Rumus Limit Fungsi Trigonometri beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Rumus Limit Fungsi Trigonometri beserta Contoh Soal dan Pembahasannya β€” Salah satu materi yang dipelajari dalam trigonometri adalah limit fungsi trigonometri. Terdengar rumit, bukan? Tapi, apakah serumit itu?

Tempo hari Mamikos sudah sempat membahas mengenai tentang limit tak hingga bentuk akar.

Di kesempatan ini, Mamikos akan memberikan penjelaskan mengenai rumus limit fungsi trigonometri serta contoh dan pembahasan, jadi simak ya!

Limit Fungsi Trigonometri

Canva.com/@benjaminec

Sebelum kita membahas lebih lanjut mengenai rumus limit fungsi trigonometri di segmen selanjutnya, mari kita bahas dulu mengenai pengertian limit fungsi trigonometri secara umum. Apa sih limit fungsi trigonometri itu?

Limit fungsi trigonometri merupakan konsep kalkulus yang mengkaji perilaku fungsi trigonometri ketika mendekati titik tertentu.

Limit fungsi merupakan bagian dari ilmu matematika yang sering dioperasikan untuk memahami serta menghitung batas dari suatu fungsi. (Stewart, J. 2016)

Dalam fungsi trigonometri, kita berurusan dengan fungsi-fungsi seperti sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan).

Bentuk umum dari rumus limit fungsi trigonometri yaitu di mana nilai yang didekati oleh 𝑓(π‘₯) saat π‘₯ mendekati π‘Ž. Untuk rumus limit fungsi trigonometri akan dijelaskan dengan lebih detail di poin berikutnya.

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Di bawah ini adalah rumus limit fungsi trigonometri yang umum digunakan:

1. Limit sin π‘₯ apabila π‘₯ mendekati 0

Apabila π‘₯ mendekati 0, nilai sin(π‘₯) juga mendekati 0. Ini merupakan salah satu limit dasar dalam trigonometri.

2. Limit cos π‘₯ ketika π‘₯ mendekati 90 derajat (Ο€/2)

Ketika π‘₯ mendekati 90 derajat atau(Ο€/2), nilai cos(π‘₯) mendekati 0. Hal ini karena cos (Ο€/2)= 0.

3. Limit tan π‘₯ ketika π‘₯ mendekati 90 derajat (Ο€/2)

Ketika x mendekati 90 derajat atau Ο€/2, nilai tan(π‘₯) mendekati tak terhingga. Situasi ini dikarena tan(π‘₯) = sin(π‘₯)/cos(π‘₯), dan cos(π‘₯) mendekati 0 saat π‘₯ mendekati Ο€/2, sehingga nilai tan(π‘₯) menjadi sangat besar (tak terhingga).

4. Limit Β  ketika π‘₯ mendekati 0: ​

5. Limit Β  ketika π‘₯ mendekati 0: ​

6. Limit cot π‘₯ saat π‘₯ mendekati 0 derajat

Apabila π‘₯ mendekati 0 derajat, nilai cot(π‘₯) mendekati tak terhingga. Ini karena cot(π‘₯) = cos(π‘₯)/sin(π‘₯), dan sin(π‘₯) mendekati 0 saat π‘₯ mendekati 0, sehingga nilai cot(π‘₯) menjadi sangat besar (tak terhingga).

7. Limit sec π‘₯ ketika π‘₯ mendekati 90 derajat Ο€/2)

Ketika x mendekati 90 derajat atau Ο€/2, nilai sec(π‘₯) mendekati tak terhingga. Ini karena sec(π‘₯) = 1/cos(π‘₯), dan cos(π‘₯) mendekati 0 saat π‘₯ mendekati , sehingga nilai sec(π‘₯) menjadi sangat besar (tak terhingga).

8. Limit csc π‘₯ ketika π‘₯ mendekati 0 derajat

Ketika π‘₯ mendekati 0 derajat, nilai csc(π‘₯) mendekati tak terhingga. Ini karena csc(π‘₯) = 1/sin(π‘₯), dan sin(π‘₯) mendekati 0 saat π‘₯ mendekati 0, sehingga nilai csc(π‘₯) menjadi sangat besar (tak terhingga).

Penjelasan

  • Sin(π‘₯) dan Cos(π‘₯): Kedua fungsi ini memiliki limit yang mendekati nilai tertentu saat x mendekati sudut tertentu, yaitu 0 untuk sin(π‘₯) saat π‘₯ mendekati 0, dan 0 untuk cos(π‘₯) saat π‘₯mendekati 90 derajat.
  • Tan(π‘₯), Cot(π‘₯), Sec(π‘₯), dan Csc(π‘₯): Fungsi-fungsi ini memiliki limit yang mendekati tak terhingga saat π‘₯ mendekati sudut tertentu karena pembagiannya dengan fungsi trigonometri lain yang mendekati 0.

Selain rumus di atas, ada delapan bentuk rumus fungsi trigonometri yang wajib kamu tahu. Mamikos akan merangkumnya di bawah ini, jadi simak ya!

1. Limit Β  ketikaΒ x mendekati 0:

Persamaan ini diperoleh dari bentuk dasar ​​

Dengan substitusi 𝑒=π‘Žπ‘₯ saat π‘₯β†’0, 𝑒→ 0. Maka:

2. Limit Β  ketika x mendekati 0:

Persamaan ini diperoleh dari bentuk dasar ​​

Dengan substitusi 𝑒 = bπ‘₯ saat π‘₯β†’0, 𝑒→ 0. Maka:

3. Limit Β  ketika x mendekati 0:

Menggunakan substitusi 𝑒= π‘Žπ‘₯ dan 𝑣 =𝑏π‘₯, saat π‘₯ β†’ 0, 𝑒→ 0 dan 𝑣 β†’ 0. Maka,                                                                        

4. LimitΒ  Β  ketika x mendekati 0:

Karena xβ†’ 0 , kita dapat menggunakan substitusi 𝑒 = π‘Žπ‘₯. Maka,

5. LimitΒ  Β  ketika xΒ  mendekati 0:

Dengan substitusi 𝑒 = 𝑏π‘₯ maka,

6. Limit ketikaΒ x mendekati 0:

Dengan substitusi 𝑒 =π‘Žπ‘₯ dan 𝑣 =𝑏π‘₯, maka:

7. LimitΒ  Β  ketikaΒ x mendekati 0:

Selanjutnya kita substitusi 𝑒 = π‘Žπ‘₯ serta 𝑣 =𝑏π‘₯, maka:

8. LimitΒ  ketikaΒ x mendekati 0:

Substitusikan nilai 𝑒 = π‘Žπ‘₯ dan 𝑣 =𝑏π‘₯, sehingga

Contoh Soal yang Menggunakan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Di bawah ini Mamikos menyajikan contoh soal yang menerapkan rumus limit fungsi trigonometri beserta pembahasan yang bisa kamu gunakan sebagai latihan di rumah, simak ya!

Contoh Soal 1

Lengkapi nilai dari limit trigonometri berikut ​!

Pembahasan:

Identifikasi bentuk limit yang diberikan adalah:Β  ​ ketikaΒ  mendekati 0

Maka kita dapat menggunakan rumus fungsi trigonometri yang ini: ​

Substitusi Nilai π‘Ž dan 𝑏. Dalam soal ini, π‘Ž =12 dan 𝑏 = 2. Maka, substitusi nilai tersebut ke dalam rumus menghasilkan:

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah ​

Contoh Soal 2

Hitunglah nilai dari ​ =…

Pembahasan:

Nilai sin (2π‘₯) ketika π‘₯ β†’ Ο€/2 maka 2x β†’2β‹… Ο€/2= Ο€

Kita tahu bahwa: sin (πœ‹) = 0

Nilai cos (π‘₯) ketika π‘₯ β†’ Ο€/2 maka cos (Ο€/2​) = 0

Setelah kita menghitung nilai dari masing-masing fungsi pada π‘₯ = Ο€/2 ​, maka kita bisa menjumlahkannya:

​ = sin (πœ‹) + cos (Ο€/2) = 0 + 0 = 0

Jadi nilai dari limit tersebut adalah = 0

Contoh Soal 3

Selesaikan persamaan di bawah ini! Hitunglah nilai dari =…

Kita perlu memahami perilaku dari fungsi trigonometri sin (2/x) ketika π‘₯ mendekati 0 dan bagaimana π‘₯ mempengaruhi limit tersebut.

Pembahasan

Fungsi sin (2/x) berosilasi antara -1 dan 1 untuk semua nilai π‘₯, tetapi (2/x) akan menjadi sangat besar ketika π‘₯ mendekati 0. Meskipun sin (2/x) tidak memiliki limit tertentu karena terus berosilasi, kita tahu bahwa nilainya tetap terbatas antara -1 dan 1.

Ketika π‘₯ β†’ 0, kita perlu mempertimbangkan bahwa sin (2/x) tetap terbatas. Artinya, kita dapat menggunakan prinsip bahwa sin (2/x) tetap antara -1 dan 1.

Kita dapat menggunakan batasan sinus yaitu -1 ≀ sin (2/x) ≀ 1

Jika kita mengalikan seluruh bagian dengan π‘₯ (yang mendekati 0) maka akan menghasilkan:

-π‘₯ ≀ sin (2/x) ≀ π‘₯

Untuk menyelesaikan persamaan maka kita memakai rumus limit fungsi trigonometri yang ini:

f(x) ≀ g(x) ≀h (x) dan ​ , maka ​ .

Dalam soal ini: 

π‘₯ ​ = 0 dan ​

maka  π‘₯ ​ sin (2/x)  = 0

Jadi nilai dari limit adalah 0

Penutup

Dengan menguasai rumus limit fungsi trigonometri, kamu dapat menyelesaikan berbagai masalah limit fungsi trigonometri dengan lebih mudah dan tepat.

Semoga contoh soal dan pembahasan yang telah disajikan oleh Mamikos di atas dapat membantu proses belajar dan latihan kamu. Tetap semangat!

Apabila terdapat hal lain yang masih mengganjal, kamu bisa menyimak FAQ di bawah ini, ya!

FAQ

Apa itu rumus limit fungsi trigonometri?

Rumus limit fungsi trigonometri adalah rumus untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, atau tangen ketika variabel mendekati suatu titik tertentu.

Bagaimana cara menentukan nilai limit fungsi?

Untuk menentukan nilai limit fungsi, substitusikan nilai mendekati titik yang diinginkan.

Apa yang kalian ketahui tentang limit fungsi dan trigonometri?

Limit fungsi adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabel mendekati titik tertentu, sementara limit trigonometri melibatkan perilaku fungsi trigonometri seperti sin, cos, dan tan saat variabel mendekati titik tertentu.

Apa manfaat aplikasi limit fungsi trigonometri?

Aplikasi limit fungsi trigonometri bermanfaat untuk analisis perilaku fungsi mendekati titik tertentu, penting dalam kalkulus dan pemodelan fenomena fisik, teknik, dan ilmu alam.

Jelaskan mengenai nilai maksimum dan nilaiminimum dalam fungsi trigonometri?

Nilai maksimum fungsi trigonometri adalah nilai tertinggi yang dicapai oleh fungsi tersebut, sementara nilai minimum adalah nilai terendah yang dicapai oleh fungsi tersebut.


Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta