Mengenal Rumus Dilatasi pada Matematika beserta Contoh Soal dan Jawabannya — Kalau sebelumnya kita sudah membahas mengenai transformasi geometri dan jenis transformasinya, kali ini tentang dilatasi.

Dilatasi dalam konteks matematika, khususnya geometri, merujuk pada transformasi yang membesar atau memperkecil suatu bentuk tanpa mengubah bentuk aslinya.

Sebelum kita mulai mengenal rumus dilatasi pada matematika, apa sih rumus dilatasi itu?

Definisi dan Analogi Sederhana

Dilatasi dalam konteks matematika biasanya merujuk pada transformasi geometri yang melibatkan perubahan ukuran objek tanpa mengubah bentuk dasarnya.

Transformasi ini mempengaruhi semua dimensi objek: panjang, lebar, dan kadang-kadang tinggi, tergantung pada konteks dimensi ruang yang digunakan.

Analogi sederhana dilatasi dalam matematika sebenarnya seperti memperbesar atau memperkecil gambar dengan pengaturan zoom di kamera atau ponsel.

Jika kamu membayangkan sebuah gambar, lalu kamu “zoom in” (memperbesar), itu mirip dengan dilatasi dengan skala lebih dari 1.

Sebaliknya, jika kamu”zoom out” (memperkecil), itu mirip dengan dilatasi dengan skala kurang dari 1. Selama proses ini, bentuk gambar tetap sama, hanya ukurannya saja yang berubah.

Sebagai contoh, jika kamu memperbesar atau memperkecil gambar dengan aplikasi pengolah gambar di komputer, kamu sebenarnya sedang melakukan dilatasi terhadap gambar tersebut.

Rumus Dasar Dilatasi Matematika

Untuk mengenal rumus dilatasi pada matematika maka kita akan belajar rumus dasar yang digunakan untuk perhitungan dilatasi baik di bidang dua dimensi atau tiga dimensi.

Dilatasi Pada Bidang Dua Dimensi

Pada bidang dua dimensi, dilatasi dari sebuah titik (x,y) dengan faktor dilatasi k dan pusat dilatasi di titik asal (0,0)(0,0) dinyatakan sebagai:

(x′,y′)=(k×x,k×y)

Di sini, (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi.

Arti Faktor Dilatasi k

• Jika k>1: dilatasi akan memperbesar bentuk dari pusat dilatasi. Semakin besar k, semakin besar pula perubahan ukurannya.
• Jika 0<k<1: dilatasi akan memperkecil bentuk. Semakin mendekati nol, semakin kecil pula bentuk yang dihasilkan.
• Jika k=1: tidak terjadi perubahan ukuran, bentuk asli tetap.

Dilatasi dengan Pusat di (a,b)

Jika pusat dilatasi berada di titik  (a,b) yang bukan titik asal, rumus dilatasi menjadi:

(x′,y′)=(a+k×(x−a),b+k×(y−b))

Dalam kasus ini, kamu terlebih dahulu menggeser titik ke pusat dilatasi, melakukan dilatasi, lalu menggesernya kembali.

Dilatasi Pada Ruang Tiga Dimensi

Dalam ruang tiga dimensi, rumus dilatasi untuk titik (x,y,z) dengan faktor dilatasi k adalah:

(x′,y′,z′)=(k×x,k×y,k×z)

Sama seperti dalam dua dimensi, kamu bisa juga melakukan dilatasi dengan pusat yang berbeda, misalnya (a,b,c), dengan rumus:

(x′,y′,z′)=(a+k×(x−a),b+k×(y−b),c+k×(z−c))

Semoga penjelasan  mengenai dilatasi matematika cukup memberikan gambaran. Tapi, untuk mengenal rumus dilatasi pada matematika secara mendalam maka hal termudah adalah praktek berhitung.

Di bawah ini disajikan contoh beberapa soal untuk mengenal rumus dilatasi pada matematika, lanjut baca dan bisa dicoba di rumah, ya!

Contoh-contoh Soal Dilatasi

Contoh Soal (1)

Sebuah segitiga ABC memiliki titik-titik A(1,2), B(3,5), dan C(4,1). Jika segitiga tersebut mengalami dilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dengan faktor skala k=2.

Tentukan koordinat titik-titik A’, B’, dan C’ dari segitiga baru tersebut!

Jawaban:

Untuk menemukan koordinat titik-titik pada segitiga yang mengalami dilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=2, kita dapat menggunakan rumus dilatasi:

(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

1. Titik A'(A1, A2)
   • A1=2×1=2
   • A2=2×2=4
   • Maka, koordinat A′ adalah (2,4)(2,4)
2. Titik B'(B1, B2)
   • B1=2×3=6
   • B2=2×5=10
   • Maka, koordinat B′ adalah (6,10)(6,10)
3. Titik C'(C1, C2)
   • C1=2×4=8
   • C2=2×1=2
   • Maka, koordinat ′C′ adalah (8,2)(8,2)

Dengan demikian, koordinat titik-titik dari segitiga baru setelah dilatasi adalah A′(2,4), B′(6,10), dan C′(8,2).

Contoh Soal  (2)

Sebuah segitiga memiliki titik-titik A(2, 4), B(4, 4), dan C(3, 6). Jika segitiga tersebut diperbesar dengan faktor skala 3 dengan pusat dilatasi di titik O(0,0).

Tentukan titik-titik baru A’, B’, dan C’ dari segitiga yang telah diperbesar tersebut.

Pembahasan:

Untuk menentukan koordinat titik-titik pada segitiga yang diperbesar dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=3, kita dapat menggunakan rumus dilatasi sebagai berikut:

(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

1. Titik A'(A1, A2)
   • A1=3×2=6
   • A2=3×4=12
   • Oleh karena itu, koordinat A′ adalah (6,12)(6,12)
2. Titik B'(B1, B2)
   • B1=3×4=12
   • B2=3×4=12
   • Oleh karena itu, koordinat B′ adalah (12,12)(12,12)
3. Titik C'(C1, C2)
   • C1=3×3=9
   • C2=3×6=18
   • Oleh karena itu, koordinat C′ adalah (9,18)(9,18)

Sebagai hasilnya, koordinat titik-titik dari segitiga yang telah diperbesar adalah A′(6,12), B′(12,12), dan C′(9,18).

Contoh Soal (3)

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titiknya sebagai berikut: A(2, 3), B(4, 6), dan C(6, 2).

Jika segitiga tersebut didilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0, 0) dan faktor skala k=2, tentukan titik-titik dari segitiga A’B’C’ hasil dilatasi!

Jawaban:

Untuk menentukan koordinat titik-titik pada segitiga ′A′B′C′ yang didilatasi dari segitiga ABC dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=2, kita dapat menggunakan rumus dilatasi:

(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

1. Titik A′(A1,A2)
   • A1=2×2=4
   • A2=2×3=6
   • Maka, koordinat A′ adalah (4,6)(4,6)
2. Titik B′(B1,B2)
   • B1=2×4=8
   • B2=2×6=12
   • Maka, koordinat B′ adalah (8,12)(8,12)
3. Titik C′(C1,C2)
   • C1=2×6=12
   • C2=2×2=4
   • Maka, koordinat C′ adalah (12,4)(12,4)

Dengan demikian, koordinat titik-titik dari segitiga A′B′C′ setelah dilatasi adalah A′(4,6), B′(8,12), dan C′(12,4).

Contoh Soal  (4)

Diketahui sebuah persegi ABCD dengan titik-titiknya sebagai berikut: A(1, 1), B(1, 4), C(4, 4), dan D(4, 1).

Jika persegi tersebut didilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(2,2) dan faktor skala k=0.5, tentukan titik-titik dari persegi A’B’C’D’ hasil dilatasi!

Jawaban:

Untuk menentukan koordinat titik-titik pada persegi A′B′C′D′ yang didilatasi dari persegi ABCD dengan pusat dilatasi di titik O(2,2) dan faktor skala k=0.5.

Kita dapat menggunakan rumus dilatasi terhadap sebuah pusat dilatasi O(x0​,y0​) sebagai berikut:

(x′,y′)=x0​+k⋅(x−x0​),y0​+k⋅(y−y0​)

Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

1. Titik A′(A1,A2)
   • A1=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
   • A2=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
   • Maka, koordinat A′ adalah (1.5,1.5)(1.5,1.5)
2. Titik B′(B1,B2)
   • B1=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
   • B2=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
   • Maka, koordinat B′ adalah (1.5,3)(1.5,3)
3. Titik C′(C1,C2)
   • C1=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
   • C2=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
   • Maka, koordinat C′ adalah (3,3)(3,3)
4. Titik D′(D1,D2)
   • D1=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
   • D2=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
   • Maka, koordinat D′ adalah (3,1.5)(3,1.5)

Sebagai hasilnya, koordinat titik-titik dari persegi A′B′C′D′ setelah dilatasi adalah A′(1.5,1.5), B′(1.5,3), C′(3,3), dan D′(3,1.5).

Contoh  Soal (5)

Sebuah segi empat ABCD memiliki titik-titik sudut sebagai berikut: A(2, 3), B(5, 3), C(5, 1), dan D(2, 1). Jika segi empat ABCD mengalami dilatasi dengan pusat di titik asal (0,0) dengan skala 2.

Tentukan koordinat titik-titik sudut segi empat yang baru setelah dilatasi.

Pembahasan:

Untuk menemukan koordinat titik-titik pada segi empat yang mengalami dilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=2, kita dapat menggunakan rumus dilatasi:

(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

1. Titik A′(A1,A2)
   • A1=2×2=4
   • A2=2×3=6
   • Maka, koordinat A′ adalah (4,6)(4,6)
2. Titik B′(B1,B2)
   • B1=2×5=10
   • B2=2×3=6
   • Maka, koordinat B′ adalah (10,6)(10,6)
3. Titik C′(C1,C2)
   • C1=2×5=10
   • C2=2×1=2
   • Maka, koordinat C′ adalah (10,2)(10,2)
4. Titik D′(D1,D2)
   • D1=2×2=4
   • D2=2×1=2
   • Maka, koordinat D′ adalah (4,2)(4,2)

Dengan demikian, koordinat titik-titik dari segi empat baru setelah dilatasi adalah A′(4,6), B′(10,6), C′(10,2), dan D′(4,2).

Contoh Soal (6)

Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik O(3,4) dengan radius 5 unit. Jika lingkaran ini mengalami dilatasi dengan pusat di titik asal (0,0) dengan skala 3, tentukan pusat dan radius lingkaran yang baru setelah dilatasi.

Penyelesaian:

Untuk menentukan pusat dan radius dari lingkaran baru setelah dilatasi dengan pusat di titik asal O(0,0) dan skala k=3, kita bisa memanfaatkan rumus dilatasi:

(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.

1. Pusat Lingkaran Baru O′(O1,O2)
   • O1=3×3=9
   • O2=4×3=12
   • Maka, pusat O′ dari lingkaran baru adalah (9,12)(9,12)
2. Radius Lingkaran Baru R′ Radius lingkaran sebelum dilatasi adalah 55 unit. Setelah dilatasi dengan faktor skala k=3, radius baru R′ akan menjadi:
   • R′=3×5=15
   • Maka, radius lingkaran baru adalah 15 unit.

Sebagai kesimpulan, lingkaran baru setelah dilatasi memiliki pusat di titik O′(9,12) dengan radius 15 unit.

Contoh Soal (7)

Sebuah titik A(3,4) akan diperbesar dengan faktor dilatasi k=2 dengan pusat dilatasi di titik asal (0,0). Tentukan koordinat baru dari titik A setelah dilatasi.

Jawaban:

Menggunakan rumus dilatasi dua dimensi (x′,y′)=(k×x,k×y):

A′(x′,y′)=(2×3,2×4)A′(x′,y′)=(6,8)

Maka, koordinat baru dari titik A setelah dilatasi adalah A′(6,8).

Contoh Soal (8)

Sebuah titik B(2,5) akan diperkecil dengan faktor dilatasi k=0.5 dan pusat dilatasi di titik C(1,1). Tentukan koordinat baru dari titik B setelah dilatasi.

Jawaban:

Menggunakan rumus (x′,y′)=(a+k×(x−a),b+k×(y−b)) maka:

B′(x′,y′)=(1+0.5×(2−1),1+0.5×(5−1)

)B′(x′,y′)=(1+0.5,1+2)

B′(x′,y′)=(1.5,3)

Maka, koordinat baru dari titik B setelah dilatasi adalah B′(1.5,3).

Contoh Soal (9)

Sebuah titik D(1,2,3) akan diperbesar dengan faktor dilatasi k=3 dengan pusat dilatasi di titik asal O(0,0,0). Tentukan koordinat baru dari titik D setelah dilatasi.

Jawaban:

Menggunakan rumus dilatasi tiga dimensi (x′,y′,z′)=(k×x,k×y,k×z):

D′(x′,y′,z′)=(3×1,3×2,3×3)

D′(x′,y′,z′)=(3,6,9)

Maka, koordinat baru dari titik D setelah dilatasi adalah D′(3,6,9).

Contoh Soal (10)

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titiknya adalah A(1,1), B(3,1), dan C(2,3). Lakukan dilatasi pada segitiga ABC dengan faktor dilatasi k=2 dan pusat dilatasi di titik O(0,0).

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Menggunakan Rumus Dilatasi pada Titik A:

A′(x′,y′)=(2×1,2×1)=(2,2)

2. Menggunakan Rumus Dilatasi pada Titik B:

B′(x′,y′)=(2×3,2×1)=(6,2)

3. Menggunakan Rumus Dilatasi pada Titik C:

C′(x′,y′)=(2×2,2×3)=(4,6)

Jawaban:

Setelah dilatasi, titik-titik baru pada segitiga ‘ABC′ adalah A′(2,2), B′(6,2), dan C′(4,6).

Contoh Soal (11)

Diberikan sebuah segitiga dengan titik-titik A(2, 3), B(4, 5), dan C(6, 3). Lakukan dilatasi terhadap segitiga ini dengan faktor dilatasi k=2 dan pusat dilatasi di titik asal O(0,0).

Jawaban

Dengan menggunakan rumus dilatasi pada bidang dua dimensi:

(x′,y′)=(k×x,k×y)

Kita dapat mencari titik-titik baru setelah dilatasi sebagai berikut:

• Titik A'(x’, y’): (2×2,3×2)=(4,6)(2×2,3×2)=(4,6)
• Titik B'(x’, y’): (4×2,5×2)=(8,10)(4×2,5×2)=(8,10)
• Titik C'(x’, y’): (6×2,3×2)=(12,6)(6×2,3×2)=(12,6)

Maka, segitiga baru setelah dilatasi adalah segitiga dengan titik-titik A'(4, 6), B'(8, 10), dan C'(12, 6).

Contoh Soal (12)

Diberikan sebuah titik D(3, 4). Lakukan dilatasi terhadap titik ini dengan faktor dilatasi k=0.5 dan pusat dilatasi di titik P(1,1).

Jawaban

Dengan menggunakan rumus dilatasi dengan pusat di (a,b):

(x′,y′)=(a+k×(x−a),b+k×(y−b))

Kita dapat mencari titik baru setelah dilatasi:

• Titik D'(x’, y’): (1+0.5×(3−1),1+0.5×(4−1))(1+0.5×(3−1),1+0.5×(4−1))
• Titik D'(x’, y’): (1+0.5×2,1+0.5×3)(1+0.5×2,1+0.5×3)
• Titik D'(x’, y’): (1+1,1+1.5)(1+1,1+1.5)
• Titik D'(x’, y’): (2,2.5)(2,2.5)

Maka, titik baru setelah dilatasi adalah D'(2, 2.5).

Semoga contoh soal ini dapat membantu kamu untuk Mengenal rumus dilatasi pada matematika dengan lebih baik lagi.

Penutup

Yeay sudah sampai sini, apakah uraian di artikelnya dan contoh soal yang diberikan membantu kamu buat mengenal rumus dilatasi pada matematika dengan lebih baik lagi?

Untuk menambah wawasan kamu, jangan lupa baca artikel lain di Mamikos!

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta