Contoh Relasi dan Fungsi dalam Matematika beserta Perbedaannya
Contoh
Relasi dan Fungsi dalam Matematika Beserta Perbedaannya – Dalam matematika,
kamu pasti akan belajar tentang relasi dan fungsi.
Tapi,
apa sih sebenarnya relasi dan fungsi itu? Apa yang membedakan keduanya?
Bagaimana contoh soal yang menggunakan relasi dan fungsi ini?
Berikut
Mamikos berikan penjelasan lengkap tentang contoh relasi dan fungsi dalam
matematika dan perbedaannya!
Definisi Relasi dalam Matematika
Daftar Isi
Daftar Isi
Sebelum
kita membahas tentang contoh relasi dan fungsi dalam matematika ini, mari
pahami terlebih dahulu definisinya.
Yang
pertama ada relasi dalam matematika. Relasi dalam matematika menggambarkan
hubungan antara satu elemen dengan elemen yang lain.
Satu
elemen bisa saja memiliki banyak hubungan atau pasangan dengan elemen lainnya.
Misalnya,
ada dua set angka X = {1, 2, 3} dan Y = {a, b, c}. Nah, relasi (R) yang
menggambarkan hubungan kedua set tersebut bisa saja begini:
R =
{(1, a), (2, a), (1, b), (3, c)}.
Dapat
kamu lihat bahwa elemen X pada angka 1 memiliki dua hubungan, yaitu dengan
elemen Y a dan b.
Definisi Fungsi dalam Matematika
Sekarang,
sebelum masuk ke contoh relasi dan fungsi dalam matematika ini, mari kita
pahami tentang fungsi terlebih dahulu.
Dalam
matematika, fungsi juga disebut sebagai pemetaan. Nah, fungsi ini juga
menggambarkan hubungan atau relasi antar dua elemen.
Namun,
berbeda dengan relasi, fungsi menggambarkan hubungan antar elemen dengan
masing-masing satu pasangan saja.
Dalam
fungsi, terdapat istilah domain dan jangkauan (range). Setiap elemen dalam
domain memiliki hanya satu elemen yang sesuai di dalam jangkauan.
Contohnya,
f(x) = 2x. Di sini, x adalah elemen dalam domain, dan 2x adalah elemen dalam
jangkauan.
Setiap
nilai x dalam domain memiliki pasangan nilai 2x dalam jangkauan. Fungsi
menggambarkan hubungan linier di antara angka-angka tersebut.
Hubungan Antara Fungsi dan Relasi
Setelah
kamu memahami tentang definisi relasi dan fungsi dalam matematika, kamu harus
mengetahui hubungan di antara keduanya.
Sebab,
fungsi merupakan jenis spesifik dari relasi, di mana setiap elemen dalam domain
memiliki tepat satu pasangan dalam jangkauan.
Namun,
tidak semua relasi adalah fungsi. Karena, beberapa relasi dapat memiliki lebih
dari satu pasangan untuk elemen yang sama dalam suatu domain.
Dalam
matematika dan dunia nyata, fungsi dan relasi kerap digunakan untuk
menganalisis data, memodelkan situasi kehidupan nyata, dan membuat prediksi.
Fungsi
sering digunakan dalam matematika terapan dan ilmu pengetahuan untuk
menggambarkan hubungan yang lebih khusus.
Sementara
itu, relasi membantu manusia dalam memahami hubungan yang lebih umum dan
kompleks antara elemen-elemen yang berbeda.
Bentuk Relasi
Sebentar
lagi kita akan membahas tentang contoh relasi dan fungsi dalam matematika ya.
Tapi,
sebelum itu, kamu harus tahu dulu bahwa ada setidaknya tiga cara untuk
menggambarkan relasi.
Berikut
adalah penjelasan lengkap tentang jenis-jenis bentuk penggambaran relasi:
1. Relasi Diagram Panah
Bentuk
relasi yang pertama adalah berupa diagram panah. Bentuk ini adalah yang paling
mudah digambarkan dan dipahami.
Perhatikan
contoh di atas! Kamu pasti bisa langsung menyimpulkan hubungan antara elemen A
dan B kan?
Kira-kira,
hubungan apa yang bisa kamu simpulkan dari gambar bentuk penggambaran relasi di
atas?
2. Relasi Pasangan Berurutan
Kalau
yang satu ini merupakan penjelasan secara gamblang hubungan antara elemen satu
dengan yang lain.
Selain
itu, kamu menjelaskannya secara berurutan. Berikut adalah contohnya dengan
berpatok pada gambar di contoh pertama:
- Seungcheol
menyukai warna merah - Mingyu
menyukai warna merah - Jun
menyukai warna hijau - Minghao menyukai
warna biru - Seungkwan
menyukai warna biru
Nah,
penjelasan di atas bisa juga kita tuliskan dengan bentuk sebagai berikut:
(Seungcheol,
merah), (Mingyu, merah), (Jun, hijau), (Minghao, biru), (Seungkwan, biru)
Jadi,
relasi antara elemen di sebelah kiri dengan elemen di sebelah kanan dapat dinyatakan
sebagai relasi pasangan berurutan (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.
3. Relasi Diagram Cartesius
Dan
cara menggambarkan relasi yang terakhir adalah dengan diagram Certasius.
Untuk
lebih memahaminya, kamu bisa melihat contoh gambar di atas.
Diagram
Cartesius digambarkan dengan menggunakan garis titik-titik seperti contoh
gambar di atas.
Diagram
ini sedikit lebih sulit untuk digambar, tapi tetap mudah untuk dipahami, sama
seperti diagram panah.
Bentuk Fungsi
Sebelum
masuk ke pembahasan mengenai contoh relasi dan fungsi dalam matematika ini,
kamu perlu mengetahui bentuk fungsi.
Sama
seperti relasi, fungsi juga bisa digambarkan dengan diagram panah, Cartesius,
atau pasangan berurutan.
Sebagai
contoh, perhatikan gambar di atas kemudian pahami penjelasannya berikut ini!
- Domain A =
{Seungcheol, Mingyu, Jun, Minghao, Seungkwan} - Kodomain B
= {1, 2, 3, 4} - Range
fungsi = {1, 2, 3, 4}
Contoh Relasi dalam Matematika
Sekarang, marilah kita membahas
tentang contoh relasi dan fungsi dalam matematika beserta penjelasan
lengkapnya.
Untuk yang pertama adalah contoh relasi dalam matematika. Berikut adalah penjelasan untuk contoh-contoh relasi dalam matematika.
Tentu, berikut ini beberapa contoh
relasi dalam matematika:
1. Relasi Kesetaraan (Equivalence Relation)
Relasi kesetaraan adalah relasi
yang menggambarkan hubungan kesetaraan antar elemen.
Relasi kesetaraan terbagi lagi
menjadi beberapa jenis, yaitu:
- Kesetaraan numerik (a = b)
- Kesetaraan modulo (a ≡ b mod n)
- Kesetaraan identitas (A = I)
2. Relasi Orde (Order Relation)
Relasi orde adalah relasi yang
menggambarkan hubungan urutan (order) antara elemen satu dengan yang
lain.
Relasi orde terbagi menjadi beberapa
jenis, yaitu sebagai berikut:
- Lebih besar dari (a > b)
- Kurang dari atau sama dengan (a ≤ b)
- Relasi lebih besar sama dengan (a ≥ b)
3. Relasi dalam Graf (Graph Relation)
Nah, kalau relasi dalam graf
menggambarkan hubungan antar elemen yang lebih kompleks.
Misalnya, elemen A terhubung dengan
B melalui C. Atau elemen B merupakan tetangga dari hubungan antara elemen C dan
D.
4. Relasi dalam Teori Himpunan (Set Theory)
Dalam relasi juga terdapat teori
himpunan yang menggambarkan secara lebih kompleks hubungan antar elemen.
Beberapa contoh relasi dalam teori
himpunan adalah di bawah ini:
- Sub himpunan (A ⊆ B)
- Himpunan gabungan (A = ∪B)
- Himpunan irisan (A = ∩B)
5. Relasi dalam Aritmetika Modular
Untuk contoh relasi yang ini
terbagi menjadi dua, yaitu:
- Kongruen modulo (a ≡ b mod n)
- Relasi perbandingan (a < b mod n)
6. Relasi dalam Fungsi
Ada juga contoh relasi berupa
relasi dalam fungsi. Untuk contoh yang satu ini terbagi menjadi tiga jenis,
yaitu:
- Fungsi injektif (bahwa setiap elemen dalam
domain dipetakan ke elemen berbeda dalam jangkauan). - Fungsi surjektif (bahwa setiap elemen
dalam jangkauan memiliki setidaknya satu pre-image dalam domain). - Fungsi bijektif (gabungan antara fungsi injektif dan surjektif).
7. Relasi dalam Aljabar
Ada juga relasi dalam aljabar. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut:
- Sama dengan (a = b)
- Eksponensial (a^b)
- Relasi logika (a ⇒ b)
8. Relasi dalam Geometri
Relasi juga digunakan dalam
geometri. Berikut adalah beberapa jenis dan contohnya:
- Saling tegak lurus (a ⊥ b)
- Saling sejajar (a || b)
- Sama panjang (a ≅ b)
9. Relasi dalam Probabilitas
Seperti yang sudah Mamikos jelaskan
sebelumnya, relasi juga bisa digunakan untuk menyatakan probabilitas.
Nah, berikut adalah pembagian dan
beberapa contohnya:
- Kejadian A lebih mungkin terjadi daripada
kejadian B (P(A) > P(B)). - Kejadian A dan B saling eksklusif (A dan B
tidak bisa terjadi bersamaan). - Kejadian A dan B berdampingan (A dan B
dapat terjadi bersamaan).
10. Relasi dalam Kalkulus
Nah, kalau relasi yang digunakan
dalam kalkulus adalah sebagai berikut:
- Turunan (f'(x))
- Integral (∫[a,b] f(x) dx)
Contoh Fungsi dalam Matematika
Setelah membahas contoh relasi dari
kumpulan contoh relasi dan fungsi dalam matematika di atas, sekarang mari kita
bahas contoh fungsi dalam matematika.
Ada beberapa tipe fungsi dalam
matematika yang perlu kamu pahami karena pasti akan dipelajari di sekolah.
Berikut penjelasan lebih lengkapnya
sudah Mamikos siapkan untukmu!
1. Fungsi Linier (Linear Function)
f(x) = ax + b
Di mana a dan b adalah konstanta
Contohnya: f(x) = 2x + 3
2. Fungsi Kuadrat (Quadratic Function)
f(x) = ax^2 + bx + c
Contohnya: f(x) = x^2 – 4x + 5
3. Fungsi Eksponensial (Exponential Function)
f(x) = a^x
Di mana a adalah konstanta positif.
Contohnya: f(x) = 2^x
4. Fungsi Logaritma (Logarithmic Function)
f(x) = log_a(x)
Di mana a adalah basis logaritma.
Contohnya: f(x) = log_2(x)
5. Fungsi Trigonometri (Trigonometric Function)
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tan(x)
6. Fungsi Akar (Square Root Function)
f(x) = √x
7. Fungsi Rasional (Rational Function)
f(x) = (ax + b) / (cx + d)
Di mana a, b, c, dan d adalah
konstanta dan c ≠ 0.
Contohnya: f(x) = (2x + 1) / (3x –
2)
8. Fungsi Komposisi (Composite Function)
f(g(x))
Di mana f dan g adalah fungsi.
Contohnya:
f(x) = x^2
g(x) = 2x + 1
maka, f(g(x)) = (2x + 1)^2
9. Fungsi Absolut (Absolute Value Function)
f(x) = |x|
Contohnya: f(x) = |x – 3|
10. Fungsi Piecewise (Piecewise Function)
f(x) = { x^2, x < 0 ; 2x, x ≥ 0
}
Contohnya: f(x) = x^2 untuk x <
0 dan f(x) = 2x untuk x ≥ 0
11. Fungsi Identitas (Identity Function)
f(x) = x
12. Fungsi Langsung Proporsional (Directly Proportional
Function)
f(x) = kx
Di mana k adalah konstanta
proporsionalitas.
Contohnya: f(x) = 3x
13. Fungsi Inverse Square
f(x) = 1/x^2
14. Fungsi Reciprocal
f(x) = 1/x
15. Fungsi Step
f(x) = ⌊x⌋
Fungsi langkah yang membulatkan x
ke bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x.
Penutup
Dan demikianlah pembahasan mengenai
contoh relasi dan fungsi dalam matematika yang bisa Mamikos sampaikan untukmu.
Terlihat cukup memusingkan ya? Jika
masih ada contoh relasi dan fungsi dalam matematika yang belum kamu pahami,
jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau orang yang lebih ahli.
Semoga, artikel tentang contoh
relasi dan fungsi dalam matematika ini bisa membantumu ya!
Selamat belajar!
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: