14 Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan Vektor beserta Pembahasannya

Uji pemahamanmu tentang penjumlahan dan pengurangan vektor dengan mengerjakan soal di bawah ini.

24 Juli 2024 Lintang Filia

Soal 8

Apabila terdapat vektor $\mathbf{A} = 8\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ dan $\mathbf{B} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 6\hat{k}$ , berapakah hasil hitung komponen z dari $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ ?

a. -4

b. -6

c. -8

d. 4

Pembahasan:

Komponen z dari $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ adalah pengurangan komponen z dari kedua vektor:

$\mathbf{A} - \mathbf{B} = (8\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) - (2\hat{i} + 1\hat{j} + 6\hat{k})$

$= (8 - 2)\hat{i} + (5 - 1)\hat{j} + (2 - 6)\hat{k}$

$= 6\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$

Komponen z adalah -4.

Soal 9

Diberikan vektor $\mathbf{A}$ dengan besar 6 unit dan membentuk sudut 30 derajat terhadap sumbu x positif, serta vektor $\mathbf{B}$ dengan besar 8 unit dan membentuk sudut 45 derajat terhadap sumbu x positif.

Hitunglah besar resultan $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ !

a. 10.5 unit

b. 12.3 unit

c. 13.4 unit

d. 15.6 unit

Pembahasan:

Pertama, ubah vektor ke dalam komponen x dan y:

$\mathbf{A} = 6 \cos(30^\circ)\hat{i} + 6 \sin(30^\circ)\hat{j}$

$= 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + 6 \cdot 0.5 \hat{j}$

$= 3\sqrt{3} \hat{i} + 3 \hat{j}$

$\mathbf{B} = 8 \cos(45^\circ)\hat{i} + 8 \sin(45^\circ)\hat{j}$

$= 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j}$

$= 4\sqrt{2} \hat{i} + 4\sqrt{2} \hat{j}$

Lalu jumlahkan komponen-komponen:

$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\sqrt{3} + 4\sqrt{2})\hat{i} + (3 + 4\sqrt{2})\hat{j}$

Maka besar vektor resultan:

$|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = \sqrt{(3\sqrt{3} + 4\sqrt{2})^2 + (3 + 4\sqrt{2})^2}$

$\approx 13.4$

Soal 10

Hitunglah $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ dan tentukan komponen y-nya, dengan vektor $\mathbf{A} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ dan $\mathbf{B} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ .

a. 2

b. 3

c. -5

d. -7

Pembahasan:

$\mathbf{A} - \mathbf{B} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k})$

$= (4 - 3)\hat{i} + (-2 - 5)\hat{j} + (1 + 2)\hat{k}$

$= 1\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$

Jadi, jawaban yang benar adalah -7.

Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan Vektor No. 11 – 15

Soal 11

Vektor $\mathbf{A} = 2a\hat{i} + 3b\hat{j}$ dan $\mathbf{B} = 4a\hat{i} - b\hat{j}$ . Jika a = 1 dan b = 2, hitunglah $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ .

a. $6\hat{i} + 5\hat{j}$

b. $5\hat{i} + 4\hat{j}$

c. $6\hat{i} + 3\hat{j}$

d. $8\hat{i} + 2\hat{j}$

Pembahasan:

Substitusikan nilai a dan b:

$\mathbf{A} = 2 \cdot 1 \hat{i} + 3 \cdot 2 \hat{j}$

$= 2\hat{i} + 6\hat{j}$

$\mathbf{B} = 4 \cdot 1 \hat{i} - 2 \hat{j}$

$= 4\hat{i} - 2\hat{j}$

Jumlahkan komponen-komponen:

$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (2 + 4)\hat{i} + (6 - 2)\hat{j}$

$= 6\hat{i} + 4\hat{j}$

Soal 12

Vektor $\mathbf{A} = 5\hat{i} + 7\hat{j}$ dan vektor $\mathbf{B}$ dengan besar 10 unit yang searah dengan $\mathbf{A}$ , berapakah $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ ?

a. $-5\hat{i} - 7\hat{j}$

b. $0\hat{i} + 0\hat{j}$

c. $10\hat{i} + 14\hat{j}$

d. $-2\hat{i} + 2\hat{j}$

Pembahasan:

Jika $\mathbf{B}$ searah dengan $\mathbf{A}$ , maka:

$\mathbf{B} = k\mathbf{A}$

Dengan besar $\mathbf{B} = 10$ , maka:

$10 = k\sqrt{(5)^2 + (7)^2}$

$10 = k\sqrt{25 + 49}$

$10 = k\sqrt{74}$

$k = \frac{10}{\sqrt{74}}$

Substitusi k ke dalam $\mathbf{B}$ :

$\mathbf{B} = \frac{10}{\sqrt{74}}(5\hat{i} + 7\hat{j})$

$= \frac{50}{\sqrt{74}}\hat{i} + \frac{70}{\sqrt{74}}\hat{j}$

$= \frac{50}{8.6}\hat{i} + \frac{70}{8.6}\hat{j}$

$= 5.81\hat{i} + 8.14\hat{j}$

Pengurangan vektor:

$\mathbf{A} - \mathbf{B} = (5 - 5.81)\hat{i} + (7 - 8.14)\hat{j}$

$= -0.81\hat{i} - 1.14\hat{j}$

Jawabannya adalah $-5\hat{i} - 7\hat{j}$ .

Soal 13

Terdapat vektor $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ diberikan dengan $\mathbf{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ dan $\mathbf{B}$ berasal dari titik $(1, 2)$ ke titik $(4, 6)$ . Hitunglah $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ !

a. $5\hat{i} + 7\hat{j}$

b. $= 6\hat{i} + 8\hat{j}$

c. $6\hat{i} + 9\hat{j}$

d. $4\hat{i} + 5\hat{j}$

Pembahasan:

Pertama, cari vektor $\mathbf{B}$ :

$\mathbf{B} = (4 - 1)\hat{i} + (6 - 2)\hat{j}$

$= 3\hat{i} + 4\hat{j}$

Kemudian mari jumlahkan komponen-komponen $\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}$ :

$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (3\hat{i} + 4\hat{j})$

$= (3 + 3)\hat{i} + (4 + 4)\hat{j}$

$= 6\hat{i} + 8\hat{j}$

Soal 14

Seorang anak berjalan dari titik A (2, 3) ke titik B (5, 7), kemudian dari titik B ke titik C (1, 4). Hitunglah vektor perpindahan dari titik A ke titik C.

a. $3\hat{i} + 1\hat{j}$

b. $1\hat{i} - 1\hat{j}$

c. $-1\hat{i} + 3\hat{j}$

d. $= -1\hat{i} + 1\hat{j}$

Pembahasan:

Pertama, cari vektor dari A ke B:

$\mathbf{AB} = (5 - 2)\hat{i} + (7 - 3)\hat{j}$

$= 3\hat{i} + 4\hat{j}$

Kemudian cari vektor dari B ke C:

$\mathbf{BC} = (1 - 5)\hat{i} + (4 - 7)\hat{j}$

$= -4\hat{i} - 3\hat{j}$

Untuk menemukan vektor perpindahan dari A ke C, jumlahkan vektor AB dan BC:

$\mathbf{AC} = \mathbf{AB} + \mathbf{BC} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (-4\hat{i} - 3\hat{j})$

$= (3 - 4)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j}$

$= -1\hat{i} + 1\hat{j}$

Penutup

Setelah mempelajari pembahasan contoh soal penjumlahan dan pengurangan vektor di atas, Mamikos harap nantinya kamu bisa mengerjakan soal-soal Fisika lainnya secara mandiri, ya.

Oh, ya, apabila kamu ingin belajar lebih dalam tentang materi vektor lainnya, pastikan untuk berkunjung ke blog Mamikos!

Halaman: