Mengenal Operasi pada Matriks Syarat Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan
Mengenal Operasi pada Matriks Syarat Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan— Operasi pada matriks melibatkan beberapa tipe operasi dasar seperti perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan pengurangan matriks.
Dalam artikel ini, Mamikos akan menjelaskan ulasan lebih lengkap tentang operasi pada matriks.
Mari kita bahas masing-masing operasi pada matriks ini beserta syarat yang perlu dipenuhi.
Penjumlahan Matriks
Daftar Isi
Daftar Isi
Penjumlahan matriks adalah operasi matematika yang melibatkan dua matriks dengan dimensi yang sama, dan elemen-elemen mereka dijumlahkan secara berpasangan untuk membentuk matriks baru.
Operasi pada matriks ini sering digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti pengolahan citra, analisis data, dan pemodelan matematika.
Contohnya
Misalkan kita memiliki dua matriks A dan B dengan dimensi yang sama, yaitu m x n. Ini berarti matriks A dan B memiliki jumlah baris yang sama, yaitu m, dan jumlah kolom yang juga sama, yaitu n.
Operasi penjumlahan matriks antara A dan B dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang sesuai pada kedua matriks tersebut.
Elemen pada baris i dan kolom j dari matriks A akan dijumlahkan dengan elemen pada baris i dan kolom j dari matriks B untuk membentuk elemen pada baris i dan kolom j dari matriks hasil penjumlahan.
Contoh 1: Misalkan kita memiliki dua matriks berikut:
Matriks A:
| 2 4 |
| 1 3 |
Matriks B:
| 5 7 |
| 6 8 |
Kita ingin menjumlahkan matriks A dan B. Karena keduanya memiliki dimensi yang sama (2×2), kita dapat melakukannya sebagai berikut:
| 2+5 4+7 |
| 1+6 3+8 |
Hasilnya adalah matriks berikut:
| 7 11 |
| 7 11 |
Matriks hasil penjumlahan memiliki dimensi yang sama dengan matriks A dan B, yaitu 2×2.
Contoh 2:
Misalkan kita memiliki dua matriks A dan B dengan dimensi yang sama, yaitu 2×2:
Matriks A:
| 3 7 |
| 1 9 |
Matriks B:
| 4 2 |
| 6 5 |
Kita ingin menjumlahkan matriks A dan B. Karena keduanya memiliki dimensi yang sama (2×2), kita dapat melakukannya dengan menjumlahkan elemen-elemen yang sesuai dari kedua matriks tersebut:
| 3+4 7+2 |
| 1+6 9+5 |
Hasilnya adalah matriks baru:
| 7 9 |
| 7 14 |
Matriks hasil penjumlahan memiliki dimensi yang sama dengan matriks A dan B, yaitu 2×2.
Dalam operasi pada matriks ini, kita menjumlahkan elemen-elemen yang memiliki posisi yang sama pada kedua matriks.
Elemen pada baris i dan kolom j dari matriks A dijumlahkan dengan elemen pada baris i dan kolom j dari matriks B untuk membentuk elemen pada baris i dan kolom j dari matriks hasil penjumlahan.
Syarat Penjumlahan Matriks
Syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dapat melakukan operasi penjumlahan matriks adalah:
- Dimensi yang sama diperlukan untuk matriks yang akan dijumlahkan, yang berarti bahwa jumlah baris dan kolom pada kedua matriks harus sejajar.
- Matriks A dan B harus memiliki dimensi yang sama, yaitu m x n, di mana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom.
Jadi, penjumlahan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang sesuai pada dua matriks yang memiliki dimensi yang sama, dan hasilnya adalah matriks baru dengan dimensi yang sama pula.
Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks adalah operasi matematika yang melibatkan dua matriks dengan dimensi yang sama.
Operasi pada matriks ini, elemen-elemen matriks yang sesuai pada kedua matriks tersebut dikurangkan untuk membentuk matriks baru yang disebut matriks hasil pengurangan.
Operasi ini memiliki beberapa kesamaan dengan penjumlahan matriks, tetapi pada pengurangan, elemen-elemen dikurangkan.
Misalkan kita memiliki dua matriks A dan B dengan dimensi yang sama, yaitu m x n.
Operasi pengurangan matriks antara A dan B dilakukan dengan cara mengurangkan elemen-elemen pada posisi yang sesuai pada matriks A dan B.
Elemen pada baris i dan kolom j dari matriks A akan dikurangkan dengan elemen pada baris i dan kolom j dari matriks B untuk membentuk elemen pada baris i dan kolom j dari matriks hasil pengurangan.
Contoh 1.
Misalkan kita memiliki dua matriks berikut:
Matriks A:
| 8 5 |
| 3 2 |
Matriks B:
| 4 1 |
| 2 3 |
Tahap selanjutnya
Kita ingin mengurangkan matriks B dari matriks A. Karena keduanya memiliki dimensi yang sama (2×2), kita dapat melakukannya sebagai berikut:
| 8-4 5-1 |
| 3-2 2-3 |
Hasilnya adalah matriks berikut:
| 4 4 |
| 1 -1 |
Matriks hasil pengurangan memiliki dimensi yang sama dengan matriks A dan B, yaitu 2×2.
Contoh 2
Misalkan kita memiliki dua matriks X dan Y dengan dimensi yang sama, yaitu 3×3: Matriks X:
| 7 2 5 |
| 3 1 8 |
| 6 4 9 |
Matriks Y:
| 4 9 1 |
| 5 6 2 |
| 7 3 8 |
Tahap selanjutnya
Kita ingin mengurangkan matriks Y dari matriks X. Karena keduanya memiliki dimensi yang sama (3×3), kita dapat melakukannya dengan mengurangkan elemen-elemen yang sesuai dari matriks X dan Y:
| 7-4 2-9 5-1 |
| 3-5 1-6 8-2 |
| 6-7 4-3 9-8 |
Hasilnya adalah matriks baru:
| 3 -7 4 |
| -2 -5 6 |
| -1 1 1 |
Matriks hasil pengurangan juga memiliki dimensi yang sama dengan matriks X dan Y, yaitu 3×3.
Dalam operasi pada matriks ini, kita mengurangkan elemen-elemen yang memiliki posisi yang sama pada kedua matriks.
Elemen pada baris i dan kolom j dari matriks X dikurangkan dengan elemen pada baris i dan kolom j dari matriks Y untuk membentuk elemen pada baris i dan kolom j dari matriks hasil pengurangan.
Syarat Pengurangan Matriks
Syarat-syarat yang perlu dipenuhi agar dapat melakukan operasi pengurangan matriks adalah:
- Matriks yang akan dikurangkan harus memiliki dimensi yang sama. Artinya, jumlah baris dan kolom dari kedua matriks harus identik.
- Matriks A dan B harus memiliki dimensi yang sama, yaitu m x n, di mana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom.
Jadi, pengurangan matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang sesuai pada dua matriks yang memiliki dimensi yang sama, dan hasilnya adalah matriks baru dengan dimensi yang sama pula.
Perkalian Matriks
Perkalian matriks adalah operasi matematika yang melibatkan dua atau lebih matriks untuk menghasilkan matriks baru.
Perkalian ini merupakan bagian penting dalam berbagai aplikasi ilmu pengetahuan, seperti ilmu komputer, ilmu fisika, ilmu ekonomi, dan lain-lain.
Terdapat dua bentuk umum dari perkalian matriks: perkalian dot (inner product) dan perkalian matriks (matrix product).
Perkalian Dot (Inner Product)
Perkalian dot antara dua matriks A dan B dilakukan ketika kedua matriks memiliki dimensi yang sama, misalnya m x n.Operasi ini melibatkan mengalikan elemen-elemen yang sesuai dari matriks A dan B, lalu menjumlahkan hasilnya.
Hasil dari perkalian dot adalah skalar (bilangan tunggal). Perkalian dot biasanya digunakan dalam konteks ruang vektor.
Perkalian Matriks (Matrix Product)
Perkalian matriks dilakukan ketika kita memiliki dua matriks A dan B dengan dimensi yang memenuhi syarat tertentu.
Kolom pada matriks A perlu memiliki jumlah yang identik dengan jumlah baris pada matriks B.
Misalnya, jika matriks A memiliki dimensi m x n dan matriks B memiliki dimensi n x p, maka kita dapat melakukan perkalian matriks antara A dan B.
Hasil dari perkalian ini adalah matriks baru dengan dimensi m x p, di mana elemen-elemennya dihitung dengan mengalikan baris dari matriks A dengan kolom dari matriks B, lalu menjumlahkan hasilnya.
Contoh matriks inner product (perkalian dot)
Misalkan kita memiliki dua matriks A dan B dengan dimensi yang sama, yaitu 1×3: Matriks A:
| 2 4 6 |
Matriks B:
| 1 3 5 |
Kita ingin melakukan perkalian dot antara matriks A dan B.
Karena keduanya memiliki dimensi yang sama (1×3), kita dapat melakukannya dengan mengalikan elemen-elemen yang sesuai dari matriks A dan B, lalu menjumlahkan hasilnya:
2*1 + 4*3 + 6*5 = 2 + 12 + 30 = 44
Hasil dari perkalian dot adalah skalar (bilangan tunggal), dalam hal ini 44.
Dalam operasi pada matriks ini, kita mengalikan elemen-elemen yang memiliki posisi yang sama pada kedua matriks, kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut untuk mendapatkan hasil akhir.
Perlu diingat bahwa perkalian dot hanya berlaku ketika matriks-matriks tersebut memiliki dimensi yang sama. Dalam contoh ini, matriks A dan B memiliki dimensi 1×3, sehingga perkalian dot dapat dilakukan.
Contoh Perkalian Matriks (Matrix Product):
Misalkan kita memiliki matriks A berdimensi 2×3 dan matriks B berdimensi 3×2:
Matriks A:
| 2 4 1 |
| 3 1 5 |
Matriks B:
| 2 3 |
| 1 2 |
| 4 0 |
Kita dapat melakukan perkalian matriks A dan B karena jumlah kolom pada matriks A (3) sama dengan jumlah baris pada matriks B (3):
| 2*2+4*1+1*4 2*3+4*2+1*0 |
| 3*2+1*1+5*4 3*3+1*2+5*0 |
Hasilnya adalah matriks baru berdimensi 2×2:
| 14 14 |
| 28 19 |
Syarat Perkalian Matriks
Untuk dapat melakukan perkalian matriks, terdapat syarat khusus yang perlu dipenuhi:
- Kolom pada matriks A perlu memiliki jumlah yang identik dengan jumlah baris pada matriks B. Jika matriks A memiliki dimensi m x n, maka matriks B harus memiliki dimensi n x p.
- Hasil perkalian antara matriks A dan B akan menghasilkan matriks baru dengan dimensi m x p.
Dengan memenuhi syarat-syarat tersebut, kita dapat melakukan perkalian matriks dengan mengalikan elemen-elemen yang sesuai dan menjumlahkannya sesuai dengan aturan yang dijelaskan di atas.
Kesimpulan
Dalam dunia matematika dan berbagai bidang ilmu terkait, konsep matriks merupakan landasan penting yang membuka jendela menuju pemahaman yang lebih dalam tentang berbagai fenomena dan hubungan kompleks.
Dari penjumlahan hingga perkalian, matriks memberikan alat yang kuat untuk menganalisis dan memodelkan dunia di sekitar kita.
Kita telah menjelajahi berbagai operasi matriks, termasuk penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Penutup
Dengan memahami syarat dan cara melakukan operasi-operasi ini, kita memperoleh alat yang kuat untuk menganalisis data, memecahkan masalah, dan mengembangkan model matematika yang berguna.
Namun, artikel operasi pada matriks ini hanya merintis perjalanan di permukaan konsep matriks yang luas dan kompleks.
Di dunia nyata, matriks digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk ilmu komputer, ilmu ekonomi, fisika, statistik, dan banyak lagi.
Buat tahu lebih banyak soal operasi pada matriks atau topik-topik lainnya jangan lupa baca artikel lain di Mamikos, ya!
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: