Rumus Translasi Matematika beserta Contoh Soal dan Pembahasannya
Rumus Translasi Matematika beserta Contoh Soal dan Pembahasannya – Matematika seringkali dianggap sebagai materi yang sulit dipahami, dengan rumus-rumus yang rumit dan angka-angka yang membingungkan.
Namun, ada satu konsep dasar dalam matematika yang mungkin belum kamu ketahui, namun memiliki peran penting dalam pemecahan berbagai masalah matematika. Ini adalah translasi matematika.
Rumus translasi adalah salah satu alat yang digunakan dalam matematika untuk memindahkan objek atau titik dari satu tempat ke tempat lain dengan cara yang terukur. Yuk, simak pembahasan lengkapnya berikut ini!
Translasi Matematika
Daftar Isi
Daftar Isi
Translasi matematika adalah suatu proses perpindahan atau pergeseran suatu objek dari satu posisi ke posisi lainnya dalam koordinat kartesius.
Dalam translasi, objek akan tetap mempertahankan bentuk, ukuran, dan orientasi yang sama, hanya posisinya yang berubah.
Dalam istilah yang lebih sederhana, translasi dapat dianggap sebagai pemetaan titik-titik dari posisi awalnya ke posisi akhirnya dengan arah dan magnitudo yang sama.
Karena ini merupakan bentuk pergerakan atau pemindahan, maka objek yang menjalani translasi tidak mengalami perubahan bentuk atau ukuran.
Dalam kata lain, bayangan objek akan selalu memiliki kesamaan dengan objek awalnya.
Sifat-Sifat Translasi
Berikut adalah sifat-sifat translasi yang perlu kita ketahui:
- Tidak Merubah Bentuk: Translasi tidak mengubah bentuk dari objek. Objek tetap memiliki bentuk yang sama sepanjang pergerakan.
- Tidak Merubah Ukuran: Ukuran dari objek yang mengalami translasi juga tetap sama. Panjang, lebar, dan tinggi objek tidak berubah.
- Mempertahankan Jarak Antar Titik: Jarak antar titik di objek sebelum dan setelah translasi tetap sama. Titik-titik objek bergerak bersama-sama dengan jarak yang sama.
- Bayangan yang Sama: Bayangan objek setelah translasi identik dengan objek asli. Objek sebelum dan setelah translasi adalah kongruen.
- Pemetaan Satu-satu: Tiap titik pada objek memiliki pasangan titik pada posisi yang ditranslasikan, membentuk pemetaan satu-satu.
Rumus Translasi Matematika
Proses translasi pada koordinat kartesius dapat dijelaskan dengan menggunakan rumus:
Jika sebuah titik (x,y) mengalami translasi sebesar a satuan ke kanan dan b satuan ke atas, maka posisi titik baru (x′,y′) dapat dihitung dengan rumus:
x′=x+a
y′=y+b
Dalam rumus translasi, a adalah pergeseran ke arah sumbu x (horizontal), sedangkan b adalah pergeseran ke arah sumbu y (vertikal).
Contoh Soal No. 1-7
1. Jika sebuah objek translasi 5 unit ke kanan dan 4 unit ke bawah dari posisi awalnya di titik (10, 15), apa posisi akhirnya?
A. (15, 11)
B. (10, 15)
C. (5, 19)
D. (15, 19)
E. (5, 11)
Jawaban: A
2. Sebuah objek digeser 6 unit ke kiri dan 2 unit ke atas. Jika posisi awalnya adalah (14, 22), apa posisi akhirnya?
A. (20, 20)
B. (14, 22)
C. (8, 20)
D. (20, 24)
E. (8, 24)
Jawaban: C
3. Jika sebuah objek translasi 1 unit ke kiri dan 8 unit ke atas dari posisi awalnya di titik (5, 9), apa posisi akhirnya?
A. (4, 1)
B. (5, 9)
C. (6, 17)
D. (4, 17)
E. (6, 1)
Jawaban: D
4. Sebuah objek mengalami translasi 4 unit ke kanan dan 3 unit ke bawah. Jika posisi awalnya adalah (15, 20), apa posisi akhirnya?
A. (11, 23)
B. (15, 20)
C. (19, 17)
D. (19, 23)
E. (11, 17)
Jawaban: C
5. Jika sebuah objek translasi 2 unit ke atas dari posisi awalnya di titik (8, 11), apa posisi akhirnya?
A. (8, 13)
B. (8, 11)
C. (6, 9)
D. (10, 9)
E. (6, 13)
Jawaban: A
6. Sebuah objek digeser 7 unit ke kiri dan 5 unit ke atas. Jika posisi awalnya adalah (20, 30), apa posisi akhirnya?
A. (13, 35)
B. (20, 30)
C. (27, 35)
D. (13, 25)
E. (27, 25)
Jawaban: A
7. Jika sebuah objek translasi 3 unit ke bawah dan 4 unit ke kiri dari posisi awalnya di titik (12, 18), apa posisi akhirnya?
A. (15, 22)
B. (12, 18)
C. (9, 14)
D. (16, 14)
E. (8, 15)
Jawaban: D
Contoh Soal No. 8-14
8. Sebuah objek mengalami translasi 6 unit ke kanan dan 2 unit ke atas. Jika posisi awalnya adalah (4, 5), apa posisi akhirnya?
A. (10, 7)
B. (4, 5)
C. (8, 3)
D. (10, 3)
E. (8, 7)
Jawaban: A
9. Jika sebuah objek translasi 2 unit ke bawah dari posisi awalnya di titik (9, 11), apa posisi akhirnya?
A. (7, 11)
B. (9, 11)
C. (11, 9)
D. (7, 13)
E. (9, 9)
Jawaban: E
10.. Sebuah objek mengalami translasi 5 unit ke kiri dan 7 unit ke atas. Jika posisi awalnya adalah (3, 6), apa posisi akhirnya?
A. (-2, 13)
B. (3, 6)
C. (8, 1)
D. (10, 13)
E. (8, 6)
Jawaban: A
11. Berapa koordinat titik P, jika kita tahu bahwa titik P’ (3, -13) adalah hasil translasi dari titik P dengan vektor translasi T = (-10, 7)?
A. (4, 20) B. (-5, -4) C. (13, -4) D. (13, 20) E. (-5, -20)
Jawaban: D
12. Berapa koordinat dari bayangan titik A setelah titik A(5,-2) ditranslasi menggunakan vektor translasi T (-3, 1)?
A. A’(2, 1)
B. A’(-2, 1)
C. A’(2, -1)
D. (2, 2)
E. (3, -1)
Jawaban: C
13. Berapakah koordinat titik C jika kita tahu bahwa titik C’ (-2, -1) adalah hasil translasi dari titik C dengan menggunakan vektor translasi (-3, 4)…
A. (1, -5)
B. (-1, 5)
C. (1, -3)
D. (-3, 5)
E. (-5, -3)
Jawaban: A
14. Jika kita menggeser titik (2, 1) dengan faktor translasi (-2, 3), koordinat bayangannya berapa?
A. (2, -1)
B. (0, 4)
C. (-3, 7)
D. (1, -2)
E. (2, 1)
Jawaban: B
Contoh Soal No. 15-20
15. Segitiga OAB dengan titik O(0,0), A(3,0), dan B(3,5) mengalami translasi dengan vektor T = (1,3). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB setelah translasi….
A. O’(0, 3) ; A’(3,3) ; B’(3,8)
B. O’(1, 3) ; A’(4,3) ; B’(4,9)
C. O’(3, 1) ; A’(3,4) ; B’(8,4)
D. O’(3, 1) ; A’(3,4) ; B’(5,4)
E. O’(1, 3) ; A’(4, 3) ; B’(4,9)
Jawaban: E
16. Jika titik (2, 1) dipindahkan dengan pergeseran (-2, 3), maka titik bayangannya adalah….
A. (2, -1)
B. (1, -2)
C. (0, 4)
D. (-2, 8)
E. (2, 1)
Jawaban: C
17. Jika titik A(-1, 2) digeser dengan menggunakan pergeseran T(-2, 3), maka titik bayangan A adalah…
A. (-3, 5)
B. (0, 6)
C. (-2, 8)
D. (-2, -1)
E. (5, 3)
Jawaban: A
18. Titik C, setelah mengalami translasi dengan vektor (-3, 4), berubah menjadi C'(-2, -1). Koordinat titik asli C adalah…
A. (2, -1)
B. (1, -5)
C. (-1, 5)
D. (-5, 3)
E. (1, -3)
Jawaban: B
19. Titik A(5,-2) dipindahkan dengan menggunakan pergeseran T(-3, 1). Tentukan koordinat dari titik bayangan A!
A. A’(2,2)
B. A’(-2,1)
C. A’(-2,-1)
D. A’(2, -1)
E. A’(2, 1)
Jawaban: D
20. Jika titik P(8,-3) mengalami pergeseran dengan vektor [-5,5], kemudian diikuti dengan translasi [9,-4], cari koordinat titik P setelah kedua pergeseran tersebut….
A. (12, -2)
B. (-6, -2)
C. (4, 5)
D. (13, 6)
E. (4, -5)
Jawaban: A
Contoh Soal No. 21-23
21. Apabila titik A yang dinyatakan dalam koordinat (x, y) digeser oleh vektor T (1, 4) dan berakhir menjadi titik A'(5, 7), hitung hasil penjumlahan x + y
Jawaban: Titik A yang awalnya dinyatakan dalam koordinat (x, y) mengalami pergeseran (translasi) dengan vektor T (1, 4) dan berakhir menjadi titik A’ dengan koordinat (5, 7).
Dalam translasi, kita dapat mengatakan bahwa:
Koordinat asli x + vektor translasi x = Koordinat akhir x Koordinat asli y + vektor translasi y = Koordinat akhir y
Jadi, dalam hal ini:
Koordinat asli x + 1 = 5 Koordinat asli y + 4 = 7
Kemudian kita bisa menyelesaikan persamaan-persamaan ini:
- Koordinat asli x + 1 = 5 Koordinat asli x = 5 – 1 Koordinat asli x = 4
- Koordinat asli y + 4 = 7 Koordinat asli y = 7 – 4 Koordinat asli y = 3
Jadi, hasil penjumlahan x + y adalah 7
22. Dengan translasi menggunakan vektor (-3, 4), titik C berubah menjadi C'(-2, -1). Tentukan koordinat asli titik C!
Jawaban: titik C mengalami translasi menggunakan vektor (-3, 4) dan menghasilkan titik C'(-2, -1).
Jadi, kita dapat menggunakan rumus translasi:
Koordinat asli x + vektor translasi x = Koordinat akhir x Koordinat asli y + vektor translasi y = Koordinat akhir y
Dalam hal ini:
Koordinat asli x + (-3) = -2 Koordinat asli y + 4 = -1
Kemudian kita bisa menyelesaikan persamaan-persamaan ini:
- Koordinat asli x – 3 = -2 Koordinat asli x = -2 + 3 Koordinat asli x = 1
- Koordinat asli y + 4 = -1 Koordinat asli y = -1 – 4 Koordinat asli y = -5
Jadi, koordinat asli titik C adalah (1, -5).
Contoh Soal No. 23-24
23. Bayangan dari titik C melalui translasi T dengan vektor (-1, -4) adalah C’ dengan koordinat (4, -1). Tentukan koordinat asli dari titik C!
Jawaban: titik C mengalami translasi menggunakan vektor T (-1, -4) dan berakhir sebagai titik C’ dengan koordinat (4, -1).
Dalam translasi, kita bisa mengatakan bahwa:
Koordinat asli x + vektor translasi x = Koordinat akhir x Koordinat asli y + vektor translasi y = Koordinat akhir y
Dalam hal ini:
Koordinat asli x – 1 = 4 Koordinat asli y – 4 = -1
Maka:
- Koordinat asli x – 1 = 4 Koordinat asli x = 4 + 1 Koordinat asli x = 5
- Koordinat asli y – 4 = -1 Koordinat asli y = -1 + 4 Koordinat asli y = 3
Jadi, koordinat asli titik C adalah (5, 3).
24. Dalam kasus di mana titik P ditranslasikan menggunakan vektor T=(-10,7) dan menghasilkan bayangan P′ dengan koordinat (3, -13), tentukanlah koordinat asli titik P!
Jawaban: kita dapat menggunakan rumus translasi:
Koordinat asli x + vektor translasi x = Koordinat akhir x Koordinat asli y + vektor translasi y = Koordinat akhir y
Dalam hal ini:
Koordinat asli x + (-10) = 3 Koordinat asli y + 7 = -13
Sekarang kita dapat menyelesaikan persamaan-persamaan ini:
- Koordinat asli x – 10 = 3 Koordinat asli x = 3 + 10 Koordinat asli x = 13
- Koordinat asli y + 7 = -13 Koordinat asli y = -13 – 7 Koordinat asli y = -20
Jadi, koordinat asli titik P adalah (13, -20).
Contoh Soal No. 25
25. Titik A dengan koordinat (5, -2) mengalami translasi dengan menggunakan vektor T (-3, 1). Tentukan koordinat titik bayangan A setelah translasi!
Jawaban: Untuk menentukan koordinat titik bayangan A setelah translasi, kita dapat menggunakan rumus translasi:
Koordinat asli x + vektor translasi x = Koordinat akhir x Koordinat asli y + vektor translasi y = Koordinat akhir y
Dalam hal ini:
Koordinat asli x + (-3) = Koordinat akhir x Koordinat asli y + 1 = Koordinat akhir y
Sekarang kita dapat menyelesaikan persamaan-persamaan ini:
- Koordinat asli x + (-3) = Koordinat akhir x Koordinat asli x – 3 = Koordinat akhir x Koordinat akhir x = Koordinat asli x – 3 Koordinat akhir x = 5 – 3 Koordinat akhir x = 2
- Koordinat asli y + 1 = Koordinat akhir y Koordinat asli y + 1 = Koordinat akhir y Koordinat akhir y = Koordinat asli y + 1 Koordinat akhir y = -2 + 1 Koordinat akhir y = -1
Jadi, koordinat titik bayangan A setelah translasi adalah (2, -1).
Penutup
Rumus translasi matematika adalah alat yang berguna untuk memahami perpindahan objek dalam koordinat.
Translasi membantu kita menggambarkan bagaimana sebuah objek bergerak dari satu tempat ke tempat lain tanpa mengubah bentuk atau ukurannya.
Dengan memahami sifat-sifat translasi dan menguasai rumusnya, kita dapat dengan mudah menghitung koordinat bayangan dari suatu objek setelah mengalami perpindahan.
Semoga artikel rumus translasi matematika beserta contoh soal dan pembahasannya memberikan wawasan yang berguna tentang rumus translasi matematika. Teruslah belajar dan eksplorasi matematika ya!
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: