Cara Mencari Determinan Matriks dan Invers Matriks dengan Rumus Beserta Contohnya

Salah satu subjek pembelajaran di Matematika adalah matriks. Beberapa di antaranya adalah determinan matriks dan invers matriks yang perlu dihitung ketika menerima soal dengan subjek tersebut. Oleh karena itu, kamu harus paham penghitungan yang benar memakai rumus yang tersedia sejak lama.

Selain mempelajari rumus yang benar ketika mengerjakan matriks, kamu perlu berlatih agar menguasai dengan optimal. Kamu akan mempelajari berbagai rumus dalam mencari invers sekaligus determinan matriks dan berlatih dengan contoh melalui penjelasan berikut ini:

Pengertian dan Ragam Jenis Matriks

Matriks merupakan susunan dari berbagai bilangan yang membentuk persegi atau persegi panjang melalui pengaturan kolom atau baris berdasarkan pembatasan oleh tanda kurung. Unsur atau elemen matriks merupakan bilangan-bilangan yang tersusun dan dimaksud dalam matriks.

Baris adalah susunan bilangan yang diurutkan secara horizontal atau mendatang. Sedangkan, kolom merupakan susunan angka secara vertikal atau tegak. Banyaknya elemen matriks baris maupun kolom biasanya dikenal dengan sebutan ordo matriks.

Berdasarkan makna tersebut, matriks dengan a baris dan c kolom memiliki ordo a x c. Penulisannya berupa Aa.c. Dua contoh bagian pembahasan matriks adalah determinan dan invers matriks.

Pengertian Determinan Matriks

Determinan matriks sebagai “teman” invers matriks merupakan nilai yang diperoleh dari penghitungan unsur-unsur dari matriks persegi. Berdasarkan pengertiannya, kamu dapat mengambil pemahaman bahwa matriks persegi punya kolom dan baris yang jumlahnya sama.

Determinan dari matriks A dituliskan memakai tanda |A|, det(A), atau det A. Umumnya, determinan matriks senantiasa dianggap sebagai faktor dari proses skala transformasi tertentu.

Manfaat Menghitung Determinan Matriks

Sebenarnya, matriks punya kegunaan penting dalam kehidupan manusia. Utamanya bagi para pekerja teknik untuk memudahkan pengerjaan dan pemecahan masalah memakai banyak variabel. Selain itu, masalah persebaran data yang meliputi kumpulan angka jadi lebih fleksibel dan teratur.

Apalagi, banyak pihak yang membutuhkan proses penghitungan yang lebih efektif ketika data terangkum dalam bentuk tabel. Kolom-kolom akan dijumlah kemudian memperoleh proses penjumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagian untuk mendapatkan nilai tertentu.

Apabila kamu merangkum manfaatnya menjadi satu, maka beberapa hal berikut dapat kamu rasakan, antara lain:

• Meningkatkan kemudahan ketika menyusun analisis terhadap sebuah masalah ekonomi berdasarkan banyak variable.
• Memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi penyelidikan, contohnya sumber-sumber minyak bumi dalam skala besar.
• Menaikkan fungsi efisien dari pemakaian program linear dan analisis output, seperti dalam bidang pendidikan, statistik, hingga ekonomi. Contohnya, penilaian rapor dan penyusunan jurnal.

Cara Mencari Determinan Matriks

1.      Determinan 2 x 2

Sebuah matriks C mempunyai elemen-elemen yang terdiri dari a, b, c, dan d. Maka determinan C dapat dituliskan det C= |C|.

C = [ a b ]
       c d

Rumus dari determinan adalah |C|= ad x bc yang berasal dari perkalian silang antara a dengan d dan b dengan c.

2.      Determinan 3 x 3

Terdapat dua cara yang dapat kamu gunakan untuk menghitung determinan matriks 3 x 3, yaitu cara sarrus serta minor kofaktor.

Cara sarrus

Semakin banyak komponen seperti determinan 3 x 3, otomatis penghitungan dapat terjadi lebih lama. Pertama-tama, kamu mengetahui matriks E berikut ini kemudian perhatikan langkah-langkah pemecahannya:

E = a b c

    [ d e f ]

     g h i

E = a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i

• Susun ulang determinan matriks yang ada dengan menambahkan 3 baris serta 2 kolom
• Buat garis diagonal dari kiri atas ke kanan bawah sebanyak tiga kolom dari kiri kemudian lakukan penjumlahan masing-masing hasil perkalian bilangan pada satu garis. Lakukan juga sebaliknya mulai dari tiga kolom di sisi kanan, namun pakai operasi pengurangan
• Lakukan perkalian mengikuti garis hingga kamu memanfaatkan rumus E= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i

Minor kofaktor

A = a b c

    [ d e f ]

     g h i

Kamu sudah punya matriks 3 x 3 sesuai susunan di atas. Cara minor kofaktor cenderung punya alur yang lebih panjang dengan pengoperasian bilangan lebih rinci. Terdapat tiga tahapan yang perlu kamu lakukan, yaitu:

• Mencari M11, M12, dan M13
• Menyusun C11, C12, sert C13
• Memasukkan masing-masing menuju rumus determinan 3 x 3

Lakukan pencarian minor terlebih dahulu dengan mengikuti tahapan dari rumus berikut ini:

• Carilah minor dari kolom ke-1 serta baris ke-1 lewat menghapus masing-masing bagian tersebut. Sisanya dapat kita peroleh sebagai M11 yang terdiri dari komponen e, f, h, i.
• Lanjutkan dengan menghapus baris ke-1 dan kolom ke-2 sebagai sarana memperoleh M12 yang punya komponen d, g, f, i.
• Hapuskan baris ke-1 dan kolom ke-3 agar kamu memperoleh angka-angka dari M13 dengan komponen atau unsur d, e, g, h.
• Kamu dapat mencari M22 dengan cara menghapus baris ke-2 kolom ke-2 untuk meninggalkan unsur a, c, g, i.
• Terakhir, maksimalkan dengan mencari M33 melalui penghapusan baris ke-3 kolom ke-3 sampai menyimpan a, b, d, e.

Apabila penghitungan minor sudah selesai, kini saatnya berpindah untuk mencari kofaktor. Ikuti urutan rumus di bawah ini:

Cij = -1^i+j |Mij|

Bila kamu ingin mencari C11, masukkan masing-masing angka pada bagiannya. Sebelumnya, kamu sudah punya hasil penghitungan M11. Maka, hasil penerapan rumusnya menjadi:

C11 = -1^1+1 |e.i – f.h|

Alternatif cara yang bisa kamu lakukan adalah mengikuti langkah-langkah berikut ini:

• Di atas baris pertama berikan tanda (+) pada a, (-) untuk b, dan (+) untuk c
• Di atas baris kedua berikan tanda (-) pada d, (+) untuk e, dan (-) untuk f
• Di atas baris ketiga berikan tanda (+) pada g, (-) untuk h, dan (+) untuk i

C11 punya harga (+) dengan nilai determinan yang dapat diambil dari rumus C11= + (e.i – f.h). Bila ingin mencari C21 yang memiliki harga (-) rumusnya C21= – (b.i – c.h).

Jika sudah tuntas dengan kofaktor, kamu dapat memasukkan pencarian determinan sebagai langkah berikutnya dari tipe susunan 3 x 3 minor kofaktor. Rumusnya sebagai berikut:

|A| = A11.C11 + A12.C12 + A13.C13 = a.C11 + b.C12 + c.C13

Pengertian Invers Matriks

Invers merupakan kebalikan dan biasa digunakan untuk menyatakan penghitungan tertentu pada aljabar. Invers matriks adalah invers atau kebalikan yang terjadi pada sebuah matriks apabila dikalikan bersama inversnya. Lambang dari invers matriks adalah A-1.

Manfaat dari pengoperasian invers matriks adalah menyelesaikan sistem persamaan linier serta persamaan matriks. Tidak seluruh matriks mempunyai invers. Yang termasuk kategori adalah matriks persegi yang punya determinan tidak sama dengan nol. Bentuk umum dari invers matriks persegi A, yaitu:

A-1 = 1/det(A).adj(A)

Dalam bentuk rumus tersebut, det(A) merupakan determinan matriks dengan adj(A) adalah adjoin dari matriks A. Adjoin adalah transpose yang asalnya dari matriks kofaktor A.

Cara Mencari Invers Matriks

1. Transformasi Elementer

Matriks bujur sangkar atau persegi A(nxn) tidak singular mempunyai model normal In. Dalam rangka menentukan invers matriks dari A, kamu perlu menyusun matriks baru dengan model [A|In]. Bila sudah, transformasi elementer punya peran sedemikian rupa dalam menghasilkan In.

Sebaliknya, matriks yang semula In seusai mendapatkan proses transformasi elementer baris akan berubah menjadi A (A^-1).

2. Adjoint

Misalnya, kamu punya matriks A = [aij] dengan komponen i = 1, 2, 3,…, n serta j = 1, 2, 3,… n. Jika kofaktor dari unsur aij ditulis memakai Aij = (-1)^i+j Mij, maka adjoint yang dapat dibentuk adalah:

Adj (A) =|A11 A21 A31 … An1|

              |A12  A22 A32 … An2|

              |A13 A23 A33 … An3|

              |A1n A2n A3n … Ann|

Oleh karenanya, rumus adjoint dapat menghasilkan bilangan jawaban melalui penggunaan yang bersangkutan, yaitu:

A^-1 = adj(A)/|A|

Salah satu akibat dari penentuan invers matriks adalah jika nilai determinan tidak sama dengan nol.

3. Eliminasi Gauss Jordan

Pernyataan mengenai pemakaian rumus ini dapat terlihat secara sistematis melalui:

[A\I] -> [I|A^-1]

Matriks persegi A melewati proses eliminasi memakai operasi aljabar hingga membentuk matriks identitas. Apabila sudah berubah bentuk menjadi sebuah matriks identitas, maka identitas tersebut akan berubah jadi invers melalui matriks A.

Contoh Soal Determinan dan Invers Matriks

1.  Determinan 1

Diketahui sebuah matriks J sebagai berikut:

J = [ 1 2 ]

        1 3

Berapakah nilai determinannya?

Jawab:

Pastikan terlebih dahulu bahwa dari matriks tersebut a=1, b=2, c=1, dan d=3. Lakukan operasi silang ad dan bc.

Ad = 1.3 = 3

Bc = 2.1 = 2

|J| = ad-bc = 3-2 = 1

Jadi, determinan J adalah 1

2. Determinan 2

Lihat matriks N berikut ini:

N = [ 2 x ]

        4 8

Bila diketahui bahwa determinan dari matriks N berupa 4, hitunglah nilai x!

Jawab:

Diketahui bila komponen dari matrik N, a=2, b=x, c=4, d=8

|N| = ad-bc

4 = 16-4x

4x = 16-4

4x = 12

x = 3

3. Invers Matriks 1

Diketahui sebuah matriks A memiliki susunan berikut:

A =  1 3 2
      [ 1 4 6 ]
        2 5 7
Tentukan adj(A) dan A^-1!

Jawab:

A11 = (-1)^1+1 M11 = [ 4 6 ] = 28-30 = -2

                                    5 7
A21 = -11
A22 = (-1)^2+2 M22 = [ 1 2 ] = 7-4 = 3
                                    2 7
A23 = (-1)^2+3 M23 = [ 1 3 ] = 5-6 = -1
                                    2 5
A31 = (-1)^3+1 M11 = [ 4 6 ] = 28-30 = -2
                                    5 7
A32 = -4
A33 = 1

Maka, adj(A) = -2 -11 10
                       [ 5 3 -4 ]
                         -3 1 1


Nilai determinan A bisa dicari melalui metode Sarrus

|A| = 1 3 2 1 3       = (28+36+10) – (16+30+21) = 7
        [ 1 4 6 1 4 ]
          2 5 7 2 5

Invers matriks dari A, yaitu A^-1 = 1/7  -2 11 10 = -2/7 11/7 10/7
                                                         [ 5 3 -4 ]   [ 5/7 3/7 -4/7 ]
                                                           -3 1 1        -3/7 1/7 1/7

Itulah penjelasan lengkap mengenai cara mencari determinan dan invers matriks disertai contohnya. Pelajari lebih dalam dan asah kemampuan kamu dalam bidang matriks supaya terbiasa sekaligus menguasainya. Dengan begitu, kamu lebih terampil memecahkan masalah berkaitan dengan variabel data.

---

Klik dan dapatkan info kost di dekatmu:

Kost Jogja Harga Murah

Kost Jakarta Harga Murah

Kost Bandung Harga Murah

Kost Denpasar Bali Harga Murah

Kost Surabaya Harga Murah

Kost Semarang Harga Murah

Kost Malang Harga Murah

Kost Solo Harga Murah

Kost Bekasi Harga Murah

Kost Medan Harga Murah