Ringkasan Materi Induksi Matematika Kelas 11 SMA dan Penjelasannya
Ringkasan Materi Induksi Matematika Kelas 11 SMA dan Penjelasannya – Salah satu materi yang wajib dikuasai siswa kelas 11 SMA dalam pelajaran matematika adalah materi tentang induksi.
Supaya kamu bisa memahami materi induksi matematika kelas 11 ada banyak cara bisa dilakukan. Selain dengan sering berlatih soal-soal matematika. Kamu juga bisa belajar untuk membuat rangkuman atau ringkasannya. Jika kamu kebingungan tentang bagaimana membuat ringkasannya,
Dalam artikel ini, Mamikos akan memberikan contoh rangkuman materi induksi matematika yang bisa kamu pelajari. Namun, sebelum melangkah lebih jauh ada baiknya bila kamu mengetahui bagaimana sejarah awal mula induksi matematika.
Sejarah Induksi matematika
Daftar Isi
- Sejarah Induksi matematika
- Ringkasan Materi Induksi Matematika Kelas 11 SMA
- Apa yang Dimaksud dengan Induksi Matematika?
- Konsep Dasar Induksi Matematika
- Jenis-jenis Prinsip Induksi Matematika
- Prinsip Induksi Sederhana
- Prinsip Induksi yang Dirampatkan
- Prinsip Induksi Kuat
- Efek Domino
- Perbedaan Penalaran Induksi dan Penalaran Deduksi
- Penalaran Deduktif dalam Matematika
Daftar Isi
- Sejarah Induksi matematika
- Ringkasan Materi Induksi Matematika Kelas 11 SMA
- Apa yang Dimaksud dengan Induksi Matematika?
- Konsep Dasar Induksi Matematika
- Jenis-jenis Prinsip Induksi Matematika
- Prinsip Induksi Sederhana
- Prinsip Induksi yang Dirampatkan
- Prinsip Induksi Kuat
- Efek Domino
- Perbedaan Penalaran Induksi dan Penalaran Deduksi
- Penalaran Deduktif dalam Matematika
Dalam beberapa catatan, disebutkan bahwa penemu urutan aritmatika ini mulai dikenalkan alam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 M.
Ia menggunakannya untuk melakukan pembuktian terhadap teorema binomial dan segitiga pascal. Selain itu ada pula ilmuwan Yunani Kuno yang menggunakan induksi matematika untuk membuat pernyataan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas.
Hanya saja sebelum tahun 1600 M belum ada ilmuan matematika yang mampu membuat pembuktian induksi matematika secara implisit.
Barulah dikisaran tahun 1665 seorang ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat melakukan suatu pembuktian dengan implisit.
Menjelang abad ke-20 ilmu induksi matematika diperbarui oleh dua ilmuwan matematika yakni G. Peano dan R. Dedekid.
Pada waktu itu, Dedekind sukses mengembangkan sekumpulan aksioma yang memberikan gambaran bulat positif.
Sedangkan, Peano dapat memperbaiki aksioma itu dan memberinya interpretasi logis. Sehingga seluruh aksioma itu kemudian disebut dengan Postulat Peano.
Setelah mengetahui sejarah lahirnya induksi matematika, sekarang kamu dapat mempelajari ringkasan materinya.
Ringkasan Materi Induksi Matematika Kelas 11 SMA
Di bawah ini adalah contoh ringkasan materi induksi.
Apa yang Dimaksud dengan Induksi Matematika?
Secara sederhana, induksi matematika adalah sebuah cara yang dilakukan untuk membuktikan kebenaran suatu rumus ada suatu pernyataan bersifat matematika.
Selain itu, induksi matematika juga dapat dikatakan sebagai suatu metode yang digunakan untuk media pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan itu akan berlaku untuk semua kasus.
Kamu pastinya sudah memiliki gambaran tentang maksudnya. Makanya, agar tidak merasa bingung langsung saja kita coba ke contohnya.
Contoh yang dapat digunakan dalam induksi matematika adalah deret bilangan seperti berikut
1+2+3+…+n
Langkah pertama yang digunakan untuk melakukan pembuktian pada sebuah n bilangan asli yaitu nilai n suatu bilangan tertentu, kamu dapat mencari jumlah dari deret bilangan yang telah disebutkan.
Sebagai contoh, untuk n = 2 maka kamu mendapatkan hasil:
1+2 = 9
Setelah percobaan ini barulah diketahui bahwa nilai n adalah 2, maka kita bisa mengetahui bahwa jumlah deret bilangannya adalah 3.
Lantas bagaimana dengan n = 6? Cara mudah, kamu hanya perlu menghitung dengan cara ini:
1+2+3+4+5+6 = 21
Lantas bagaimana dengan n = 10 untuk menghitungnya kamu bisa menggunakan rumus n (n+1) dibagi 2. Jadi jumlah deret bilangan dari n = 10 adalah 10 (10+1) dibagi 2 = 55.
Supaya dapat membuktikan bahwa rumus yang digunakan benar ada tiga langkah yang harus dilakukan:
- Dapat membuktikan jika pernyataan atau rumus itu benar untuk n = 1
- Dapat mengasumsikan jika pernyataan atau rumus itu benar untuk n = k
- Dapat membuktikan jika pernyataan atau rumus itu benar untuk n = k + 1
Dalam melakukan penerapan induksi matematika ini yang harus kamu lakukan adalah dapat membuat pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan p (k) yang telah diberikan.
Sedangkan untuk dapat menyatakan persamaan p (k +1), kamu bisa melakukan substitusi kuantitas k + 1 ke dalam sebuah pernyataan p (k).
Konsep Dasar Induksi Matematika
Dengan memakai induksi matematika, kamu dapat membuat pembuktian bahwa rumus Sn di atas tanpa harus menghapus satu per satu nilai yang dimiliki Sn seperti contoh di atas.
Caranya lumayan mudah. Kamu hanya perlu melakukan dua langkah di bawah ini:
Kamu hanya perlu membuktikan bahwa rumus itu benar untuk nilai n dasar (seperti contoh yang ada di atas, silakan buktikan bahwa n=1).
Kemudian, kamu juga harus bisa membuktikan jika rumus benar untuk menghitung n = k, sehingga rumus tersebut juga benar digunakan untuk menghitung n = k + 1.
Jenis-jenis Prinsip Induksi Matematika
Prinsip Induksi Sederhana
Misalnya p(n) merupakan suatu pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kamu akan membuktikan bahwa p (n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Supaya kamu bisa melakukan pembuktian kebenaran pernyataan ini, kamu hanya perlu dapat menunjukkan bahwa:
p(1) benar
Untuk semua bilangan bulat positif n ≥1, jika p(n) adalah benar, p (n+1) adalah juga benar
Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Misalnya p(n) merupakan sebuah pernyataan perihal bilangan bulat dan kamu akan melakukan pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
Dalam melakukan pembuktian ini, kamu hanya perlu dapat menunjukkan bahwa:
p(n0) benar.
Untuk semua bilangan bulat n ≥n0, jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar.
Perbedaan prinsip induksi sederhana dengan prinsip induksi yang dirampatkan adalah pada induksi sederhana kamu harus selalu memakai basis induksi untuk n = 1, tapi pada prinsip induksi yang dirampatkan, basis induksi tidak selalu dimulai dengan n = 1.
Nilai n bisa berapa saja asalkan nilai yang dimiliki oleh n adalah anggota bilangan asli.
Prinsip Induksi Kuat
Misalnya p(n) merupakan pernyataan perihal bilangan bulat dan kamu ingin melakukan pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0, jika p(n0), p(n0+1),…,p(n) adalah benar maka p(n+1) bisa dipastikan juga benar.
Versi induksi kuat ini mirip dengan induksi sederhana, kecuali pada langkah 2 kamu harus dapat mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat pada semua pernyataan p(1), p(2), …, p(n) merupakan benar dari hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) adalah benar.
Efek Domino
Misalkan n adalah bilangan bulat tak negatif.
N = {1, 2, 3, . . .}
Kamu ingin membuktikan beberapa pernyataan matematis mengenai setiap anggota N, misalnya pada masalah berikut.
Tunjukkan bahwa:
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 (𝑛 + 1)/ 2
untuk setiap n ≥ 1
Dalam arti pernyataan di atas merupakan pernyataan yang berbeda tak terbatas karena setiap n kamu akan mendapat persamaan yang berbeda.
n = 1 → 1 = 1(2)/2 = 1
n = 2 → 1 + 2 = 2(3)/2 = 3
n = 3 → 1 + 2 + 3 = 3(4)/2 = 6 dan begitu seterusnya.
Rumus di atas sangat mudah dibuktikan, hanya dengan mengganti nilai n dengan sebuah bilangan bulat di kiri dan mengkalkulasikannya di kanan dan kamu dapat memastikan bahwa jawaban yang diperoleh telah sama.
Namun, yang jadi permasalahan adalah bagaimana cara yang kamu lakukan untuk membuat pembuktian bahwa pernyataan benar untuk setiap n. Di tahapan ini konsep induksi matematika menunjukkan perannya.
Langkah awal adalah kita harus membayangkan bahwa pernyataan ini sama seperti yang dimiliki oleh efek domino.
Kamu bisa membayangkan bahwa setiap pernyataan yang berhubungan dengan nilai yang berbeda dari n adalah serupa dengan batu domino yang disusun berjajar.
Bayangkan pula bahwa ketika sebuah pernyataan untuk nilai n pertama benar, maka dapat dikatakan pernyataan untuk n berikutnya juga terbukti benar.
Hal ini sama dengan efek domino. Kamu dapat membuktikan bahwa pernyataan untuk setiap n jika kita menunjukkan setiap domino bisa membuat semua domino jatuh atau tumbang.
Jika domino disusun agak jauh dengan pola yang berbeda, tentu kamu akan gagal dalam memeragakannya.
Namun, jika domino disusun dalam sebuah baris secara urut dan berdekatan, kamu dapat melihat bila domino bernomor k jatuh, domino bernomor k+1 juga akan jatuh untuk setiap nilai k.
Dengan kata lain jika kamu menjatuhkan batu domino pertama, selanjutnya batu domino pertama akan menjatuhkan batu domino kedua, batu domino kedua menjatuhkan batu domino ketiga, dan begitu terus hingga semua domino jatuh semuanya.
Perbedaan Penalaran Induksi dan Penalaran Deduksi
Pastinya kamu bertanya-tanya mengapa hal ini disebut dengan induksi matematika. Mungkin kamu berpikir bahwa hal ini berkaitan dengan penalaran induktif dalam ilmu logika.
Bila kamu berpikiran demikian, maka kurang tepat. Sebab, induksi matematika ini justru memiliki hubungan dengan induksi deduktif.
Supaya kamu lebih mudah memahami perbedaan keduanya, simak penjelasannya di bawah ini:
Penalaran induktif merupakan suatu penalaran yang tidak memiliki hubungan sama sekali dengan Induksi Matematika.
Secara sederhana, penalaran induktif mengambil kesimpulan dari premis-premis secara umum (pengamatan, data, fakta) setelah itu barulah mengambil kesimpulan yang sifatnya spesifik.
Jadi, kesimpulan yang diambil dari penalaran induktif itu sifatnya tidak pasti, melainkan “mungkin benar”.
Salah satu kebiasaan umum dari dilakukannya penalaran induktif itu adalah dia mengambil kesimpulan general dari beragam kasus khusus.
Sedangkan, yang dimaksud dengan penalaran deduktif adalah pengambilan kesimpulan secara logis berdasarkan premis-premis yang sudah ada.
Penalaran Deduktif dalam Matematika
Penalaran deduktif ini merupakan intinya matematika. Berbagai operasi yang kamu lakukan di matematika itu dasarnya dapat dipecahkan dengan penalaran deduktif ini. Salah satu contoh yang paling sederhana adalah sebagai berikut:
Premis 1: y = 2x + 3
Premis 2: x = 2
Kesimpulan: y = 2(2) + 3 = 7
Jadi, kalau kamu memiliki pendapat bahwa premis yang pertama benar (y=2x+3) dan premis yang kedua juga benar (x=2), maka kesimpulan bahwa y=7 juga merupakan kesimpulan yang benar.
Demikian informasi ringkasan materi induksi matematika yang bisa diberikan. Semoga artikel ini bermanfaat bagi yang membutuhkan.
FAQ
Induksi matematika adalah suatu teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah.
Induksi matematika adalah salah satu upaya kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli.
Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = 1.
Asumsikan pernyataan benar untuk n = k.
Tunjukkan bahwa n = k+1 juga benar.
Induksi matematika dipakai untuk membuktikan formula matematika bersifat diskrit.
Induksi matematik merupakan sebuah teknik pembuktian baku di dalam Matematika. Induksi matematik dapat digunakan untuk membuat pembuktian pernyataan yang khusus menyangkut bilangan bulat positif.
Pembuktian yang dilakukan dengan Induksi matematik dapat digambarkan dengan mencontoh fenomena yang terkenal dengan Efek Domino.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: