Cara Mencari Determinan Matriks dan Invers Matriks dengan Rumus Beserta Contohnya
Salah
satu subjek pembelajaran di Matematika adalah matriks. Beberapa di antaranya
adalah determinan matriks dan invers matriks
yang perlu dihitung ketika menerima soal dengan subjek tersebut. Oleh karena
itu, kamu harus paham penghitungan yang benar memakai rumus yang tersedia sejak
lama.
Selain mempelajari rumus yang benar ketika mengerjakan matriks, kamu perlu berlatih agar menguasai dengan optimal. Kamu akan mempelajari berbagai rumus dalam mencari invers sekaligus determinan matriks dan berlatih dengan contoh melalui penjelasan berikut ini:
Pengertian dan Ragam Jenis Matriks
Daftar Isi
Daftar Isi
Matriks
merupakan susunan dari berbagai bilangan yang membentuk persegi atau persegi
panjang melalui pengaturan kolom atau baris berdasarkan pembatasan oleh tanda
kurung. Unsur atau elemen matriks merupakan bilangan-bilangan yang tersusun dan
dimaksud dalam matriks.
Baris adalah susunan bilangan yang diurutkan secara horizontal atau mendatang. Sedangkan, kolom merupakan susunan angka secara vertikal atau tegak. Banyaknya elemen matriks baris maupun kolom biasanya dikenal dengan sebutan ordo matriks.
Berdasarkan
makna tersebut, matriks dengan a baris dan c kolom memiliki ordo a x c.
Penulisannya berupa Aa.c. Dua contoh bagian pembahasan matriks adalah
determinan dan invers matriks.
Pengertian
Determinan Matriks
Determinan
matriks sebagai “teman” invers matriks merupakan nilai yang diperoleh dari penghitungan
unsur-unsur dari matriks persegi. Berdasarkan pengertiannya, kamu dapat
mengambil pemahaman bahwa matriks persegi punya kolom dan baris yang jumlahnya
sama.
Determinan dari matriks A dituliskan memakai tanda |A|,
det(A), atau det A. Umumnya, determinan matriks senantiasa dianggap sebagai
faktor dari proses skala transformasi tertentu.
Manfaat
Menghitung Determinan Matriks
Sebenarnya,
matriks punya kegunaan penting dalam kehidupan manusia. Utamanya bagi para
pekerja teknik untuk memudahkan pengerjaan dan pemecahan masalah memakai banyak
variabel. Selain itu, masalah persebaran data yang meliputi kumpulan angka jadi
lebih fleksibel dan teratur.
Apalagi,
banyak pihak yang membutuhkan proses penghitungan yang lebih efektif ketika data
terangkum dalam bentuk tabel. Kolom-kolom akan dijumlah kemudian memperoleh
proses penjumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagian untuk mendapatkan
nilai tertentu.
Apabila
kamu merangkum manfaatnya menjadi satu, maka beberapa hal berikut dapat kamu
rasakan, antara lain:
- Meningkatkan kemudahan ketika menyusun analisis terhadap sebuah masalah ekonomi berdasarkan banyak variable.
- Memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi penyelidikan, contohnya sumber-sumber minyak bumi dalam skala besar.
- Menaikkan fungsi efisien dari pemakaian program linear dan analisis output, seperti dalam bidang pendidikan, statistik, hingga ekonomi. Contohnya, penilaian rapor dan penyusunan jurnal.
Cara Mencari
Determinan Matriks
1.
Determinan 2
x 2
Sebuah matriks C mempunyai elemen-elemen yang terdiri dari a, b, c, dan d. Maka determinan C dapat dituliskan det C= |C|.
C = [ a b ]
c d
Rumus
dari determinan adalah |C|= ad x bc yang berasal dari perkalian silang antara a
dengan d dan b dengan c.
2.
Determinan 3
x 3
Terdapat
dua cara yang dapat kamu gunakan untuk menghitung determinan matriks 3 x 3,
yaitu cara sarrus serta minor kofaktor.
Cara sarrus
Semakin
banyak komponen seperti determinan 3 x 3, otomatis penghitungan dapat terjadi
lebih lama. Pertama-tama, kamu mengetahui matriks E berikut ini kemudian
perhatikan langkah-langkah pemecahannya:
E
= a b c
[ d e f ]
g h i
E
= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i
- Susun ulang determinan matriks
yang ada dengan menambahkan 3 baris serta 2 kolom - Buat garis diagonal dari kiri
atas ke kanan bawah sebanyak tiga kolom dari kiri kemudian lakukan penjumlahan
masing-masing hasil perkalian bilangan pada satu garis. Lakukan juga sebaliknya
mulai dari tiga kolom di sisi kanan, namun pakai operasi pengurangan - Lakukan perkalian mengikuti
garis hingga kamu memanfaatkan rumus E= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h –
b.d.i
Minor kofaktor
A
= a b c
[ d e f ]
g h i
Kamu
sudah punya matriks 3 x 3 sesuai susunan di atas. Cara minor kofaktor cenderung
punya alur yang lebih panjang dengan pengoperasian bilangan lebih rinci.
Terdapat tiga tahapan yang perlu kamu lakukan, yaitu:
- Mencari M11, M12, dan M13
- Menyusun C11, C12, sert C13
- Memasukkan masing-masing
menuju rumus determinan 3 x 3
Lakukan
pencarian minor terlebih dahulu dengan mengikuti tahapan dari rumus berikut
ini:
- Carilah minor dari kolom ke-1
serta baris ke-1 lewat menghapus masing-masing bagian tersebut. Sisanya dapat
kita peroleh sebagai M11 yang terdiri dari komponen e, f, h, i. - Lanjutkan dengan menghapus
baris ke-1 dan kolom ke-2 sebagai sarana memperoleh M12 yang punya komponen d,
g, f, i. - Hapuskan baris ke-1 dan kolom
ke-3 agar kamu memperoleh angka-angka dari M13 dengan komponen atau unsur d, e,
g, h. - Kamu dapat mencari M22 dengan
cara menghapus baris ke-2 kolom ke-2 untuk meninggalkan unsur a, c, g, i. - Terakhir, maksimalkan dengan
mencari M33 melalui penghapusan baris ke-3 kolom ke-3 sampai menyimpan a, b, d,
e.
Apabila
penghitungan minor sudah selesai, kini saatnya berpindah untuk mencari
kofaktor. Ikuti urutan rumus di bawah ini:
Cij
= -1^i+j |Mij|
Bila
kamu ingin mencari C11, masukkan masing-masing angka pada bagiannya.
Sebelumnya, kamu sudah punya hasil penghitungan M11. Maka, hasil penerapan
rumusnya menjadi:
C11
= -1^1+1 |e.i – f.h|
Alternatif
cara yang bisa kamu lakukan adalah mengikuti langkah-langkah berikut ini:
- Di atas baris pertama berikan
tanda (+) pada a, (-) untuk b, dan (+) untuk c - Di atas baris kedua berikan
tanda (-) pada d, (+) untuk e, dan (-) untuk f - Di atas baris ketiga berikan
tanda (+) pada g, (-) untuk h, dan (+) untuk i
C11
punya harga (+) dengan nilai determinan yang dapat diambil dari rumus C11= +
(e.i – f.h). Bila ingin mencari C21 yang memiliki harga (-) rumusnya C21= –
(b.i – c.h).
Jika
sudah tuntas dengan kofaktor, kamu dapat memasukkan pencarian determinan
sebagai langkah berikutnya dari tipe susunan 3 x 3 minor kofaktor. Rumusnya
sebagai berikut:
|A| = A11.C11 + A12.C12 + A13.C13 = a.C11 + b.C12 + c.C13
Pengertian Invers Matriks
Invers
merupakan kebalikan dan biasa digunakan untuk menyatakan penghitungan tertentu
pada aljabar. Invers matriks adalah
invers atau kebalikan yang terjadi pada sebuah matriks apabila dikalikan
bersama inversnya. Lambang dari invers matriks adalah A-1.
Manfaat
dari pengoperasian invers matriks adalah menyelesaikan sistem persamaan linier serta
persamaan matriks. Tidak seluruh matriks mempunyai invers. Yang termasuk
kategori adalah matriks persegi yang punya determinan tidak sama dengan nol.
Bentuk umum dari invers matriks persegi A, yaitu:
A-1
= 1/det(A).adj(A)
Dalam
bentuk rumus tersebut, det(A) merupakan determinan matriks dengan adj(A) adalah
adjoin dari matriks A. Adjoin adalah transpose yang asalnya dari matriks
kofaktor A.
Cara Mencari Invers Matriks
1. Transformasi Elementer
Matriks
bujur sangkar atau persegi A(nxn) tidak singular mempunyai model normal In.
Dalam rangka menentukan invers matriks dari A, kamu perlu menyusun matriks baru dengan model
[A|In]. Bila sudah, transformasi elementer punya peran sedemikian rupa dalam menghasilkan
In.
Sebaliknya,
matriks yang semula In seusai mendapatkan proses transformasi elementer baris
akan berubah menjadi A (A^-1).
2. Adjoint
Misalnya,
kamu punya matriks A = [aij] dengan komponen i = 1, 2, 3,…, n serta j = 1, 2,
3,… n. Jika kofaktor dari unsur aij ditulis memakai Aij = (-1)^i+j Mij, maka
adjoint yang dapat dibentuk adalah:
Adj
(A) =|A11 A21 A31 … An1|
|A12 A22 A32 … An2|
|A13 A23 A33 … An3|
|A1n A2n A3n … Ann|
Oleh
karenanya, rumus adjoint dapat menghasilkan bilangan jawaban melalui penggunaan
yang bersangkutan, yaitu:
A^-1
= adj(A)/|A|
Salah
satu akibat dari penentuan invers matriks adalah jika nilai determinan tidak sama dengan nol.
3. Eliminasi Gauss Jordan
Pernyataan mengenai pemakaian rumus ini dapat terlihat
secara sistematis melalui:
[A\I]
-> [I|A^-1]
Matriks persegi A melewati proses eliminasi memakai operasi aljabar hingga membentuk matriks identitas. Apabila sudah berubah bentuk menjadi sebuah matriks identitas, maka identitas tersebut akan berubah jadi invers melalui matriks A.
Contoh Soal
Determinan dan Invers Matriks
1. Determinan 1
Diketahui
sebuah matriks J sebagai berikut:
J
= [ 1 2 ]
1 3
Berapakah
nilai determinannya?
Jawab:
Pastikan
terlebih dahulu bahwa dari matriks tersebut a=1, b=2, c=1, dan d=3. Lakukan
operasi silang ad dan bc.
Ad
= 1.3 = 3
Bc
= 2.1 = 2
|J|
= ad-bc = 3-2 = 1
Jadi,
determinan J adalah 1
2. Determinan 2
Lihat
matriks N berikut ini:
N
= [ 2 x ]
4 8
Bila
diketahui bahwa determinan dari matriks N berupa 4, hitunglah nilai x!
Jawab:
Diketahui bila komponen dari matrik N, a=2, b=x, c=4, d=8
|N|
= ad-bc
4
= 16-4x
4x
= 16-4
4x
= 12
x
= 3
3. Invers Matriks 1
Diketahui sebuah matriks A memiliki susunan berikut:
A = 1 3 2
[ 1 4 6 ]
2 5 7
Tentukan adj(A) dan A^-1!
Jawab:
A11 = (-1)^1+1 M11 = [ 4 6 ] = 28-30 = -2
5 7
A21 = -11
A22 = (-1)^2+2 M22 = [ 1 2 ] = 7-4 = 3
2 7
A23 = (-1)^2+3 M23 = [ 1 3 ] = 5-6 = -1
2 5
A31 = (-1)^3+1 M11 = [ 4 6 ] = 28-30 = -2
5 7
A32 = -4
A33 = 1
Maka, adj(A) = -2 -11 10
[ 5 3 -4 ]
-3 1 1
Nilai determinan A bisa dicari melalui metode Sarrus
|A| = 1 3 2 1 3 = (28+36+10) – (16+30+21) = 7
[ 1 4 6 1 4 ]
2 5 7 2 5
Invers matriks dari A, yaitu A^-1 = 1/7 -2 11 10 = -2/7 11/7 10/7
[ 5 3 -4 ] [ 5/7 3/7 -4/7 ]
-3 1 1 -3/7 1/7 1/7
Itulah penjelasan lengkap mengenai cara mencari determinan dan invers matriks disertai contohnya. Pelajari lebih dalam dan asah kemampuan kamu dalam bidang matriks supaya terbiasa sekaligus menguasainya. Dengan begitu, kamu lebih terampil memecahkan masalah berkaitan dengan variabel data.
Klik dan dapatkan info kost di dekatmu:
Kost Denpasar Bali Harga Murah