Contoh Soal Matriks Diagonal beserta Pembahasannya dalam Matematika Kelas 11 SMA
Contoh Soal Matriks Diagonal beserta Pembahasannya dalam Matematika Kelas 11 SMA — Matriks merupakan salah satu materi matematika yang biasa ditemukan di jenjang SMA khususnya kelas 11.
Terdapat berbagai jenis matriks jika dilihat dari ordo serta elemen penyusunnya. Salah satu jenis matriks berdasarkan elemen penyusunnya yang paling sering ditemui adalah matriks diagonal.
Agar siswa kelas 11 lebih paham mengenai pengertian matriks diagonal serta operasi matriks apa saja yang melibatkan matriks jenis ini, kamu bisa menyimak contoh soal berikut, ya!
Matriks Diagonal
Daftar Isi
Daftar Isi
Sebelum membahas contoh soal matriks diagonal lebih jauh, kita bahas dulu pengertian matriks, ya.
Menurut Materi Ajar Matematika Matriks karya Riska Restiana dkk (2023) matriks merupakan susunan dari kumpulan bilangan atau fingsi yang diatur dalam baris atau kolom yang biasanya berbentuk persegi panjang.
Matriks dicirikan dengan elemen-elemen penyusunnya yang dibatasi oleh tanda kurung siku [ ] atau bisa juga berupa tanda kurung biasa ( ).
Lalu, pertanyaanmu selanjutnya pasti mengenai apa yang dimaksud dengan matriks diagonal, kan?
Matriks diagonal merupakan matriks persegi dengan elemen pada diagonal utama sekurang-kurangnya satu bilangan bukan nol sedangkan elemen lain selain pada diagonal utama tadi bernilai 0.
Kumpulan Contoh Soal Matriks Diagonal
Untuk lebih memberikanmu gambaran bagaimana penerapan matriks diagonal pada soal, kamu simak saja contoh soal berikut ini, ya!
Contoh Soal Matriks Diagonal Bagian 1
Berikut contoh soal matriks diagonal bagian pertama yang berupa pilihan ganda beserta pembahasannya lengkap. Coba kerjakan, yuk!
Contoh Soal 1
Diketahui matriks E =
Apabila E termasuk matriks diagonal, maka nilai a, b dan c secara berurutan adalah…
A. 1, -1 serta 2
B. 1, 2 serta -1
C. 2, -1 serta 1
D. 2, 1 serta -1
E. -1, 2 serta 1
Jawaban: E. -1, 2 serta 1
Pembahasan
Diketahui bahwa E merupakan matriks diagonal, berarti elemen yang tidak termasuk di dalam diagonal utama bernilai nol sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut:
2c – b = 0
a + 1 = 0
c + a = 0
Selanjutnya, langka pertama adalah pilih persamaan yang tidak memiliki banyak variabel sehingga akan kita dapatkan nilai satu variabel terlebih dahulu, dalam konteks ini adalah persamaan:
a + 1 = 0
a = -1 (cukup kita pindah ruaskan saja)
Lalu, lanjut mencari persamaan yang mengandung unsur a karena tadi nilai a sudah kita ketahui hasilnya.
c – a = 0 (substitusikan nilai a = -1)
c + (-1) = 0
c – 1 = 0 (pindah ruas kanan bilangan di ruas kiri agar tersisa variabel c saja)
c = 1
Nah, pada tahap akhir kita hanya tinggal mencari nilai b dengan menggunakan persamaan:
2c – b = 0 (kita substitusikan nilai c yang tadi sudah kita hitung)
2 (1) – b = 0
2 – b = 0
-b = -2
b = 2
Jadi, nilai a, b, c secara berurutan yaitu -1, 2 serta 1.
Contoh Soal Matriks Diagonal Bagian 2
Di bawah ini bagian kedua dari contoh soal matriks diagonal yang Mamikos susun untuk pelajar yang sedang mempelajari materi matriks. Kerjakan dulu sebelum melihat jawabannya, ya!
Contoh Soal 2
Diketahui matriks diagonal G =
Apabila determinan dari matriks G merupakan 90, maka nilai dari variabel z yaitu…
A. 1
B. 3
C. -3
D. 6
E. -6
Jawaban: C. -3
Pembahasan
Pada matriks diagonal, determinan merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang berada di diagonal utamanya sehingga:
Det (G) = 5 × (-6) × z = 90
-30z = 90
z = 90/-30
z = -3
Jadi, nilai z yang merupakan elemen dari matriks diagonal G bernilai -3.
Contoh Soal 3
Sebuah matriks diagonal diketahui sebagai berikut P =
Apabila trace dari matriks P diketahui bernilai 4, maka nilai dari p adalah…
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
E. -7
Jawaban: A. 1
Pembahasan
Trace dari matriks diagonal merupakan penjumlahan dari elemen-elemen di diagonal utamanya sehingga:
Tr(P) = p + (-4) + 7 = 4
p + 3 – 4
p = 4 – 3
p = 1
Jadi, nilai p dapat kita temukan yaitu 1.
Contoh Soal Matriks Diagonal Bagian 3
Kalau contoh soal matriks diagonal di bagian sebelumnya kamu rasa masih kurang, coba kerjakan soal tambahan berikut ini, ya!
Contoh Soal 4
Diketahui matriks Z =
Matriks Z di atas tergolong ke dalam matriks diagonal. Berapakah nilai 2a + b – c?
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
E. 4
Jawaban: C. 2
Pembahasan
Matriks Z adalah matriks diagonal, berarti tiap elemen yang terletak tidak pada diagonal utama bernilai nol sehingga kita dapatkan persamaan:
c + 1 = 0
2c + a = 0
3a + 2b = 0
Kemudian, untuk mencari nilai a, b serta c kita pilih persamaan yang tidak mempunyai banyak variabel sehingga bisa didapatkan nilai suatu variabel terlebih dahulu.
Dari unsur yang sudah diketahui di atas maka Mamikos pilih lebih dahulu persamaan:
c + 1 = 0
Untuk mengetahui nilai c, maka +1 kita pindah ruas menjadi:
c = -1
Kita lanjutkan mencari persamaan yang mengandung unsur c sebab nilai c barusan kita ketahui nilainya.
2c + a = 0
2(-1) + a = 0
-2 + a = 0
a = 2
Selanjutnya tersisa untuk mencari nilai b dengan menggunakan persamaan terakhir:
3a + 2b = 0
3 (2) + 2b = 0
6 + 2b = 0
2b = -6
b = -3
Terakhir, soal menginginkan kita untuk mencari nilai 2a + b – c, maka kita subsitusikan nilai a = 2, b = -3 dan c = -1 ke dalam pertanyaan, menjadi:
2a + b – c = 2(2) + (-3) – (-1) = 4 – 3 + 1 = 5 – 3 = 2
Jadi, nilai 2a + b – c dari elemen matriks Z yaitu 2.
Contoh Soal Matriks Diagonal Bagian 4
Mamikos tambahkan lagi contoh soal matriks diagonal di bagian keempat supaya pemahaman konsepmu mengenai matriks jenis diagonal ini semakin mantap. Yuk, kerjakan!
Contoh Soal 5
Diketahui suatu matriks diagonal J =
Jika determinan matriks J sudah diketahui hasilnya yaitu 126, berapakah nilai j?
A. 4
B. 6
C. -6
D. 7
E. -7
Jawaban: E. -7
Pembahasan
Rumus dari determinan pada matriks diagonal adalah perkalian dari elemen-elemen yang terletak di diagonal utama, sehingga:
Det (J) = 6 × (-3) × j = 90
-18j = 126
j = -126/18
j = -7
Jadi, nilai dari j yaitu -7.
Contoh Soal 6
Diketahui matriks diagonal seperti berikut ini Q =
Jika trace matriks Q sudah diketahui yaitu 15, maka nilai dari q yang tepat yaitu…
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
E. 3
Jawaban: D. -2
Pembahasan
Trace sebuah matriks diagonal dihitung dari jumlah elemen-elemen yang terletak di diagonal utamanya, maka:
Tr(Q) = 8 + q + 9 = 15
17 + q = 15
q = 15 – 17
q = -2
Jadi, telah kita peroleh nilai q dari matriks diagonal tadi yaitu -2.
Contoh Soal 7
Berapakah hasil perkalian (D3) dari 2 buah matriks diagonal berikut?
D1 =
D2 =
Jawaban:
A.
B.
C.
D.
E.
Jawaban: A.
Pembahasan
Untuk perkalian matriks diagonal, maka akan dihasilkan matriks diagonal pula.
Elemen pertama di diagonal utama:
= 2 × 1 = 2
Elemen kedua pada diagonal utama:
= 3 × -3 = -9
Elemen yang ketiga dari diagonal utama menjadi:
= 4 × -5 = -20
Jadi, kita dapatkan hasil perkalian D1 × D2 merupakan matriks diagonal baru D3 yaitu:
D3 = D1 × D2 = D1 =
Penutup
Nah, itu dia contoh soal matriks diagonal yang bisa Mamikos hadirkan untukmu yang yang sedang berusaha memahami materi matriks pada pelajaran matematika.
Semoga contoh soal matriks diagonal di atas sudah cukup membantumu dalam memahami materi matriks, ya.
Kalau kamu merasa ada penjelasan mengenai matriks yang belum kamu pahami, maka kamu bisa menyimak FAQ di bawah ini!
FAQ
Matriks diagonal merupakan matriks persegi di mana elemen-elemen yang terdapat di luar diagonal utama bernilai sama dengan nol.
Ya, matriks diagonal termasuk ke dalam matriks segitiga karena elemen matriks diagonal selain di diagonal utamanya memiliki nilai sama dengan no. Oleh sebab inilah matriks diagonal memenuhi kriteria matriks segitiga. Baik segitiga atas maupun segitiga bawah.
Ya, matriks identitas tergolong sebagai matriks diagonal. Sebab, matriks identitas merupakan matriks diagonal khusus di mana semua elemen pada diagonal utamanya memiliki nilai q, sedangkan di luar diagonal elemennya bernilai sama dengan nol.
Matriks memiliki banyak bentuk, di antaranya matriks nol, matriks identitas, matriks diagonal, matriks segitiga bawah, matriks segitiga atas, matriks persegi, matriks kolom, matriks baris, matriks transpos, serta matriks simetri.
Matriks persegi memiliki ordo n x n. Di mana n merupakan bilangan bulat yang bernilai positif. Contohnya matriks yang berordo 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 dan seterusnya.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: