Materi Trigonometri Kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka dan Penjelasannya
Materi Trigonometri Kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka dan Penjelasannya — Trigonometri adalah salah satu bagian penting dalam ilmu matematika. Di Indonesia sendiri, trigonometri umumnya dipelajari di bangku SMA.
Di sini Mamikos akan membahas mengenai materi trigonometri kelas 11 SMA di kurikulum Merdeka.
Jadi, simak terus ya penjelasan Mamikos mengenai materi yang akan dibahas di artikel ini.
Pengertian Trigonometri
Daftar Isi
Daftar Isi
Sebelum kita membahas mengenai materi trigonometri kelas 11 SMA, seharusnya kita pahami lebih dulu mengenai pengertian trigonometri. Jadi, trigonometri itu apa sih?
Berdasarkan Oxford reference, trigonometri merupakan konsep dalam ilmu matematika yang menganalisa kaitan antara suatu sudut dan sisi pada suatu segitiga, serta mempelajari perhitungan berdasarkan hubungan tersebut.
Ilmu ini berawal dari studi tentang hubungan matematika tertentu dalam segitiga yang mengandung sudut siku-siku (90°).
Oleh karena itu, trigonometri akan sangat membantu untuk menemukan sudut atau sisi yang hilang atau tidak diketahui dari sebuah segitiga siku-siku dengan menggunakan rumus trigonometri, fungsi, atau identitas trigonometri.
Pada ranah trigonometri, sudut bisa dinyatakan dalam satuan derajat ataupun radian. Beberapa sudut trigonometri yang paling umum digunakan untuk perhitungan adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.
Fungsi-fungsi Trigonometri
Materi trigonometri kelas 11 SMA yang akan dibahas selanjutnya adalah fungsi-fungsi trigonometri.
Berdasarkan buku Trigonometry karya Lial, Hornsby, dan Schneider, Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menghubungkan sudut dalam segitiga dengan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga tersebut.
Fungsi-fungsi utama dalam trigonometri adalah sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan). Penjelasan soal fungsi utama trigonometri akan dijelaskan di bawah ini ya!
1. Sinus (sin)
Sinus dari sudut α adalah perbandingan antara panjang sisi depan (sisi yang berhadapan langsung dengan sudut α) dengan panjang hipotenusa (sisi terpanjang dalam segitiga siku-siku).
2. Kosinus (cos)
Kosinus dari sudut α adalah perbandingan antara panjang sisi samping (sisi yang bersisian dengan sudut α) dengan panjang hipotenusa.
3. Tangen (tan)
Tangen dari suatu sudut yang dimisalkan sebagai α merupakan perbandingan antara panjang sisi di depan sudut α dengan panjang sisi sampingnya.
Persamaan Trigonometri Dasar
Dalam trigonometri, terdapat persamaan dasar yang sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan sudut dan panjang sisi.
Berikut ini adalah beberapa persamaan trigonometri dasar yang sering diajarkan di sekolah menengah atas, seperti yang dijelaskan dalam buku Modul Pembelajaran SMA Matematika Peminatan: Persamaan Trigonometri.
1. Sinus
Persamaan yang digunakan yaitu: sin(x)=sin(α)
Persamaan ini menyatakan bahwa jika sinus dari sudut 𝑥 sama dengan sinus dari sudut 𝛼, maka 𝑥 bisa berupa 𝛼 ditambah kelipatan 360 derajat (untuk putaran penuh) atau 𝛼 yang ditambah kelipatan 180 derajat (untuk posisi yang sama dalam siklus sinus).
2. Kosinus
Persamaan yang digunakan yaitu: cos(x)=cos(α)
Persamaan ini menyatakan bahwa jika kosinus dari sudut 𝑥 sama dengan kosinus dari sudut 𝛼, maka 𝑥 bisa berupa 𝛼 ditambah kelipatan 360 derajat atau negatif dari 𝛼 ditambah kelipatan 360 derajat.
3. Tangen
Persamaan yang digunakan yaitu: tan(x)=tan(α)
Persamaan ini menyatakan bahwa jika tangen dari sudut 𝑥 sama dengan tangen dari sudut 𝛼, maka 𝑥 bisa berupa 𝛼 ditambah kelipatan 180 derajat, karena tangen memiliki periode 180 derajat.
a. Sinus dengan Konstanta
Persamaan yang digunakan yaitu: sin(x)=k, dengan 𝑘 sebuah konstanta.
Untuk menemukan 𝑥 yang memenuhi persamaan ini, kita harus menemukan sudut 𝑥 yang sinusnya sama dengan 𝑘. Nilai 𝑘 harus berada di antara -1 dan 1 karena nilai sinus hanya berkisar antara -1 dan 1.
b. Kosinus dengan Konstanta
Persamaan yang digunakan yaitu: cos(x)=k, dengan 𝑘 sebuah konstanta.
Apabila kita ingin menemukan 𝑥 yang memenuhi persamaan ini, kita harus mencari sudut 𝑥 yang kosinusnya sama dengan 𝑘.
Nilai 𝑘 juga harus berada di antara -1 dan 1 karena nilai kosinus hanya berkisar antara -1 dan 1.
c. Tangen dengan Konstanta
Persamaan yang digunakan yaitu: tan(x)=k, dengan 𝑘 sebuah konstanta.
Untuk menemukan 𝑥 yang memenuhi persamaan ini, kita harus menemukan sudut 𝑥 yang tangennya sama dengan 𝑘.
Tangen tidak memiliki batasan nilai karena bisa berkisar dari negatif tak terhingga hingga positif tak terhingga.
Identitas Trigonometri
Materi trigonometri kelas 11 SMA yang dibahas dalam identitas trigomonetri meliputi identitas trigonometri dasar, jumlah dan selisih dua sudut serta aturan sinus dan kosinus yang akan Mamikos jabarkan lebih jauh di bawah ini.
A. Identitas Trigonometri Dasar
Identitas trigonometri adalah persamaan yang berlaku untuk semua sudut dan berperan penting dalam menyederhanakan dan menyelesaikan berbagai persamaan trigonometri.
Dalam trigonometri, ada dua identitas dasar yang sangat penting: Identitas Pythagoras dan Identitas Tangent.
1. Identitas Pythagoras
Identitas ini menyatakan bahwa jika kita mengambil kuadrat dari sinus suatu sudut yang dinyatakan dalam simbol 𝜃 dan menambahkannya dengan kuadrat dari kosinus sudut 𝜃 maka hasilnya selalu 1.
Rumus yang digunakan yaitu sin2(θ)+cos2(θ)=1
Mamikos akan coba bantu jelaskan, ya! Bayangkan sebuah segitiga siku-siku dengan sudut 𝜃. Dalam segitiga ini terdapat komponen-komponen antara lain:
Sinus (sin) dari suatu sudut yang kita misalkan dalam 𝜃 merupakan perbandingan panjang sisi di depan sudut θ dengan panjang hipotenusanya.
Kosinus (cos) dari sudut 𝜃 yang merupakan perbandingan antara panjang sisi di samping sudut 𝜃 dengan panjang hipotenusa.
Apabila kita mengkuadratkan sinus dan kosinus dari sudut 𝜃 dan menjumlahkannya, kita selalu mendapatkan hasil 1.
Mengapa demikian? Hal ini disebabkan karena identitas Pythagoras merupakan turunan dari teorema Pythagoras yang menyatakan pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya.
Agar kamu bisa memahami salah satu materi trigonometri kelas 11 SMA satu ini, maka Mamikos akan berikan contohnya, simak ya!
Contoh soal
Misalkan:
sin (θ) = 0.6
cos (θ) =0.8
Maka:
sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 0.6 2 +0.8 2 = 0.36 + 0.64 = 1
2. Identitas Tangent
Identitas tangent menyatakan bahwa tangen dari suatu sudut 𝜃 adalah hasil bagi dari sinus sudut 𝜃 dengan kosinus sudut 𝜃. Rumus yang digunakan yaitu
Dalam segitiga siku-siku, tangen (tan) dari sudut 𝜃 adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut 𝜃 dengan panjang sisi di samping sudut 𝜃.
Identitas ini memperlihatkan hubungan langsung antara sinus, kosinus, dan tangen.
Contoh Soal
Misalkan:
sin(θ)=0.6
cos(θ)=0.8
Maka:
B. Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Identitas trigonometri juga mencakup rumus-rumus yang digunakan untuk menghitung nilai sinus, kosinus, dan tangen dari jumlah atau selisih dua sudut.
Rumus-rumus ini berperan penting dalam penyederhanaan dan penyelesaian persamaan trigonometri. Untuk lebih detailnya Mamikos akan membahas salah satu materi trigonometri kelas 11 SMA di bawah ini ya.
1. Jumlah Dua Sudut
Jumlah dua sudut adalah identitas yang digunakan untuk menghitung nilai trigonometri dari penjumlahan dua sudut. Rumus-rumus untuk jumlah dua sudut yaitu:
a. Sinus yang didasarkan pada jumlah-jumlah sudutnya: sin (𝐴 + 𝐵) =sin (𝐴)cos (𝐵)+cos(𝐴) sin (𝐵)
b. Kosinus hasil penjumlahan dua sudut: cos (𝐴 + 𝐵) = cos(𝐴)cos(𝐵)−sin(𝐴)sin(𝐵)
c. Tangen atas penjumlahan dua buah sudut:
2. Selisih Dua Sudut
Selisih dua sudut merupakan salah satu identitas trigonometri yang diterapkan dalam menghitung nilai trigonometri dari pengurangan dua buah sudut. Rumus-rumus untuk selisih dua sudut yaitu:
a. Sinus dari selisih dua sudut: sin(A−B) = sin(A)cos (B)− cos (A) sin(B)
b. Kosinus dari selisih dua sudut: cos(A−B) =cos (A) cos (B)+ sin (A) sin (B)
c. Tangen dari selisih dua sudut:
C. Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan sinus dan kosinus juga dibahas dalam materi trigonometri kelas 11 SMA. Aturan sinus dan kosinus ini digunakan dalam segitiga sembarang (segitiga yang tidak harus siku-siku) untuk menemukan panjang sisi atau besar sudut yang tidak diketahui.
1. Aturan Sinus
Dalam sebuah segitiga sembarang dengan sisi-sisi 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 serta sudut-sudut 𝐴, 𝐵, dan 𝐶, aturan sinus menyatakan bahwa perbandingan antara panjang sisi dan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut adalah konstan.
Artinya, perbandingan panjang sisi 𝑎 dengan sinus sudut 𝐴 sama dengan perbandingan panjang sisi 𝑏 dengan sinus sudut 𝐵, dan juga sama dengan perbandingan panjang sisi 𝑐 dengan sinus sudut 𝐶.
Rumus yang digunakan dalam aturan sinus yaitu:
2. Aturan Kosinus
Aturan kosinus diterapkan dalam menemukan panjang sisi segitiga berbentuk sembarang apabila sudah kita ketahui dua sisi dan besar sudut di antara kedua sisi tersebut.
Rumus ini mirip dengan teorema Pythagoras tetapi disesuaikan untuk segitiga sembarang.
Dalam rumus ini, c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut C, sedangkan a dan b adalah sisi-sisi yang membentuk sudut C.
Rumus yang digunakan dalam aturan kosinus yaitu: c2=a2+b2−2ab cos(C)
Persamaan Trigonometri Kuadrat
Persamaan trigonometri kuadrat adalah bagian penting dari materi trigonometri kelas 11 SMA yang diajarkan.
Persamaan trigonometri kuadrat adalah persamaan dalam bentuk kuadrat yang melibatkan fungsi trigonometri. Bentuk dari persamaan ini adalah Ax2 + Bx+ C= 0 di mana x bisa berupa sin(x), cos(x), atau tan(x).
Penutup
Demikian materi trigonometri kelas 11 SMA yang Mamikos jabarkan dalam bahasa yang mudah dimengerti. Semoga jadi salah satu sumber materi belajar buat kamu.
Jangan lupa untuk terus berlatih dengan latihan soal agar kamu makin memahami materi ini dan berhasil dalam proses belajar kamu di SMA.
Kalau masih ada yang ingin ditanyakan, Mamikos akan membahas pertanyaan yang umum ditanyakan di FAQ di bawah ini ya!
FAQ
Trigonometri kelas 11 adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi dalam segitiga, serta fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen.
Materi trigonometri meliputi fungsi-fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen), identitas trigonometri, persamaan trigonometri, aturan sinus dan kosinus, serta integral trigonometri.
Trigonometri dibagi menjadi dua bagian utama: trigonometri dasar dan trigonometri lanjutan.
Trigonometri digunakan untuk menghitung panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga, serta untuk memodelkan fenomena periodik seperti gelombang.
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga, contohnya menghitung panjang sisi atau besar sudut menggunakan fungsi sinus, kosinus, dan tangen.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: