7 Contoh Soal Integral Trigonometri beserta Pembahasannya Lengkap dalam Matematika
7 Contoh Soal Integral Trigonometri beserta Pembahasannya Lengkap dalam Matematika — Integral trigonometri merupakan salah satu materi matematika yang dianggap cukup rumit.
Namun, kerumitan itu mungkin bisa diatasi dengan banyak berlatih mengerjakan soal-soal latihan.
Kali ini Mamikos akan memberikan contoh soal integral trigonometri agar kamu bisa mengaplikasikannya saat belajar, simak ya!
Sekilas tentang Integral Trigonometri
Daftar Isi
Daftar Isi
Sebelum kita membahas mengenai contoh soal integral trigonometri maka ada baiknya kita bahas sekilas mengenai integral trigonometri dan rumus yang umum digunakan.
Hal ini Mamikos jabarkan agar kamu bisa mengingat kembali materi ini dan kamu bisa kembali ke bagian ini kalau bingung saat mengerjakan soal.
Jadi, integral trigonometri itu apa sih?
Integral trigonometri adalah jenis integral yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec, dan csc.
Rumus-rumus Integral Trigonometri
Rumus-rumus penting terkait konsep integral trigonometri yang harus kamu ketahui di antaranya yaitu:
∫sin(x)dx = −cos(x)+ C
∫cos(x)dx = sin(x)+C
∫tan(x)dx = −ln∣cos(x)∣+C
∫cot(x)dx = ln∣sin(x)∣+C
∫sec(x)dx = ln∣sec(x)+tan(x)∣+C
∫csc(x)dx = −ln∣csc(x)+cot(x)∣+C
Kumpulan Contoh Soal Integral Trigonometri
Untuk membantu proses belajar kamu di rumah, di bawah ini Mamikos menyediakan contoh soal integral trigonometri beserta pembahasannya.
Latihan soal ini dilengkapi dengan pembahasan hingga bisa kamu gunakan untuk berlatih menghitung. Simak ya!
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 1
Nilai dari adalah…
Pembahasan:
Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri untuk sin2(x) seperti ini:
Langkah 2: Substitusi ke dalam integral yang diketahui dalam soal:
Langkah 3: Pecah-pecah integral tadi menjadi dua bagian seperti ini:
Langkah 4: Integralkan masing-masing bagian seperti di bawah ini:
Langkah 5: Gunakan substitusi u = 2x, maka du = 2dx atau dx= du/2
Langkah 6: Evaluasi batas-batas integral dengan cara seperti di bawah ini:
Langkah 7: Hitung lah nilai dari sin dengan cara berikut:
Langkah 8: Selesaikan integral dengan cara di bawah ini:
Langkah 9: Gabungkan hasil kedua integral seperti cara di bawah ini:
Nilai dari
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 2
Nilai ∫ sin6 (x) cos (x)dx adalah…
Pembahasan:
Pertama, pakai metode substitusi untuk mempermudah operasi integral. Misalkan 𝑢= sin (𝑥) Maka, turunan 𝑢 terhadap 𝑥 adalah
d𝑢 =cos(𝑥)d𝑥 atau d𝑥
Kedua, substitusi 𝑢= sin (𝑥) dan d𝑥 seperti di bawah ini ya!
∫ sin6 (x) cos(x)dx = ∫ u6 du
Ketiga, integralkan 𝑢6:
∫ u6 du =u7/7 + C
Keempat kembalikan substitusi 𝑢= sin (𝑥) sehingga menjadi:
u7 + c = sin7 (x)/7 + c
Jadi nilai dari ∫ sin6 (x) cos (x)dx adalah sin7 (x)/7 + c
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 3
Berapakah hasil akhir dari ∫ cos (x) cos (8x) dx?
Pembahasan:
Pakailah identitas trigonometri dalam mengerjakan soal ini. Identitas yang digunakan yaitu:
cos (𝐴) cos(𝐵)= ½ cos(𝐴+𝐵) + ½ cos(𝐴−𝐵)
Dengan 𝐴 = 𝑥 dan 𝐵 = 8𝑥, kita substitusi ke dalam identitas tersebut seperti di bawah ini:
∫ cos (x) cos (8x) = ½ [cos (x + 8x) + cos (x – 8x)]
= ½ [ cos (9x) + cos (-7x)]
Karena cos (-7x) = cos (7x) maka kita dapatkan persamaan: cos (x) cos (8x) = ½ [cos (9x) + cos (7x)]
Substitusi hasil identitas trigonometri tadi ke dalam integral:
∫ cos (x) cos (8x) = ∫ ½ [cos (9x) + cos (7x)] dx
Sama seperti soal sebelumnya, kita pecah integral jadi dua lalu keluarkan konstanta ½ dari persamaan:
∫ ½ [cos (9x) + cos (7x)]dx = ½ (∫ cos (9x)dx + ∫ cos (7x)dx)
Integralkan masing-masing bagian seperti ini:
∫ cos(9x)dx = 1/9 (sin 9x) + c
∫ cos(7x)dx = 1/7 (sin 7x) + c
Gabungkan hasil integral-integral yang sebelumnya dipecah menjadi:
½ (1/9 (sin 9x) + c) + 1/7 (sin 7x) + c))
Sederhanakanlah persamaan yang diperoleh hingga menjadi bentuk tersederhana: 1/18 (sin 9x) + 1/14 (sin 7x) + c
Jadi, hasil dari ∫ cos (x) cos (8x) dx yaitu ∫ cos (x) cos (8x)dx yaitu 1/18 (sin 9x) + 1/14 (sin 7x) + c
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 4
Hasil dari integral trigonometri ∫ x sin (x2 + 4) dx yaitu…
Pembahasan:
Kamu harus memisalkan dulu 𝑢 = 𝑥2 + 4. Misalnya pada konteks soal ini Mamikos memilih: d𝑢 = 2𝑥 d𝑥 atau 𝑥 d𝑥 = ½ d𝑢
Masukkan nilai 𝑢 = 𝑥2 + 4 dan 𝑥 d𝑥 = ½ d𝑢 ke dalam persamaan integral seperti berikut:
∫ x sin (x2 + 4) dx = ∫ sin (u). ½ du
Sederhanakan bentuk integralnya menjadi seperti ini:
∫ sin (u) ½ du = ½ ∫ sin (u) du
Integralkanlah sin (𝑢):
∫ sin (u). du =cos(u) + c
Selanjutnya, kalikan hasil integral dengan ½ seperti ini:
½ ∫ sin (u). du = ½ (-cos(u) + c) = – ½ cos (u) + c/2
Kembalikan nilai substitusi 𝑢 = 𝑥2 + 4 hingga persamaan menjadi:
– ½ cos (x2 + 4) + c/2
Jadi hasil dari ∫ x sin (x2 + 4) dx adalah – ½ cos (x2 + 4) + c/2
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 5
Jika diketahui integral trigonometri ∫ 5x cos(6x) dx, maka hasilnya yaitu…
Pembahasan:
Step 1: Manfaatkan metode integrasi parsial yang rumusnya rumus: ∫ u dv = uv – ∫ u du.
Step 2: Pilih u dan dv yang paling sesuai. Misalkan pada soal ini kita ambil:
u = 5x dan dv = cos(6x) dx
Step 3: Hitunglah turunan dari u dan integral dv!
u = 5x dan dv = cos(6x) dx = 1/6 sin (6x)
Step 4: Terapkan rumus integrasi parsial seperti ini:
Step 5: Integralkan sin (6x) dengan cara seperti di bawah ini:
Step 6: Masukkan hasil integral sin (6x) tadi, maka:
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 6
Berapakah hasil ∫ (4x + 1)cos (2x) dx?
Pembahasan:
Terapkan rumus integral parsial sebagai langkah awal, ya!
∫ u dv = uv – ∫ u du
Sebagaimana penerapan metode integral parsial, maka sekarang kamu harus membagi persamaan menjadi dua:
∫ (4x + 1)cos (2x) dx = ∫ 4x cos (2x) dx + ∫ cos (2x) dx
Operasikan integrasi parsial pada bagian pertama ∫ 4x cos (2x) dx
Terapkan pemisalan seperti contoh di bawah agar mempermudah proses perhitungan:
U = 4x dan dv = cos(2x) dx
Selanjutnya, hitung turunan dan integral dengan cara berikut:
du =4dx dan v = cos(2x) dx = ½ sin(2x)
Gunakan rumus integrasi parsial:
Lalu, kamu integralkan sin (2x) dengan cara seperti berikut:
∫ sin(2x) dx = -½ cos(2x)
Masukkan hasil integral sin (2x) ke dalam persamaan:
=2xsin(2x) – 2( -½ cos(2x))
=2xsin(2x) + cos(2x)
Integralkan persamaan bagian kedua sehingga didapat:
Satukan lagi hasil integral ke dalam persamaan:
Sebagai langkah akhir, kamu sederhanakan hasil yang tadi diperoleh:
Contoh Soal Integral Trigonometri Nomor 7
Hitung hasil akhir !
Pembahasan:
Pertama-tama pisahkan konstanta 14 dari integral:
Pecah integral yang diketahui dari soal menjadi dua:
Didapat persamaan integrasi parsial pertama:
Pakai variabel untuk pemisalan agar mudahmenyelesaikan persamaan integral:
u = d dan
Karena persamaan sudah lebih ringkas, sekarang hitung turunan u dan integral dv!
du = dx dan
Sekarang saatnya kamu terapkan rumus integrasi parsial:
Integralkan sin (2x – π) seperti di bawah ini:
Substitusikan hasil integral sin (2x – π) yang sudah kamu peroleh tadi:
=
=
Integralkan bagian kedua yaitu :
Satukan lagi hasil integral parsial bagian satu dan dua tadi:
Kamu wajib menyederhanakan persamaan yang didapat sehingga:
=
=
Terakhir, jangan lupa kalikan dengan konstanta 14:
=
= 7 (
Jadi kita peroleh hasil ialah
Penutup
Demikian beberapa contoh soal integral trigonometri yang Mamikos sajikan, semoga latihan soa dan pembahasan yang Mamikos berikan bisa membantu proses belajar kamu.
Jangan lupa untuk terus berlatih menyelesaikan soal dan semoga kamu mendapatkan nilai yang kamu harapkan. Terus semangat ya!
FAQ
Dalam menyelesaikan masalah terkait integral, kamu bisa mencoba menyelesaikannya dengan teknik parsial maupun teknik substitusi.
Teknik substitusi berarti nantinya kamu akan mengganti variabel tertentu untuk menyederhanakan suatu fungsi integral.
Sedangkan, teknik parsial berarti kamu akan memecah integral menjadi bagian yang lebih sederhana.
Integral fungsi trigonometri merupakan suatu proses mencari antiturunan atau fungsi asal dari fungsi-fungsi trigonometri seperti sin(x), cos(x), tan(x), dll.
Rumus trigonometri ternyata banyak dimanfaatkan di berbagai bidang untuk menghitung panjang sisi suatu segitiga, menganalisis gelombang, getaran, gerak harmonis sederhana, menghitung jarak planet serta bintang dan masih banyak kegunaan lainnya.
Simbol integral yaitu ∫ dan sering digunakan untuk memperlihatkan proses pengintegralan suatu fungsi.
Konsep turunan fungsi termasuk di dalamnya adalah turunan fungsi trigonometri dikembangkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: