Cara Membuktikan Bilangan Rasional atau Irasional dengan Benar
Bilangan rasional dengan irasional tentu sangat akrab di kalangan pelajar, khususnya bagi siswa yang baru menginjak bangku SMP. Sayangnya, masih banyak yang masih kebingungan dalam menyelesaikan soal terkait dua bilangan ini, karena tidak tahu cara membuktikan bilangan rasional dengan benar.
Modal utama yang harus dimiliki agar bisa membuktikan bilangan rasional adalah pemahaman yang tepat terkait keduanya. Apabila bisa memahaminya, tentu saja mudah bagi Anda untuk bisa membuktikan suatu bilangan tersebut termasuk rasional ataupun irasional.
Bilangan Rasional dan Irasional
Daftar Isi
Daftar Isi
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang berupa rasio pembagian dari dua angka dan bisa dinyatakan dengan bentuk a/b. A dalam bilangan rasional adalah himpunan dari bilangan bulat, sementara b juga termasuk dalam himpunan bilangan bulat, terkecuali.
Sementara bilangan irasional didefinisikan sebagai sebuah bilangan yang tidak bisa diubah atau dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa pada umumnya. Sementara jika bilangannya diubah dalam bentuk desimal, maka hasilnya tidak memiliki pola yang tetap.
Agar lebih mudah memahami antara bilangan irasional dan rasional, ada beberapa ciri khusus yang melekat pada kedua bilangan ini. Ciri-ciri inilah yang selanjutnya menjadi tolak ukur dalam membuktikan keduanya pada suatu bilangan.
Ciri-Ciri Bilangan Rasional
Ada banyak ciri yang melekat pada bilangan rasional. Ini disebabkan karena semua bilangan yang umum digunakan dalam perhitungan matematika adalah bilangan rasional. Adapun ciri-ciri dari bilangan ini meliputi:
1. Bisa ditulis dalam bentuk pecahan atau ab
Contoh : 23, : 25, : 510
2. Apabila ditulis dalam pecahan, maka a, b harus berupa bilangan bulat
Contoh : 23, 2 dan 3 adalah bilangan bulat
3. Bilangan rasional dalam bentuk pecahan, penyebut b tidak sama dengan 0 atau b ≠ 0
Contoh : : 23, 3 ≠ 0
4. Dapat diubah dalam bentuk pecahan dengan angka dibelakang koma terbatas
Contoh : 1,25, 6,7, 3,5, dan sejenisnya
5. Dapat diubah dalam pecahan desimal dengan angka di belakang koma tidak terbatas namun berpola dan berulan
Contoh : 2,33355333, 4,66666, 0,090909
Bisa diklasifikasikan menjadi bilangan cacah, bilangan asli, dan bilangan bulat
Ciri-Ciri Bilangan Irasional
Bilangan irasional memiliki ciri-ciri yang berbanding terbalik dengan bilangan rasional. Adapun ciri-ciri tersebut yang nantinya bisa dijadikan sebagai bahan pembuktian adalah:
- Tidak bisa ditulis dalam bentuk pecahan ab dengan a dan b bilangan bulat serta b ≠ 0
- Apabila diubah dalam bentuk pecahan, angka di belakang koma tidak terbatas dan tidak bisa habis
- Dalam bentuk pecahan desimal, angka dibelakang koma juga tidak memiliki pola dan pengulangan angka
Dari kedua ciri-ciri di atas, dapat ditemukan beberapa perbedaan dari kedua bilangan ini, yaitu:
Cara Membuktikan Bilangan Rasional atau Irasional
Untuk mempermudah pembuktian suatu bilangan itu rasional atau tidak rasional, ada beberapa cara mudah yang bisa diterapkan. Berikut adalah cara-cara yang bisa dilakukan serta penjelasan singkat terkait cara penerapannya:
1. Menyajikan Dalam Bentuk Pecahan
Merujuk dari ciri-ciri bilangan rasional yang bisa diubah ke dalam bentuk pecahan, maka cara pertama yang bisa dilakukan untuk membuktikan bilangan rasional adalah dengan mengubahnya ke pecahan.
Kalau bilangan tersebut bisa diubah dalam bentuk pecahan yang pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat dengan b ≠ 0, berarti bilangan itu terbukti merupakan bilangan rasional. Sebaliknya, kalau tidak bisa diubah ke pecahan, berarti bilangan tadi bukan bilangan rasional atau disebut irasional.
Contoh :
Membuktikan bahwa ѵ9 adalah bilangan rasional dengan pecahan.
Ѵ9 = 3 diubah ke bentuk pecahan menjadi : 31.
3 dan 1 adalah bilangan bulat dan 1 ≠ 0.
Maka bilangan ѵ9 terbukti bilangan rasional karena sesuai dengan ciri-cirinya ketika diubah dalam bentuk pecahan.
2. Mengubah Dalam Bentuk Desimal
Cara kedua adalah dengan mengubah bilangan yang ada ke dalam bentuk desimal. Periksa apakah angka dibelakang koma yang dihasilkan bisa habis atau terbatas. Kalau tidak terbatas namun bilangannya masih berulang dan berpola, berarti bisa disebut bilangan rasional, demikian sebaliknya.
Contoh:
Membuktikan bahwa Ѵ1,96 adalah bilangan rasional dengan mengubah ke desimal.
Ѵ1,96 = Ѵ196100
= 1410 diubah ke bentuk desimal = 1,4.
Angka yang ada di belakang koma terbatas hanya sampai angka 4 saja. Ini membuktikan bahwa bilangan ini termasuk bilangan rasional.
3. Membuktikan dengan Geometri
Pembuktian dengan geometri cukup beragam tergantung dengan jenis geometri yang ingin digunakan sebagai pembuktian. Bisa menggunakan rekayasa gambar persegi ataupun memanfaatkan diagram garis untuk menggambar bentuk bilangan yang dihasilkan.
Contoh Soal dan Jawaban Terkait Pembuktian Bilangan Rasional dan Irasional
Untuk meningkatkan pemahaman terkait cara pembuktian bilangan rasional maupun irasional, beberapa contoh soal berikut bisa dijadikan media untuk terus belajar dan berlatih:
Contoh Soal 1
Perhatikan bilangan di bawah ini!
a. Ѵ64
b. 720
c. 32 :16
d. 4
Bilangan manakah yang termasuk bilangan rasional dan irasional? Sertakan dengan cara membuktikannya!
Jawab.
a. Ѵ64
Akar dari bilangan ini adalah 8.
Bilangan ini bisa diubah dalam bentuk pecahan menjadi 81.
8 dan 1 adalah bilangan bulat, sementara 1 ≠ 0 sehingga Ѵ64 merupakan bilangan rasional.
b. 720
Apabila diubah dalam bentuk pecahan desimal, maka 720 = 0,35.
Angka dibelakang koma terbatas hanya sampai angka 5.
Jadi, bilangan 720 terbukti sebagai bilangan rasional.
c. 32 :16
32 :16 = 2
Apabila diubah ke bentuk desimal, maka hasil dari 2 adalah 1,1421 …..
Angka di belakang koma tidak terbatas dan tidak memiliki pola pengulangan.
Ini membuktikan bahwa bilangan 32 :16 merupakan bilangan irasional.
d. . 4
Nilai π adalah 3,1428571429.
Jadi 3,14285714294 = 0,7857142857.
Angka di belakang koma tidak terbatas dan tidak berpola pengulangan, jadi bilangan . 4 adalah bilangan irasional.
Contoh Soal 2
Buktikan bahwa:
a. Ѵ2 adalah bilangan irasional
b. 0,3333 adalah bilangan rasional
Jawab:
a. Ѵ2 adalah bilangan irasional
Untuk mengubah ke bentuk pecahan, anggap saja Ѵ5 sebagai bilangan rasional, sehingga
Ѵ2 = ab a dan b dianggap sebagai bilangan bulat yang memiliki FPB 1.
Ѵ2 = ab
2 = a2 b2
a2 = 2b2 , Jadi, a2 adalah bilangan genap sehingga bisa ditulis a = 2k
(2k)2 = 2b2 , 4k2 = 2b2 , 2k2 = b2.
b2 = 2k2 sehingga b2 juga tergolong bilangan genap.
Apabila b2 adalah bilangan genap, tentu saja b juga bilangan genap.
Jadi, bertentangan dengan anggapan bahwa FPB dari a dan b adalah 1.
Ini membuktikan bahwa Ѵ2 adalah bilangan irasional.
b. 0,3333 adalah bilangan rasional
Dari adanya pola pengulangan pada angka di belakang koma bilangan desimal ini sudah membuktikan bahwa bilangan ini adalah bilangan rasional.
Beberapa cara membuktikan bilangan rasional ataupun irasional di atas bagi sebagian orang mungkin masih dianggap sulit dan membingungkan. Tapi selama ciri-ciri dan kedua bilangan tersebut bisa dipahami dengan baik, maka cara membuktikannya tinggal disesuaikan dengan kemampuan yang dimiliki.
Klik dan dapatkan info kost di dekatmu:
Kost Denpasar Bali Harga Murah