Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9 dan Contoh Soal
Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9 dan Contoh Soal – Transformasi geometri adalah konsep untuk memahami perubahan bentuk dan posisi suatu objek di bidang dua dimensi.
Salah satu jenis
transformasi yang akan kita bahas adalah rotasi. Rotasi adalah perpindahan
suatu objek melalui suatu sudut tertentu, mirip dengan memutar benda.
Nah, di artikel ini, Mamikos akan membongkar rumus rotasi transformasi geometri matematika kelas 9 beserta contoh soal. Yuk, pelajari!
Rotasi Transformasi Geometri Matematika
Daftar Isi
Daftar Isi
Rotasi adalah salah satu jenis
transformasi yang mengubah posisi setiap titik dalam gambar dengan cara
memutarnya pada sudut dan arah tertentu terhadap sebuah titik yang tidak
berubah, yang sering disebut sebagai pusat rotasi.
Besarnya sudut perubahan posisi dari objek terhadap posisi awalnya disebut sudut rotasi. Suatu rotasi ditentukan oleh arah perputaran.
Jika perputaran dilakukan searah dengan arah putaran jarum jam, maka sudut rotasinya dianggap positif, sedangkan jika berlawanan dengan arah jarum jam, sudut rotasinya dianggap negatif.
Selama proses rotasi, bentuk awal selalu akan cocok atau sejajar dengan bentuk hasil rotasinya.
Dalam matematika, kita
menggunakan rumus khusus untuk menghitung posisi baru dari titik-titik setelah
rotasi. Ini membantu kita memahami bagaimana objek-objek berubah saat diputar
Rumus Rotasi
Transformasi Geometri Matematika Kelas 9
Rotasi
terhadap Titik Pusat (0, 0)
Rotasi adalah cara kita memutar objek dalam matematika. Ketika kita
ingin melakukan rotasi terhadap titik pusat (0, 0), ini berarti pusat
perputaran kita adalah titik (0, 0), atau pusat koordinat.
Rumus
Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0):
Untuk memutar suatu titik (x, y) sebesar θ derajat terhadap pusat (0,
0), kita gunakan rumus berikut:
x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Di mana (x’, y’) adalah koordinat baru setelah rotasi, (x, y) adalah koordinat
awal, dan θ adalah sudut rotasi dalam radian.
Rotasi
terhadap Titik Pusat (a, b)
Terkadang, kita ingin melakukan rotasi terhadap titik pusat lainnya,
seperti (a, b). Ini berarti pusat perputaran kita bergantung pada titik
tersebut.
Rumus Rotasi terhadap Titik Pusat (a, b)
Untuk memutar suatu titik (x, y) sebesar θ derajat terhadap pusat (a,
b), kita gunakan rumus berikut:
x’ = (x – a) * cos(θ) – (y – b) * sin(θ) + a y’ = (x – a) * sin(θ) + (y
– b) * cos(θ) + b
Di sini, (x’, y’) adalah koordinat baru setelah rotasi, (x, y) adalah
koordinat awal, (a, b) adalah pusat rotasi, dan θ adalah sudut rotasi dalam
radian.
Jadi, dengan memahami rumus-rumus rotasi ini, kamu dapat memahami cara
memutar objek atau titik-titik di sekitarmu tergantung pada pusat perputaran
yang kamu pilih, baik itu titik (0, 0) atau titik lainnya seperti (a, b).
Contoh Soal No. 1-5
1. Jika titik (6, 10)
dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0,0), maka
posisi titik bayangannya adalah….
A. (10, -6)
B. (-6, -10)
C. (-10, 6)
D. (6, 10)
Jawaban: C. (-10, 6)
2. Jika terdapat sebuah titik (3,-2) yang merupakan hasil rotasi sebesar -180
° , maka titik asalnya adalah….
A. A’(-3, 2)
B. A’(-2, 3)
C. A’(6, -4)
D. A’(-4, 6)
Jawaban: A. A’(-3, 2)
3. Koordinat titik A’ setelah
mengalami rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0),
yang merupakan bayangan dari titik awal (3,5), adalah….
A. A’(5,3)
B. A’(-3, -5)
C. A’(-5, -3)
D. A’(-5, 3)
Jawaban: D. A’(-5, 3)
4. Jika titik G(1, 5) dirotasikan
sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan terbentuk bayangan
di titik . . . .
A. G'(-1, -5)
B. G'(1, -5)
C. G'(-5, 1)
D. G'(5,1)
Jawaban: C. G'(-5, 1)
5. Jika
titik U(1, 3) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka
akan membentuk bayangan di titik . . . .
A. U'(-3,1)
B. U'(3, 2)
C. U'(-1, 3)
D. U'(2, 3)
Jawaban: A. U'(-3,1)
Contoh Soal No. 6-10
6. Bayangan dari titik B(3, 2) setelah rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di (0, 0) adalah. . . .
A. B'(3, 2)
B. B'(-3, -2)
C. B'(-3, 2)
D. B'(3, -2)
Jawaban: B. B'(-3, -2)
7. Setelah
melakukan rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka titik
F(-5, -5) akan membentuk bayangan di titik . . . .
A. F'(-5,5)
B. F'(5, -5)
C. F'(-5, 5)
D. F'(-5, -5)
Jawaban: D. T'(-1, 2)
8. Setelah
melakukan rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka titik
G(-6, 1) akan membentuk bayangan di titik . . . .
A. G'(6, -1)
B. G'(6, 1)
C. G'(-6, 1)
D. G'(6, -1)
Jawaban: D. G'(6, -1)
9. Jika
titik H(1, -6) dirotasikan sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0),
maka akan terbentuk bayangan di titik . . . .
A. H'(1, 6)
B. H'(-1, 6)
C. H'(1, -6)
D. H'(-1, -6)
Jawaban: B. H'(-1, 6)
10. Hasil dari rotasi titik A(-3, -4) dengan pusat rotasi
(0, 0) sejauh 90° adalah . . . .
A. A'(-4, -3)
B. A'(-4, 3)
C. A'(4, 3)
D. A'(4, -3)
Jawaban: D. A'(4, -3)
Contoh Soal No. 11-12
11. Jika titik P(7, 5)
dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka hitunglah koordinat
bayangan yang terbentuk!
Jawaban: Untuk menghitung
koordinat bayangan dari titik P(7, 5) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan
arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0), penghitungan dapat dilakukan
dengan menggunakan rumus rotasi transformasi geometri matematika:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y *
sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y *
cos(θ)
Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah O(0, 0) dan sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:
x’ = 7 * cos(90°) – 5 * sin(90°)
x’ = 7 * 0 – 5 * 1 x’ = 0 – 5 x’
= -5
y’ = 7 * sin(90°) + 5 * cos(90°)
y’ = 7 * 1 + 5 * 0 y’ = 7 + 0 y’
= 7
Jadi, koordinat bayangan dari
titik P(7, 5) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap
pusat rotasi O(0, 0) adalah (-5, 7).
12. Ketika titik N(4, 7)
dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), hitunglah
koordinat bayangan yang terjadi!
Jawaban: Untuk
menghitung koordinat bayangan dari titik N(4, 7) setelah dirotasikan sejauh 90°
berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0), rumus rotasi
transformasi geometri matematika yang digunakan:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y *
sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y *
cos(θ)
Dalam kasus ini, pusat rotasi
adalah O(0, 0) dan sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:
x’ = 4 * cos(90°) – 7 * sin(90°)
x’ = 4 * 0 – 7 * 1
x’ = 0 – 7
x’ = -7
y’ = 4 * sin(90°) + 7 * cos(90°)
y’ = 4 * 1 + 7 * 0
y’ = 4 + 0
y’ = 4
Jadi, koordinat bayangan dari titik N(4, 7) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0) adalah (-7, 4).
Contoh Soal No. 13-15
13. Jika kita memutar titik A(9, 3)
sejauh 90° berlawanan arah jarum jam, maka hitunglah posisi bayangan dari titik
A!
Jawaban: Untuk menghitung
posisi bayangan dari titik A(9, 3) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan
arah jarum jam, bisa menggunakan rumus rotasi transformasi geometri matematika
berupa:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y *
sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y *
cos(θ)
Dalam rotasi ini, sudut rotasi
adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:
x’ = 9 * cos(90°) – 3 * sin(90°)
x’ = 9 * 0 – 3 * 1
x’ = 0 – 3
x’ = -3
y’ = 9 * sin(90°) + 3 * cos(90°)
y’ = 9 * 1 + 3 * 0
y’ = 9 + 0
y’ = 9
Jadi, posisi bayangan dari titik A(9, 3) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam adalah (-3, 9).
Contoh Soal No. 14
14. Ketika titik A(6, -12) dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, maka hitunglah hasil bayangan titik A!
Jawaban: Untuk
menghitung koordinat bayangan dari titik A(6, -12) setelah dirotasikan sejauh
180° berlawanan arah jarum jam, rumus rotasi transformasi geometri matematika
yang digunakan ialah:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y *
sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y *
cos(θ)
Dalam rotasi ini, sudut rotasi
adalah 180°. Maka:
x’ = 6 * cos(180°) – (-12) *
sin(180°)
x’ = 6 * (-1) – (-12) * 0
x’ = -6 + 0
x’ = -6
y’ = 6 * sin(180°) + (-12) *
cos(180°)
y’ = 6 * 0 + (-12) * (-1)
y’ = 0 + 12
y’ = 12
Jadi, hasil bayangan dari titik A(6, -12) setelah dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam adalah (-6, 12).
Contoh Soal No. 15
15. Bayangan dari titik P(1, 4) setelah dirotasikan sejauh 180° dan kemudian dirotasikan sejauh 90°, hitunglah koordinat titik bayangan tersebut!
Jawaban: Untuk
menghitung koordinat bayangan dari titik P(1, 4) setelah dirotasikan sejauh
180° dan kemudian dirotasikan sejauh 90°, maka penghitungkan dilakukan dua
kali.
Rotasi
Pertama (180°) Rotasi pertama adalah sejauh 180° berlawanan
arah jarum jam. Rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y *
sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y *
cos(θ)
Dalam rotasi pertama ini, sudut
rotasi adalah 180°. Maka:
x’ = 1 * cos(180°) – 4 *
sin(180°)
x’ = 1 * (-1) – 4 * 0
x’ = -1 – 0
x’ = -1
y’ = 1 * sin(180°) + 4 *
cos(180°)
y’ = 1 * 0 + 4 * (-1)
y’ = 0 – 4
y’ = -4
Jadi, setelah rotasi pertama
sejauh 180°, titik P(1, 4) akan menjadi (-1, -4).
Rotasi Kedua (90°) Sekarang, kita akan merotasi titik hasil rotasi pertama (-1, -4) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam. Rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:
x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ) y’
= x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam rotasi kedua ini, sudut
rotasi adalah 90°. Mari kita hitung:
x’ = (-1) * cos(90°) – (-4) *
sin(90°)
x’ = (-1) * 0 + 4 * 1
x’ = 0 + 4
x’ = 4
y’ = (-1) * sin(90°) + (-4) *
cos(90°)
y’ = (-1) * 1 + (-4) * 0
y’ = -1 + 0
y’ = -1
Jadi, setelah rotasi kedua
sejauh 90°, titik bayangan dari P(1, 4) adalah (4, -1).
Penutup
Berikut tadi merupakan rumus rotasi transformasi geometri matematika kelas 9 beserta penerapannya dalam soal.
Dengan menggunakan rumus ini, kamu dapat dengan mudah mencari tahu di mana titik akan berada setelah mengalami rotasi.
Penting untuk memahami konsep rotasi karena hal ini memiliki banyak aplikasi selain di ilmu matematika, seperti desain grafis, ilmu komputer, dan bahkan dalam ilmu fisika.
Dengan menguasai rumus rotasi, kamu dapat melakukan transformasi geometri dengan lebih baik.
Semoga artikel ini membantu kamu memahami dan menguasai rumus rotasi, serta memberikan inspirasi untuk menjelajahi lebih lanjut dunia menarik dari matematika dan geometri.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: