cari titik potong kendala
Dari kendala waktu produksi: 4x + 3y = 240 → y = 80 – 4/3x
Titik sudut: (0,60), (50,40), (50,0)
Langkah 5: Hitung nilai Z di titik sudut
Di titik (0,60): Z = 50.000 (0) + 40.000 (60) = 2.400.000
Di titik (50,40): Z = 50.000 (50) + 40.000 (40) = 4.100.000
Di titik (50,0): Z = 50.000 (50) + 40.000 (0) = 2.500.000
Solusi optimal
Produksi 50 unit barang A dan 40 unit barang B untuk keuntungan maksimal sebesar Rp4.100.000.
3. Seorang petani memiliki lahan seluas 100 hektar yang dapat ditanami padi dan jagung. Setiap hektar padi memerlukan 2 pekerja, sementara setiap hektar jagung memerlukan 3 pekerja. Petani tersebut hanya memiliki 240 pekerja.
Jika keuntungan dari setiap hektar padi adalah Rp2 juta dan dari setiap hektar jagung adalah Rp3 juta, berapa hektar masing-masing tanaman yang harus ditanam untuk memaksimalkan keuntungan?
Jawaban
Langkah 1: Definisikan variabel keputusan
X luas lahan padi (hektar)
Y luas lahan jagung (hektar)
Langkah 2: Fungsi tujuan
Z = 2.000.000x + 3.000.000y
Langkah 3: Fungsi kendala
1. Lahan: x + y < 100
2. Pekerja: 2x + 3y < 240
3. x > 0 dan y > 0
Langkah 4: Cari titik potong kendala
Dari kendala lahan: x + y = 100 → y = 100 – x
Dari kendala pekerja: 2x + 3y = 240 → y = 80 – 2/3x
Titik sudut: (0,80), (60,40), (100,0)
Langkah 5: Hitung nilai Z di titik sudut
Di titik (0,80): Z = 2.000.000(0) + 3.000.000(80) = 240.000.000
Di titik (60,40): Z = 2.000.000(60) + 3.000.000(40) = 220.000.000
Di titik (100,0): Z = 2.000.000(100) + 3.000.000(0) = 200.000.000
Solusi optimal
Tanam 0 hektar padi dan 80 hektar jagung untuk keuntungan maksimal sebesar Rp240 juta.
Demikian pembahasan rangkuman materi program linear kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka dan penjelasannya. Semoga bermanfaat.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: