Rangkuman Materi Transformasi Geometri Kelas 11 dan Penjelasannya
Rangkuman Materi Transformasi Geometri Kelas 11 dan Penjelasannya — Transformasi geometri merupakan salah satu topik yang dibahas dalam pelajaran matematika kelas 11.
Secara umum, transformasi geometri merujuk pada operasi yang mengubah posisi, bentuk, atau ukuran suatu objek dalam ruang.
Dalam matematika, terutama geometri, kita biasa mempelajari berbagai jenis transformasi geometri untuk memahami bagaimana objek dapat berubah bentuk atau posisi. Untuk lebih detailnya, yuk simak!
Definisi dan Penerapan Transformasi Geometri
Daftar Isi
Daftar Isi
Transformasi geometri adalah operasi yang mengubah posisi, orientasi, atau ukuran suatu objek di ruang, berdasarkan aturan atau fungsi tertentu, tanpa mengubah sifat-sifat dasar objek tersebut.
Transformasi geometri memainkan peran penting dalam banyak bidang dan diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Berikut adalah beberapa peranan transformasi geometri dalam berbagai aspek kehidupan kita:
- Desain Grafis dan Animasi.
- Arsitektur.
- Navigasi dan Pemetaan
- Medis.
- Pendidikan.
- Teknologi Augmented Reality (AR)
- Industri Permainan
- Manufaktur dan Rekayasa
- Astronomi
Transformasi geometri merupakan alat yang sangat penting dan serbaguna yang membantu kita memahami dan berinteraksi dengan dunia di sekitar kita dalam banyak cara yang berbeda.
Untuk bisa memahami soal ini, di rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 ini kita akan membahas mengenai beberapa jenis transformasi geometri utama dengan lebih detail. Seperti di bawah ini ya:
1. Translasi (Pergeseran)
Hal pertama yang akan dibahas di rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 adalah Translasi.
Secara umum, translasi merupakan salah satu jenis transformasi geometri paling dasar di mana seluruh objek dipindahkan dalam satu arah yang konstan.
Translasi sendiri adalah jenis transformasi geometri yang melibatkan pergeseran suatu objek dari satu lokasi ke lokasi lain tanpa mengubah bentuk, ukuran, atau orientasi objek tersebut.
Dalam translasi, setiap titik pada objek digeser sejajar dengan arah tertentu sejauh jarak yang sama. Untuk mempermudah dalam memahami Translasi maka kita bisa memahami analogi sederhana seperti di bawah ini.
Bayangkan kamu memiliki sebuah lemari yang berada di satu sudut ruangan, dan kamu ingin memindahkannya ke sudut lainnya tanpa mengubah lemari itu sendiri. Inilah saatnya translasi terjadi:
Awalnya
Diawali dengan adanya lemari berada di sudut ruangan A.
Selama Translasi
Kamu menggeser lemari tersebut ke sudut ruangan B. Selama proses ini, setiap bagian lemari, seperti sudut-sudutnya, tetap dalam bentuk dan ukuran yang sama, dan orientasinya tidak berubah.
Kamu hanya menggeser seluruh lemari dalam arah tertentu, tanpa mengubah lemari itu sendiri.
Akhirnya
Setelah translasi selesai, lemari kini berada di sudut ruangan B, tetapi masih memiliki bentuk, ukuran, dan orientasi yang sama seperti sebelumnya.
Jadi, translasi adalah tentang memindahkan objek dari satu tempat ke tempat lain, seperti menggeser lemari, tetapi tanpa mengubah sifat dasar dari objek tersebut.
Analogi lain
Kamu bisa membayangkan kalau memiliki segitiga ABC dengan titik A di (1,1), B di (3,1), dan C di (2,3) pada sistem koordinat kartesius.
Jika kita ingin mentranslasikan (menggeser) segitiga ini 5 unit ke kanan dan 3 unit ke atas, kita akan menambahkan 5 ke koordinat x dari setiap titik dan menambahkan 3 ke koordinat y dari setiap titik.
Maka, titik-titik baru setelah translasi adalah:
A’ (titik A setelah translasi) = (1 + 5, 1 + 3) = (6, 4)
B’ = (3 + 5, 1 + 3) = (8, 4)
C’ = (2 + 5, 3 + 3) = (7, 6)
Jadi, segitiga baru A’B’C’ dengan titik-titik di (6,4), (8,4), dan (7,6) adalah hasil dari translasi segitiga ABC dengan pergeseran 5 unit ke kanan dan 3 unit ke atas.
Seringkali, translasi digambarkan dengan vektor pergeseran. Dalam kasus ini, vektor pergeseran adalah <5,3>, di mana 5 menunjukkan pergeseran horizontal dan 3 menunjukkan pergeseran vertikal.
Pada prakteknya, konsep translasi sering digunakan dalam desain grafis, animasi, arsitektur, dan berbagai bidang lainnya ketika objek perlu dipindahkan tanpa mengubah orientasi, bentuk, atau ukurannya.
2. Rotasi
Jenis transformasi berikutnya yang dibahas dalam artikel tentang rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 ini adalah rotasi.
Rotasi adalah jenis transformasi geometri di mana objek berputar mengelilingi suatu titik tertentu yang dikenal sebagai pusat rotasi.
Selama rotasi, semua titik objek bergerak dalam lingkaran yang berpusat pada pusat rotasi, dan jarak antara setiap titik dengan pusat rotasi tetap konstan.
Oleh karena itu, ukuran dan bentuk objek tetap sama, hanya orientasinya yang berubah.
Untuk memahaminya dengan lebih detail, maka kita akan menggunakan analogi. Sekarang, coba kita bayangkan kalau kita sedang bermain dengan jarum jam:
Titik Tertentu (Titik Pusat Rotasi)
Bayangkan ada suatu titik yang menjadi pusat perputaran, seperti tengah jam pada angka 12 di atas sebuah jam dinding. Titik ini akan menjadi pusat rotasi.
Objek yang Akan Diputar
Sekarang, bayangkan kita memiliki sebuah jam dinding yang ingin kita putar. Jam ini memiliki jarum-jarum yang menunjuk angka-angka jam dan menit.
Perputaran
Ketika kita memutar jarum jam dari angka 12 ke angka 3, kita melakukan rotasi. Pusat perputaran adalah titik tengah jam (angka 12), dan jarum-jarum di jam tersebut berputar mengelilingi titik ini.
Ketika rotasi selesai, jarum-jarum masih mempertahankan bentuk dan panjangnya, tetapi mereka telah berubah posisi sehingga mereka menunjuk ke angka 3.
Jadi, rotasi adalah ketika suatu objek bergerak dalam lingkaran mengelilingi titik tertentu (pusat rotasi).
Alanoginya seperti saat kamu memutar jarum-jam pada jam dinding dari satu angka ke angka lain, dan objek tersebut tetap memiliki bentuk dan ukuran yang sama, hanya posisinya yang berubah.
Analogi Lain
Ambil contoh segitiga ABC dengan titik A di (0,0), B di (2,0), dan C di (1,2) pada sistem koordinat kartesius. Mari kita putar segitiga ini 90 derajat berlawanan arah jarum jam sekitar titik A.
Untuk melakukan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam:
Koordinat x baru untuk titik manapun adalah negatif dari koordinat y lama.
Koordinat y baru untuk titik manapun adalah koordinat x lama.
Maka, setelah rotasi:
A tetap di (0,0) karena itu adalah pusat rotasi.
B’ (titik B setelah rotasi) akan berada di:
x = -y lama = 0
y = x lama = 2
Jadi, B’ = (0,2)
C’ (titik C setelah rotasi) akan berada di:
x = -y lama = -2
y = x lama = 1
Jadi, C’ = (-2,1)
Hasilnya, kita mendapatkan segitiga baru A’B’C’ dengan titik-titik di (0,0), (0,2), dan (-2,1).
Secara visual, jika kamu menggambar segitiga ini pada kertas grafik, kamu akan melihat bahwa segitiga ABC telah diputar 90 derajat berlawanan arah jarum jam untuk membentuk A’B’C’.
3. Refleksi (Pencerminan)
Jenis transformasi berikutnya yang akan dibahas dalam rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 adalah refleksi. Refleksi adalah jenis transformasi geometri di mana objek dipantulkan pada suatu garis.
Jadi, refleksi merupakan transformasi geometri di mana setiap titik objek dipetakan ke titik lain yang simetris terhadap garis refleksi (dalam bidang 2D) atau bidang refleksi (dalam ruang 3D).
Saat suatu objek dicerminkan, objek itu “dibalik” mengenai garis atau bidang tersebut, tapi ukuran dan bentuk objek tetap sama.
Untuk memahaminya dengan lebih baik, bayangkan efek yang mirip saat kita melihat diri kita di cermin:
Objek Sebelum Refleksi
Bayangkan kita memiliki gambar atau objek, misalnya, huruf “A.” Gambar ini memiliki bentuk dan orientasi tertentu.
Garisan Pantulan (Garis Cermin)
Sekarang, ada sebuah garis yang disebut “garis pantulan” atau “garis cermin.” Garis ini adalah seperti cermin yang ada di dinding. Ini adalah garis di sepanjang mana objek akan dipantulkan.
Proses Refleksi
Ketika kita menerapkan refleksi pada objek “A” terhadap garis cermin, objek tersebut dipantulkan seolah-olah ada gambar cermin yang menghadapinya.
Hasilnya adalah kita mendapatkan objek yang mirip dengan gambar yang kita lihat di cermin.
Contoh lainnya kamu bisa bayangkan kalau kamu memiliki huruf “A” yang berhadapan ke atas, dengan refleksi terhadap garis cermin horizontal (sejajar dengan lantai.
Hasilnya kamu akan mendapatkan huruf “A” yang terbalik, seperti yang kamu lihat ketika melihatnya di cermin.
Jadi, refleksi adalah tentang memantulkan objek di sepanjang suatu garis, mirip dengan cara kita melihat bayangan diri kita sendiri di cermin.
Hasilnya adalah kita mendapatkan gambar yang “terbalik” atau “tertukar” sepanjang garis pantulan tersebut.
Analogi Lain
Dalam Bidang 2D
Bayangkan segitiga ABC dengan titik A di (1,1), B di (3,1), dan C di (2,3) pada sistem koordinat kartesius. Mari kita cerminkan segitiga ini melalui garis y = x.
Setelah pencerminan, titik-titik baru (A’, B’, C’) dari segitiga akan ditemukan sebagai berikut:
A’ akan memiliki koordinat (1,1) karena titik A berada pada garis y = x.
Untuk B, koordinat y akan menjadi koordinat x dan koordinat x akan menjadi koordinat y, sehingga B’ = (1,3).
Begitu juga dengan C, sehingga C’ = (3,2).
Jadi, segitiga yang dicerminkan A’B’C’ memiliki titik-titik di (1,1), (1,3), dan (3,2).
Dalam Ruang 3D
Jika kita memiliki sebuah kubus dalam ruang 3D dan ingin mencerminkannya melalui bidang xy (yaitu, bidang yang dibentuk oleh sumbu x dan y).
Setiap titik di kubus akan dicerminkan sedemikian rupa sehingga koordinat z-nya menjadi negatif dari nilai aslinya (jika asumsikan koordinat z positif berada di atas bidang dan koordinat z negatif berada di bawah bidang).
Refleksi sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya, bayangkan cermin dinding yang mencerminkan seseorang. Gambaran orang dalam cermin adalah refleksi dari orang tersebut.
Dalam matematika dan desain grafis, konsep refleksi digunakan untuk menciptakan simetri dan efek cermin pada objek.
4. Dilatasi (Skala)
Jenis transformasi berikutnya yang akan dibahas dalam rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 adalah Dilatasi.
Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran objek tanpa mengubah bentuknya. Dalam transformasi ini, setiap titik objek bergerak menjauh atau mendekati suatu titik tetap yang dikenal sebagai “pusat dilatasi” berdasarkan faktor skala tertentu.
Untuk memahaminya lebih baik, bayangkan pengalaman menggembungkan atau menyusutkan sebuah gambar:
Objek Sebelum Dilatasi
Bayangkan kita memiliki sebuah gambar atau objek, seperti sebuah lingkaran. Gambar ini memiliki ukuran tertentu dan bentuknya yang khas.
Proses Dilatasi
Saat kita menerapkan dilatasi, kita memutuskan apakah ingin memperbesar atau memperkecil objek tersebut.
Jika kita memperbesar, objek tersebut akan menjadi lebih besar daripada yang asli; jika kita memperkecil, objek tersebut akan menjadi lebih kecil.
Perubahan Ukuran
Perubahan ukuran ini terjadi dengan memanjangkan atau mengecilkan setiap bagian objek secara proporsional.
Dengan kata lain, setiap titik di objek tersebut ditarik atau dipadatkan dengan jumlah yang sama dalam semua arah.
Contoh lain: Jika kamu memiliki sebuah lingkaran dan memperbesarnya dengan dilatasi, maka lingkaran tersebut akan menjadi lebih besar, tetapi tetap memiliki bentuk bulat yang sama.
Jadi, dilatasi adalah tentang mengubah ukuran objek tanpa mengubah bentuk atau bentuknya.
Proses ini mirip dengan pengalaman menggembungkan atau menyusutkan gambar, di mana semua bagian gambar diperbesar atau diperkecil secara proporsional.
Analogi Lain
Bayangkan sebuah segitiga ABC dengan titik-titik A di (0,0), B di (2,0), dan C di (1,3) pada sistem koordinat kartesius. Misalkan kita ingin melakukan dilatasi berdasarkan pusat dilatasi di titik A (0,0) dengan faktor skala 2.
Untuk melakukannya, kita akan mengalikan koordinat x dan y dari setiap titik dengan faktor skala:
A tetap di (0,0) karena itu adalah pusat dilatasi.
B’ (titik B setelah dilatasi) akan berada di: x = 2 × 2 = 4 y = 0 × 2 = 0 Jadi, B’ = (4,0)
C’ (titik C setelah dilatasi) akan berada di: x = 1 × 2 = 2 y = 3 × 2 = 6 Jadi, C’ = (2,6)
Hasilnya, kita mendapatkan segitiga yang lebih besar A’B’C’ dengan titik-titik di (0,0), (4,0), dan (2,6), yang merupakan dilatasi dari segitiga ABC dengan faktor skala 2 berdasarkan pusat dilatasi A.
Sebagai catatan tambahan:
- Jika faktor skala adalah 1, objek tetap sama dan tidak ada perubahan.
- Jika faktor skala lebih besar dari 1, seperti dalam contoh di atas, objek akan diperbesar.
- Jika faktor skala antara 0 dan 1, objek akan diperkecil. Sebagai contoh, jika faktor skala adalah 0,5, segitiga ABC akan menjadi setengah ukuran aslinya berdasarkan pusat dilatasi A.
Dilatasi sering digunakan dalam berbagai aplikasi, dari desain grafis hingga arsitektur, untuk menyesuaikan skala objek tanpa mengubah bentuk aslinya.
Selain keempat transformasi dasar tersebut, ada juga transformasi kombinasi dan lebih kompleks yaitu glide refleksi dan shear.
Namun, di artikel tentang rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 ini, kita akan bahas sekilas saja mengenai glide refleksi dan shear.
5. Glide Refleksi
Glide refleksi, seperti namanya, merupakan kombinasi dari dua jenis transformasi geometri: refleksi dan translasi.
Dalam transformasi ini, suatu objek pertama-tama dicerminkan melalui sebuah garis refleksi, dan setelah itu, objek yang telah dicerminkan tersebut kemudian digeser (translasi) dalam arah dan jarak tertentu.
6. Shear
Transformasi shear (kadang-kadang disebut “geseran”) adalah proses di mana suatu objek didorong atau digeser dalam satu arah tertentu, mengakibatkan perubahan bentuk objek.
Namun, hal penting untuk diingat adalah bahwa selama proses shear, luas dari objek tersebut tidak berubah.
Shear biasanya diterapkan pada objek dalam satu arah (misalnya, horizontal atau vertikal), dan magnitude dari shear diukur oleh jumlah geseran yang diterapkan.
Bagian ini mengakhiri uraian mengenai rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11.
Penutup
Jadi demikian rangkuman materi transformasi geometri Kelas 11 dan penjelasannya. Semoga uraian di atas mudah dipahami dan diterapkan saat belajar.
Jangan ke mana-mana ya, tetap di sini dan baca artikel lain di Mamikos!
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: