Barisan Deret Aritmatika dan Geometri Dilengkapi Contoh Soal dan Pembahasannya

Barisan Deret Aritmatika dan Geometri Dilengkapi Contoh Soal dan Pembahasannya – Barisan deret aritmatika dan geometri merupakan materi yang dipelajari untuk mata pelajaran matematika.

Pemahaman harus dilakukan dengan baik agar dapat mengerjakan soal.

Ketika melihat kedua jenis deret ini, kamu mungkin akan berpikir bahwa keduanya adalah sama. Namun, padahal berbeda. Kedua deret ini memiliki konsep perhitungan yang berbeda.

Pengertian Barisan Deret Aritmatika

Untuk dapat memahami barisan deret aritmatika dan geometri, hal pertama yang harus dilakukan adalah memahami pengertiannya.

Dengan memahami perbedaan kedua deret ini, kamu bisa mengerjakan setiap soal dengan baik dan tidak mengalami kesulitan.

Barisan aritmatika adalah deret bilangan yang memiliki selisih antara setiap suku secara berurut dan selalu tetap atau dikatakan konsisten.

Selisih antara dua suku yang berurutan dalam deret aritmatika disebut dengan “beda” dan dilambangkan dengan b. Beda deret aritmatika dirumuskan seperti di bawah ini:

b = U_n – U_n-1

Keterangan:

b = beda

U_n = suku ke-n

Untuk dapat menghitung suku ke-n dalam deret aritmatika, bisa menggunakan rumus sebagai berikut:

U_n = a + (n-1) b

Keterangan:

U_n = suku ke-n

a =  suku pertama

b = beda

n = banyaknya suku

Contohnya adalah 9, 6, 3, 0, ….

Setelah memahami pengertian deret aritmatika dan geometri, kamu perlu mempelajari contoh soal barisan deret aritmatika dan geometri juga agar bisa menyelesaikan soal dengan baik.

Pengertian Barisan Deret Geometri

Memahami pengertian barisan deret aritmatika dan geometri menjadi acuan awal. Setelah itu, memahami contoh soal dan melakukan latihan secara rutin.

Dengan begitu, kamu bisa mempelajari materi secara lebih detail dan mampu menjawab berbagai soal yang diberikan.

Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang mempunyai pola tetap yaitu dengan pola perkalian atau pembagian.

Hal yang membuat deret ini berbeda dengan barisan aritmatika adalah konsepnya. Barisan aritmatika menerapkan sistem pengurangan atau penambahan yang selalu konstan pada setiap suku.

Sedangkan pada deret geometri, tiap suku yang berukuran mempunyai perbandingan yang tetap namun berupa pembagian maupun perkalian.

Perbandingan antara tiap suku berurutan disebut dengan rasio dan memiliki lambang r. Rumus untuk dapat mencari rasio (r) adalah sebagai berikut:

r = U_n / U_n-1

keterangan:

r = rasio

U_n = suku ke-n

Sedangkan untuk rumus menghitung suku ke-n pada deret geometri dengan menggunakan rumus berikut ini:

U_n = ar ^n-1

Keterangan:

U_n = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku dalam deret

Contohnya: 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ……

Rumus Barisan Deret Aritmatika dan Geometri

Setiap materi matematika memiliki rumus yang berbeda. Dengan begitu, kamu bisa mengerjakan berbagai soal secara lebih mudah dan cepat.

Rumus barisan deret aritmatika dan geometri cukup berbeda, sehingga harus diperhatikan dengan baik.

Rumus memudahkan kamu untuk menghapal cara mencari jawaban saat mengerjakan soal. Dengan memahami rumus, kamu bisa mengingat materi dengan lebih mudah.

Simak rumus barisan deret aritmatika dan geometri sebagai berikut:

Rumus Barisan Aritmatika

U_n = a + (n-1) b

Keterangan:

U_n = suku ke-n

a = suku pertama dalam sebuah barisan aritmatika

b = beda

n = suku ke-n

Rumus Barisan Geometri

U_n = ar ^n-1

Keterangan:

a = suku pertama dalam deret

r = rasio

n = banyaknya suku

Perbedaan Barisan Deret Aritmatika dan Geometri

Kedua deret ini mungkin akan terlihat sama, namun sebenarnya cukup berbeda. Perbedaan barisan deret aritmatika dan geometri dapat terlihat dari pengertian serta contohnya.

Agar lebih mudah dalam memahaminya, penjelasan kedua deret ini akan disajikan secara lebih ringkas.

Barisan aritmatika merupakan barisan dari beberapa suku bilangan yang mana nilai tiap sukunya merupakan hasil dari penjumlahan atau pengurangan antara suku sebelumnya secara konstan.

Contohnya: 2, 5, 8, 11, 14 dan selanjutnya merupakan deret aritmatika, karena setiap sukunya merupakan penambahan dari suku sebelumnya yang bertambah secara konstan, angkanya adalah 3.

Barisan deret aritmatika dan geometri tidak memiliki perbedaan yang cukup jauh, namun mempunyai konsep kerja yang berbeda.

Barisan geometri merupakan barisan dari suku bilangan dimana nilai dari setiap suku merupakan hasil pembagian atau perkalian antara suku sebelumnya dengan konstan.

Contohnya: 3, 6, 12, 24, 48, dan seterusnya merupakan barisan geometri karena setiap suku bilangannya dikalikan dengan angka 2 secara konstan.

Penjelasan yang lebih sederhana ini dapat menjadi rangkuman barisan deret aritmatika dan geometri sehingga lebih mudah untuk diingat.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Untuk dapat memahami pembahasan tentang barisan deret aritmatika dan geometri, kamu perlu melakukan latihan secara berkala.

Latihan bisa dilakukan dengan mengerjakan soal yang berkaitan dengan pembahasan. Berikut beberapa contoh soal barisan deret aritmatika dan geometri.

Soal 1

Berapa besarnya U₃₂ dari deret barisan berikut 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, …

Jawab:

a = 7, b = 2

sehingga dapat dihitung bahwa U₃₂ = a + (n-1) b = 7 + (32-1)2 = 69

Soal 2

Jumlah n pada suku pertama dalam deret aritmatika digambarkan sebagai Sn = (5n – 19). Hitunglah besarnya beda pada deret tersebut.

Jawab:

S₁ = 1/2 (5(1) -19) = -7

S₁ = U₁ didefinisikan sebagai a yang merupakan suku pertama dalam deret

S₂ = 2/2 (5×2 – 19) = -9

S₂ = U₁ + U₂ = a + (a+b)

S₂ = -7 + (-7+b) = -9

b = -9 + 14 = 5

Besarnya beda dalam deret ini adalah 5

Soal 3

Cobalah untuk menentukan suku tengah dari deret berikut ini 9, 11, 13, 15, 17, …. 69

Jawab:

U_n = 69, a = 9

Sehingga:

U_t = 1/2 (a+U_n) = 1/2 (9+69) = 39

Soal 4

Seorang ibu memiliki 5 anak dengan usia yang membentuk sebuah deret aritmatika. Jika diketahui sekarang usia anak bungsu adalah 15 tahun.

Sedangkan anak sulungnya berusia 23 tahun, maka hitunglah jumlah umur 5 anak untuk 10 tahun mendatang.

Jawab:

Kelima umur anak membentuk deret aritmatika, sehingga 10 tahun kemudian umur mereka juga akan membentuk deret yang memiliki interval sama. 

Seperti inilah jika menghitung umur untuk 10 tahun mendatang:

Anak bungsu 10 tahun mendatang adalah 25 tahun

Anak sulung 10 tahun kemudian berusia 33 tahun

U₁ = a = 33

U₅ = 25

S₅ = 5/2 (a + U5)

S₅= 5/2 (33+25)

S₅ = 145

atau

a=33

U₅ = a + 4b = 25

Masukkan nilai a ke U₅

33 + 4b = 25

4b = 25-33

b = -8/4 = -2

Sehingga

S₅ = 5/2 (2.33 + (5-1)-2)

S₅ = 5/2 (66 + 4) (-2))

S₅ = 5/2 (66-8)

S₅ = 5/2 (58)

S₅ = 145

Sehingga dapat disimpulkan bahwa total kelima anak 10 tahun mendatang adalah 145

Soal 5

Dalam sebuah deret aritmatika, sudah diketahui jika suku tengah dari deret tersebut adalah 32.

Apabila jumlah n pada suku pertama deret tersebut adalah 672, Berapa banyak suku yang terdapat pada deret tersebut?

Jawab:

ut = 1/2 (a+un) = 32

a + U_n = 32 (2)

a + U_n = 64

S_n = n/2 (a+U_n)

672 = n/2 (64)

672 = n (32)

21 = n

Banyaknya suku deret adalah sebanyak 21

Soal 6

Perhatikan deret berikut 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, …

Hitung berapa deret untuk 25 angka pertama.

Jawab:

a = 7, b = 2

Carilah U₂₅ terlebih dahulu dengan cara berikut.

U₂₅ = a + (n-1) b = 7 + (23-1)2 = 55

Setelah itu, hitunglah deret hingga S25 dengan cara berikut.

S₂₅ = 25/2 (7+55) = 25/2 (62) = 775

Contoh Soal Deret Geometri

Bukan hanya harus memahami soal deret aritmatika saja, namun juga harus memahami contoh soal deret geometri.

Untuk dapat mengerjakan soal barisan deret aritmatika dan geometri, kamu harus berfokus terhadap rumus sehingga dapat menyelesaikan dengan baik. Berikut contoh soalnya.

Contoh 1

Hitunglah jumlah 7 suku pertama yang terdapat pada deret geometri berikut ini 4 + 12 + 36 + 108 + …

Jawab:

Diketahui a = 4, sedangkan r = 3

S7 = 4 (rⁿ – 1) / (r – 1)

S7 = 4 (3⁷-1) / (3 – 1)

S7 = 4372

Sehingga mendapatkan hasil akhir bahwa jumlah 7 suku pertama dalam deret adalah 4372.

Contoh 2

Hitunglah berapa suku bilangan ke 11 dari deret berikut ini 1, 2, 4, 8, 16 ….

Jawab:

a = 1, r = 2

n = 11

U_n = ar ^n-1

U₁₁ = 1.2 ^11-1 = 2 ¹⁰ = 1024

Contoh 3

Silahkan hitung jumlah dari deret geometri berikut 4 + 2 + 1 +1/2 + ¼ …

Jawab:

Sudah diketahui bahwa a = 4, sedangkan r = 1/2

Sn = a / (1 – r)

Sn = 4 / (1 – 1/2)

Sn = 4 / (1/2)

Sn = 4 x 2

Sn = 8

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 8

Contoh 4

Umur Rika, Amir dan Ina dibentuk dalam deret barisan geometri. Jumlah usia ketiganya adalah 14 tahun. Sedangkan perbandingan umur Ina dan Amir adalah 2:1.

Rika memiliki umur yang paling muda. Berapakah umurnya?

Jawab:

U₁ = a = usia Rika

U₂ = ar = usia Amir

U₃ = ar² = usia Ina

r = U₃/U₂ = 2/1 = 2

U₁ + U₂ + U₃ = 14

a + ar + ar² = 14

a + a(2) + a(2)² = 14

a + 2a + 4a = 14

7a = 14

a = 2

Sehingga dapat disimpulkan bahwa usia Rika adalah 2 tahun

Contoh 5

Zat radioaktif mengalami perubahan bentuk setengahnya dalam kurun waktu 2 jam. Jika pada jam 06.00 massa zat tersebut adalah sebesar 1.600 gram. 

Hitunglah berapa berat massa pada jam 14.00?

Jawab:

06.00 = 1.600 gram

08.00 = 800 gram

10.00 = 400 gram

12.00 = 200 gram

14.00 = 100 gram

Hasil tersebut dihasilkan dari rumus sebagai berikut:

U₅ = 1600 (1/2) ^5-1 = 100

Dapat dijawab bahwa massa zat pada jam 14.00 adalah seberat 100 gram.

Contoh 6

Hitunglah jumlah dari barisan geometri sebagai berikut 2 + 6 + 18 +…. + 4374

Jawab:

a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

4374 = 2. (3^n-1)

3^n-1 =4374 / 2

3^n-1 = 2187

3^n-1 = 3⁷

n-1 = 7

n = 8

Sehingga perhitungannya sebagai berikut S8 = a (rⁿ – 1) / (r – 1)

S8 = 2 (3⁸-1) / (3 – 1)

S8 = 2 (6560) / 2

Dapat disimpulkan bahwa S8 = 6560

Dengan memahami contoh dan pengertian barisan deret aritmatika dan geometri, kamu bisa mempelajari materi matematika secara lebih dalam dan dapat melakukan perhitungan dengan baik.

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta