Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Lengkap

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Lengkap — Deret bilangan selalu menjadi soal yang wajib muncul di tes-tes masuk perguruan tinggi maupun tes melamar pekerjaan.

Deret angka yang umumnya kita ketahui adalah deret aritmatika dan deret geometri.

Mamikos sudah pernah membahas deret aritmatika di kesempatan sebelumnya, sekarang Mamikos akan membahas contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya.

Deret Geometri

Sebelum Mamikos membahas contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya, kita pelajari dulu yuk pengertian deret terutama deret geometri tak terhingga.

Deret geometri adalah suatu deret matematika yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan sukunya yang sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r).

Jika suku pertama deret tersebut adalah a, maka suku kedua adalah ar, suku ketiga adalah ar², dan seterusnya.

Dengan demikian, bentuk umum dari deret geometri adalah:

a+ar+ar²+ar³+…

Deret ini dapat dijumlahkan, dan jumlah n suku pertama (Sn) dari deret geometri dapat ditemukan menggunakan rumus:

Di mana:

• a: suku pertama,
• r: rasio (r tidak boleh berupa bilangan 1)
• n: jumlah suku yang diinginkan.

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga merupakan suatu deret geometri yang mempunyai suku yang jumlahnya tidak terbatas.

Deret ini konvergen dan dapat dijumlahkan menjadi suatu nilai tertentu jika rasio absolutnya kurang dari 1 atau (1∣r∣<1).

Jika ini kondisinya, maka jumlah dari deret geometri tak hingga (S) dapat dihitung menggunakan rumus:

Di mana:

• a adalah suku pertama,
• r adalah rasio, dan harus memenuhi ∣r∣<1 untuk konvergensi.

Contoh deret geometri tak hingga adalah ½ + ¼ +1/8 + … dengan rasio r=1/2. Karena rasio ini kurang dari 1, deret tersebut konvergen dan jumlahnya dapat dihitung.

Dari contoh tadi dapat disimpulkan bahwa deret geometri tak hingga contoh tersebut seiring dengan bertambahnya jumlah suku, nilai suku berikutnya menjadi sangat kecil.

Sehingga sumbangan tambahan ke jumlah total menjadi tidak signifikan, memungkinkan total keseluruhan mendekati suatu nilai tetap.

Jenis Deret Geometri Tak Terhingga

Tidak lengkap rasanya jika kita melihat contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya tanpa sebelumnya tahu jenis-jenis deret geometri tak terhingga. Simak ya!

Deret geometri tak hingga dapat dikategorikan berdasarkan nilai rasionya (r) menjadi dua jenis:

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret ini konvergen dan memiliki jumlah yang hingga ketika nilai rasio ∣r∣<1.

Dalam kondisi ini, jumlah deret tidak akan tumbuh tanpa batas karena setiap suku berikutnya menjadi lebih kecil.

Rumus untuk menghitung jumlah deret geometri tak hingga konvergen adalah:

Di mana:

S: jumlah deret tak hingga

a: suku pertama

r: rasio (dengan syarat ∣r∣<1)

Contoh:
Deret ½ + ¼ + 1/8 +  …

a = ½

r = ½

Maka,

S = (½)/ 1- (½)= 1

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret ini divergen, yang berarti jumlahnya tidak konvergen ke suatu nilai tetap dan akan tumbuh tanpa batas jika ∣r∣≥1.

Dalam hal ini, tidak ada jumlah finit karena suku-suku deret terus bertambah secara signifikan tanpa mendekati nilai tertentu.

Untuk deret ini, kita tidak memiliki rumus jumlah yang berlaku seperti pada deret konvergen, karena deretnya tidak menyatu ke suatu nilai.

Contoh:

Deret 2+4+8+16+…2+4+8+16+…

a=2

r=2.

Deret ini divergen karena rasionya lebih besar dari 1.

Secara khusus, ketika r=1, deret menjadi a + a + a +… yang juga divergen karena jumlahnya terus bertambah dengan penambahan a setiap kali tanpa mendekati batas tertentu.

Oleh karena itu, kunci untuk memahami deret geometri tak hingga terletak pada nilai rasio r:

Jika ∣r∣<1, jenis deret itu adalah deret konvergen.dan jumlahnya finit.

Jika ∣r∣≥1 termasuk deret divergen dan tidak memiliki jumlah yang finit.

Berikut Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya

Tadi kita sudah membahas pengertian, jenis serta rumus deret tak terhingga. Nah, sekarang saatnya kita mengerjakan contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Bagian 1

Soal 1

Misalkan suku pertama dari sebuah deret geometri tak hingga adalah 5 dan rasionya adalah 1/3 . Hitunglah jumlah dari deret tersebut.

Pembahasan:

Diketahui suku pertama (a) adalah 5, dan rasio (r) adalah 1/3. Karena ∣r∣<1, deret ini konvergen, dan jumlahnya dapat dihitung menggunakan rumus deret geometri tak hingga:

Maka,

S = 5/(1-1/3)

S = 5/ (2/3)

S = 5 x 3/2

S = 7,5

Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 7.5.

Soal 2

Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah 20 dan rasio antar sukunya adalah 0.5. Tentukan nilai suku pertama deret tersebut.

Pembahasan:

Diketahui jumlah deret (S) adalah 20, dan rasio (r) adalah 0.5. Kita perlu menemukan suku pertama (a).

Menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga:

Kita dapat menyelesaikan untuk a:

20 = a/1-0,5

20 = a/0,5

a = 20 x 0,5

Jadi, nilai suku pertama dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 10.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Bagian 2

Soal 3

Hitunglah jumlah deret tak terhingga yang ada di bawah ini!

1+1/2+1/4+…

Pembahasan:

Dalam deret ini, suku pertama (a) adalah 1, dan rasio (r) adalah 1/2. Karena r∣<1, deret ini konvergen dan jumlahnya dapat dihitung menggunakan rumus deret geometri tak hingga:

S = 1/(1-(1/2))

S=1/(1/2)

S = 2

Jadi, jumlah deret tak terhingga tersebut adalah 2.

Soal 4

Jika sebuah deret geometri tak hingga memiliki suku pertama 3 dan rasio 0.25, berapakah jumlah dari deret tersebut?

Pembahasan

Diketahui a=3 dan =r=0.25. Karena ∣r∣<1, kita dapat menggunakan rumus deret geometri tak hingga untuk menemukan jumlahnya:

S = 3/ (1-0,25)

S = 3/0,75

S = 4

Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 4.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Bagian 3

Soal 5

Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga berikut!

10+5+2.5+…

Pembahasan

Deret ini memiliki suku pertama a= 10 dan rasio r= 5/10=0.5. Menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga:

S = 10/(1-0,5)

S = 10/0,5

S = 20

Jadi, jumlah deret geometri tak hingga ini adalah 20.

Soal 6

Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah yang sama antara semua suku ganjilnya dan semua suku genapnya yang masing-masing adalah 24. Jika suku pertama deret tersebut adalah 8, hitunglah rasionya.

Pembahasan:

Diketahui suku pertama deret geometri tak hingga adalah a=8, dan jumlah semua suku ganjil dan genapnya sama, yaitu 24.

Jumlah semua suku ganjil adalah jumlah total deret, sehingga:

24 = 8/(1-r)

Dapat kita selesaikan untuk r:

24(1−r) =8

1−r = 8/24

1−r = 1/3

r = 2/3

Jadi, rasio dari deret tersebut adalah 2/3

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Bagian 4

Soal 7

Diketahui sebuah deret geometri tak hingga dengan jumlah 16 dan suku kedua adalah 4. Tentukan nilai suku pertamanya!

Pembahasan:

Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 16, dan suku kedua adalah 4. Misalkan suku pertama adalah a dan rasio deret adalah r.

Karena suku kedua adalah ar = 4 dan jumlah deret adalah a/(1-r) =16, kita memiliki dua persamaan:

1. ar = 4
2. a/(1-r) =16

Dari persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan untuk a:

a=16(1−r)

Menggunakan persamaan pertama untuk menemukan r:

r = 4/a

Kemudian substitusi r ke dalam persamaan untuk a:

a=16(1−(4/a))

a=16−(64/a)

Kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk a dengan mengalikan kedua sisi dengan a dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan., maka suku pertama a didapatkan 8, karena 8×r = 4 dan r = 1/2.

Dengan demikian, nilai suku pertama adalah 8.

Soal 8

Jika suatu deret geometri tak hingga memiliki rasio 2/3 dan jumlahnya adalah 18, hitunglah suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

Diberikan rasio r = 2/3 dan jumlah S=18. Menggunakan rumus jumlah deret tak hingga:

18 = a/(1/ (2/3))

18 = a/ (1/3)

A = 18× (1/3)

a=6

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 6.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasannya Bagian 5

Soal 9

Hitunglah jumlah deret tak hingga dari deret geometri yang suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 3/4.

Pembahasan:

Diketahui:

a = 12 dan r = 3/4. Menggunakan rumus deret tak hingga:

S = 12/(1-(3/4))

S = 12/ (1/4)

S = 48

Jadi, jumlah deret tersebut adalah 48.

Soal 10

Sebuah deret geometri tak hingga memiliki suku pertama 9 dan jumlahnya tiga kali suku pertamanya. Tentukan rasionya!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 9 dan S = 3a = 27. Menggunakan rumus jumlah deret tak hingga:

27 = 9/(1−2r)

Nilai dapat kita tentukan dengan persamaan seperti di bawah ini:

27 (1−r) = 9

1−r = 9/27

1−r = 1/3

r = 2/3

Jadi, rasio dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 2/3.

Penutup

Demikian 10 artikel contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya yang bisa Mamikos hadirkan untukmu.

Jika kamu merasa kamu butuh informasi lebih terkait contoh soal deret geometri tak hingga dan pembahasannya ini, kamu bisa melihat FAQ berikut.

FAQ

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta