10 Contoh Soal Integral Tentu dan Tak Tentu beserta Jawabannya Lengkap
10 Contoh Soal Integral Tentu dan Tak Tentu beserta Jawabannya Lengkap – Integral merupakan suatu bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa disebut sebagai invers dari operasi turunan, serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.
Nah, untuk lebih memahami tentang integral, silakan simak contoh integral tak tentu dan tentu beserta jawabannya di sini.
Mengenal Apa Itu Integral Tentu dan Tak Tentu
Daftar Isi
Daftar Isi
Integral terbagi atas dua, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.
Integral tentu maupun tak tentu adalah operasi matematika yang dibuat oleh para ahli untuk menjawab problematik yang memiliki kebalikan dari problem turunan.
Konsep ini sudah dikembangkan sejak lama dan menjadi bagian penting di dalam perhitungan diferensial. Berikut ini pengertian dari integral tentu dan integral tak tentu.
1. Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Tentu beserta Jawabannya – Integral Tentu
Integral tentu atau definite integral merupakan sebuah kalimat yang terdiri dari kata integral dan tentu. Secara bahasa dan istilah, integral tentu adalah sebuah integral yang telah ditentukan atau tertentu.
Dapat dikatakan, integral tentu adalah jenis integral yang sudah ditentukan nilai akhir dan juga nilai awalnya. Jadi, integral tentu memiliki batasan nilai dari awal sampai akhir yang sudah ditentukan.
Batasannya dari a hingga b, berikut bentuk contoh integral tentu:
∫ f (x) dx
2. Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Tentu beserta Jawabannya – Integral Tak Tentu
Sedangkan, integral tak tentu merupakan sebuah integral yang nilainya tidak ditentukan dari awal dan akhir. Adapun contoh notasi dan lambang dari integral tak tentu, yaitu: ∫ fx dx.
Dengan demikian, perbedaan antara integral tentu dan tak tentu yaitu dari segi batasan nilai. Integral tentu mempunyai batasan nilai yang pasti atau sudah ditentukan, sedangkan integral tak tentu sebaliknya.
Rumus Integral
Sebelum mengetahui contoh integral tak tentu dan tentu beserta jawabannya, sebaiknya ketahui terlebih dahulu rumus integral. Berikut ini rumus integral tentu dan tak tentu:
1. Rumus Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang mempunyai batas. Apabila f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup (a,b), maka integral tentu f dari a sampai b dinyatakan oleh:
“a∫b f(x)dx = f (b) – f (a).
Keterangan:
f(x) = fungsi yang nantinya akan Anda integralkan.
F(a) = nilai integral pada batas bawah.
F(b) = nilai integral pada batas atas.
d(x) = variabel integral.
a = batas bawah pada variabel integral.
2. Rumus Integral Tak Tentu
Untuk integral tak tentu, secara umum dari f(x) didefinisikan sebagai berikut:
∫f(x)dx = F(x).
Keterangan:
ʃ = operasi anti turunan atau lambang integral
C = konstanta integrasi
f(x) = fungsi integral, yaitu fungsi yang akan dicari turunannya
F(x) = fungsi hasil integral
Contoh Integral Tak Tentu dan Tentu beserta Jawabannya
Daripada bingung bagaimana cara menyelesaikan persoalan integral, berikut ini contoh integral tak tentu dan tentu beserta jawabannya.
1. Soal Integral Tak Tentu
Di bawah ini beberapa soal integral tak tentu beserta pembahasannya:
- f ‘(x) = 8x — 5
f(2) = 9
maka f(x) =
Jawabannya:
f(x) = ∫ 8x-5 dx =4x²-5x+c
f(2) = 9
4.22 — 5.2 + c = 9
16 — 10 + c = 9
c = 3
Jadi,
f(x) = 4×2 — 5x + 3
- f(x) = x^n, maka turunannya menjadi,
f(x) = nx^n-1
Misalnya: turunan dari f(x) = 5x^3 adalah,
f(x) = 3 x 5^3-1
= 15^2
Sedangkan, notasi untuk integral adalah “∫…dx”
Sedangkan, bentuk umum dari integral tidak tentu yaitu,
∫f(x) dx = F(x) + C
dengan C suatu konstanta real, f(x) adalah turunan dari F(X) + C
- Coba tentukan secara tepat tentang ∫2 dx dan nilai dari ∫x dx.
Jawabannya:
Turunan dari 2x +C yaitu 2. Sehingga ∫2 dx=2x+C. Jadi, turunan ½ x2+C yaitu x. Sehingga, ∫x dx=1/2 x2+C.
- Tentukan integral berikut:
∫6x^2 dx
Jawabannya:
∫6x^2 dx
= 6 ∫x^2 dx
= 6 x x^3/3 + C
= 2x^3 + C
Jadi, integral dari 6x^2 dx adalah 2x^3 + C
- Turunan kedua dari fungsi y = f(x) yakni 6x – 16. Gradien garis singgung kurva pada titik P (2, 7) adalah 5. Maka f(x) adalah..
Jawabannya:
f'(x) = ∫ (6x-16) dx = 3x² -16x + k
karena f ‘(2) = 5 maka
3.22 – 16.2 + k = 5
12 – 32 + k = 5
k = 25
Maka f ‘(x) = 3×2 – 16x + 25
f(x) = ∫(3x²-16x+25)dx = x³-8x²+25x+c
karena f(2) = 7 maka
23 – 8.22 + 25.2 + c = 7
8 – 32 + 50 + c = 7
26 + c = 7
c = – 19
Jadi f(x) = x³-8x²+25x-19
- Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) pada setiap titik (x, y) yaitu 8x – 7. Apabila kurva melewati (2, 5) maka koordinat titik potong kurva dengan sumbu y adalah…
Jawaban:
f ‘(x) = 8x – 7
f(x) = ∫8x-7dx =4x²-7x+c
Karena melalui (2, 5) maka,
f(2) = 5
4.22 – 7.4 + c = 5
16 – 28 + c = 5
c = 17
maka,
f(x) = 4×2 – 7x + 17
Koordinat pada titik potong dengan sumbu y terjadi ketika x = 0
y = f(0) = 0 – 0 + 17 = 17
Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu (0, 17)
2. Soal Integral Tentu
Berikut di bawah ini adalah soal integral tentu beserta jawabannya:
- 1∫1 2x dx
Jawabannya:
1∫1 2x dx = 0
- 0∫2 (2x + 1) dx
Jawabannya:
0∫2 (2x + 1) dx = x2 + x]2 0
= (2 2 + 2)-(0 2 – 0)= 6
- 2∫0 (2x + 1) dx
Jawabannya:
2∫0 (2x + 1) dx = x2 + x]0 2
=(0) – (2 2 + 2)-6
- 1∫2 (2×2 – x – 1) dx
Jawabannya:
1∫2 (2×2 – x – 1) dx=2/3 x3 – x2 – x]2 1
=(2/3.23-22-2)-(2/3.1 3-1 2-1)
=-2/3 + 4/3=2/3
- 0∫2 3×2 dx
Jawabannya:
0∫2 3×2 dx =[ x3 ] 1 0 + [ x3 ] 0 1
= (2 3) – (0)=8
Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Tentu beserta Jawabannya – Penerapan dalam Kehidupan Sehari-Hari
Dalam pelajaran matematika, materi integral sering dianggap sebagai materi yang paling sulit untuk dipahami.
Selain karena banyaknya rumus-rumus yang harus dihafal, materi integral juga memerlukan pemahaman tersendiri.
Selain itu, sering pula muncul pertanyaan, apa sih sebenarnya manfaat mempelajari integral? Apakah integral dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari?
Mempelajari integral tentu bukanlah hal yang sia-sia, sebab integral memberikan manfaat yang besar dalam kehidupan sehari-hari.
Bahkan, ilmu integral pada umumnya dimanfaatkan dalam berbagai bidang ilmu, seperti teknologi, ekonomi, fisika, kedokteran dan matematika (keteknikan).
1. Dalam Bidang Ilmu Ekonomi
Integral sangat berperan penting dalam bidang ilmu ekonomi, berikut beberapa peran integral dalam ilmu ekonomi:
- Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya)
- Mencari fungsi biaya total
- Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal
- Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal
- Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal
- Fungsi kapital dari fungsi investasi.
- Fungsi produksi.
- Konsep elastisitas.
- Angka Penggandaan.
2. Dalam Bidang Ilmu Teknologi
Selain dalam bidang ilmu ekonomi, integral juga memiliki peran penting dalam bidang ilmu teknologi. Berikut ini peran atau manfaat integral dalam ilmu teknologi:
- Untuk penggunaan kecepatan pada pesawat ulang alik Endeavour dalam menentukan ketinggian maksimum yang dicapai dalam waktu tertentu.
- Untuk menentukan jumlah kebocoran pada laju tetesan minyak dari tangki selama dalam beberapa waktu tertentu.
- Memecahkan masalah yang berkaitan dengan volume, panjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha.
- Membuat desain mesin pesawat terbang.
3. Dalam Bidang Ilmu Matematika (Teknik)
Sudah pasti ilmu integral mempunyai peran yang sangat penting dalam bidang ilmu matematika (teknik), di antara perannya sebagai berikut:
- Menentukan panjang busur.
- Menentukan luas suatu bidang.
- Menentukan volume benda putar.
4. Dalam Bidang Ilmu Fisika
Di dalam bidang ilmu fisika, integral juga kerap digunakan. Ini beberapa peran ilmu integral dalam bidang fisika:
- Analisis medan magnet pada kumparan.
- Analisis rangkaian listrik arus AC.
- Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.
5. Dalam Bidang Ilmu Teknik
Dalam bidang teknik, integral juga dipergunakan, di antaranya:
- Membantu programmer dalam pembuatan aplikasi dari mesin-mesin yang handal.
- Membantu para engineer dalam membuat desain mesin pesawat terbang.
6. Dalam Bidang Ilmu Kedokteran
Integral ternyata juga memiliki peran yang sangat penting di dalam bidang ilmu kedokteran. Di antara beberapa perannya dalam kedokteran, yaitu:
- Proses pembuatan sinar-X dengan menggunakan dosimetri yang mengandalkan high energy inonizing radiation. Ilmu integral berpengaruh dalam proses pengerjaannya, dimana penembakan laser nantinya memerlukan koordinat yang tepat.
- Mengukur volume tumor, apabila pasca penembakan laser volume menurun, maka operasi berhasil.
- Menentukan keakuratan radioterapi
Penutup
Nah, itulah beberapa peran penting ilmu integral di dalam berbagai bidang ilmu lainnya.
Integral juga kerap digunakan dalam pembangunan gedung pencakar langit, agar bagian atas gedung tidak roboh diterpa angin kencang.
Dalam memecahkan soal-soal materi integral, sering kali Anda dituntut harus memahami materi lain sebelumnya.
Sebagai dasar untuk mengerti mengenai integral, Anda terlebih dahulu harus menguasai konsep diferensial atau turunan fungsi.
Meskipun terlihat sulit, namun apabila Anda sudah memahami konsep tersebut, maka memecahkan soal-soal integral tidak akan terasa sulit.
Apalagi jika Anda sudah memahami contoh soal integral tak dan tentu beserta jawabannya yang sudah dipaparkan di atas.
Demikian pemaparan mengenai integral, contoh soal integral tak tentu dan tentu beserta jawabannya lengkap.
Dengan mempelajari ilmu integral secara sungguh-sungguh, maka Anda akan dapat memahami serta menerapkan fungsinya di dalam kehidupan sehari-hari.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: