Rumus Persamaan Kuadrat, Pemfaktoran, Kuadrat, ABC & Contoh Soal
Rumus Persamaan Kuadrat, Pemfaktoran, Kuadrat, ABC & Contoh Soal – Dalam matematika, kita mengenal istilah yang disebut persamaan kuadrat.
Apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana mencari penyelesaiannya? Artikel ini akan membahas pengertian dan rumus abc kuadrat serta contoh soal yang mungkin kamu perlukan.
Yuk, pelajari ulasan rumus persamaan kuadrat, pemfaktoran, kuadrat, ABC & contoh soalnya di bawah ini!
Rumus Persamaan Kuadrat
Daftar Isi
Daftar Isi
Al-khawarizmi juga dikenal sebagai bapak aljabar, adalah penemu rumus ABC yang telah digunakan untuk memecahkan persamaan kuadrat selama berabad-abad.
Rumus persamaan kuadrat ini pertama kali muncul dalam bukunya yang terkenal Al Mukhtasar fi Hisab Al Jabr wal Muqabbala.
Melalui rumus persamaan kuadrat kamu yang saat ini masih duduk di bangku SMP atau SMA dapat menyelesaikan berbagai macam soal tentang persamaan aljabar.
Jadi, mari kita pelajari rumus ini dan metode lain yang juga digunakan untuk menemukan persamaan kuadrat melalui contoh soalnya.
Mengenal Arti dari Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan orde kedua atau pangkat dua tertinggi. Penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari dapat ditemukan dalam semua aspek pembentukan parabola atau kurva.
Nah, bentuk ini merupakan bentuk diagram persamaan kuadrat. Contohnya dapat ditemukan dalam bentuk pelangi, atau dalam olahraga, seperti melepaskan anak panah dan sebagainya.
Adapun bentuk umum dari persamaan kuadrat ini ax2+bx+c=0.
Rumus persamaan kuadrat dengan bentuk umumnya yang meliputi a,b dan c ϵ R dan a≠0.
Dimana a adalah koefisien kuadrat dari x², b merupakan koefisien linier b dari x dan c adalah koefisien konstan, juga dikenal sebagai istilah independen.
Agar tidak membingungkan kamu nanti, rumus persamaan kuadrat dengan akar persamaan kuadrat adalah sama.
Jadi, tidak perlu heran mengapa kedua formula tersebut sangat mirip. Sehingga kamu bisa menggunakannya untuk memecahkan semua persoalan yang terkait.
Cara Mudah Mengetahui Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Solusi dan penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar persamaan kuadrat. Akar persamaan kuadrat mengacu pada nilai variabel x yang dipenuhi ketika disubstitusikan ke dalam persamaan.
Terdapat beragam cara untuk dapat menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat.
Cara pertama adalah faktorisasi, dimana memfaktorkan persamaan kuadrat adalah cara paling sederhana untuk menemukan akar kuadrat dalam suatu persamaan.
Jika faktorisasi tidak memungkinkan, metode selanjutnya adalah menggunakan rumus persamaan kuadrat ABC. Cara lain adalah dengan melengkapi kuadrat sempurna.
Adapun untuk lebih lengkapnya simak pembahasan di bawah ini dengan seksama.
Pemfaktoran
Pemfaktoran adalah ekspresi dari penjumlahan suku-suku aljabar pada perkalian faktor-faktor.
Adapun dari persamaan kuadrat ini kemudian membuat persamaan kuadrat menjadi produk dua persamaan linier. Kamu bisa lihat untuk lebih lengkap dan jelasnya pada pembahasan di bawah ini:
- x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)
- 2×2 + 10x + 12 = (2x + 4)(x + 3)
- 4×2 – 5x = 4x(x – 5)
- x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
Contoh tersebut difaktorkan secara langsung, untuk itu coba perhatikan bahwa ada empat bentuk persamaan kuadrat pada masing-masingnya. Sehingga keempat bentuk persamaan kuadrat itu berupa:
- Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
- Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dan a ≠ 0
- Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx atau nilai c = 0
- Persamaan kuadrat bentuk x2 – c atau nilai b = 0
Selanjutnya dalam menemukan berbagai jenis rumus persamaan kuadrat seperti yang disebutkan di atas.
Untuk setiap bentuk persamaan kuadrat, ada beberapa cara untuk memfaktorkan atau mencari solusi bilangan bulat. Untuk membantu agar lebih memahami analisis faktor, mari kita lihat metode faktorisasi berikut:
Akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a = 1 melalui metode pemfaktoran. Selanjutnya kamu bisa mengikuti dua langkah mudah yang bisa langsung kamu gunakan.
Pertama tentukan dua angka misalnya saja pilih p dan q, dimana jika dijumlahkan hasilnya akan sama b juga jika dikalikan hasilnya sama a × c. Dengan begitu cara penyelesaiannya akan semakin mudah dan praktis.
Adapun untuk menentukan nilai pasangannya secara mudah kamu bisa mencari bilangan berupa faktor dari ac tersebut.
Kedua jika nilai p dan q tersebut sudah ditentukan, selanjutnya masukan nilai keduanya pada rumus persamaan kuadrat pemfaktoran.
Akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Adapun selanjutnya untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 1 dengan pemfaktoran.
Kamu bisa melalui beberapa tahap penyelesaian yang cukup mudah. Sehingga dengan ketentuan akar persamaan kuadrat tersebut kita cari terlebih dahulu nilai dari p dan q dengan cara yang sama.
Akar kuadrat dengan bentuk ax2 + bx
Cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat dengan bentuk ax2 + bx = 0 termasuk cukup mudah.
Dimana kamu perlu mengubah bentuk persamaan kuadrat tersebut pada bentuk perkalian dari faktor aljabar dalam variabel x.
ax2 + bx = ax(x + b/a) = 0
ax(x + b/a) = 0
ax = 0 atau x + b/a = 0
x = 0 atau x = –b/a
Sehingga akar dari rumus persamaan kuadrat dengan bentuk ax2 + bx = 0 tersebut adalah 0 atau –b/a
Akar persamaan kuadrat bentuk x2 – c
Terakhir pada persamaan kuadrat berbentuk x2 – c yang bisa diubah menjadi bentuk perkalian dari faktornya adalah sebagai berikut:
x2 – c = (x – b)(x + b) dengan b = √|c|
Dengan demikian diperoleh pula rangkaian akarnya adalah –b juga b
Rumus Kuadrat ABC
Dalam matematika, tiga metode dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, melengkapi bentuk kuadrat dan rumus ABC.
Di antara ketiganya, rumus ABC merupakan metode yang paling populer untuk menyelesaikan persamaan kuadrat karena dianggap paling sederhana.
Rumus ABC sendiri sebenarnya diperoleh dengan menyelesaikan langkah mengkuadratkan untuk menyelesaikan rumus persamaan kuadrat.
Melalui proses ini, rumus-rumus dalam a, b, dan c diperoleh. Rumus ini disebut rumus ABC.
Huruf a, b, dan c dalam rumus ABC disebut koefisien. Koefisien kuadrat dari x2 adalah a, koefisien x adalah b, dan c adalah konstanta atau koefisien konstanta.
Persamaan kuadrat yang digunakan dalam rumus ABC umumnya ax2+bx+c=0.
Selain rumus persamaan kuadrat, rumus ABC memiliki rumus sendiri yang dapat digunakan untuk mencari nilai x. Ini penjelasannya:
Untuk digunakan sebagai solusi masalah kuadrat, rumus ABC memiliki beberapa aturan.
Adanya ketentuan ini berarti bahwa rumus ABC dapat diterapkan secara akurat dan objektif. Beberapa aturan harus diikuti untuk menggunakan rumus persamaan kuadrat ABC:
- Di dalam rumus ABC, didapati nilai diskriminan, yakni nilai d sudah diterapkan dalam rumus ABC yaitu b2 – 4ac
- Nilai a juga tidak boleh 0 atau a≠0
- Apabila nilai D < 0, maka nilai dari akar-akarnya tidak real
- Apabila nilai D > 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai x1, x2 R), serta nilai x1 tidak sama dengan nilai x2 atau x1 ≠ x
- Apabila nilai D = 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai x1, x2 R), serta nilai x1 sama dengan nilai x2 atau x1 = x
Melengkapi Kuadrat Sempurna
Kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan kuadrat yang hanya terdiri dari satu bentuk kuadrat dan satu konstanta.
Metode penyempurnaan kuadrat sempurna mengubah bentuk umum persamaan kuadrat ax² bx c = 0 menjadi bentuk kuadrat a (xd) ²
Dan disetarakan dengan konstanta e, menjadi a (xd) ² e = 0 Nilai konstanta e adalah nilai keseimbangan kuadrat dari bentuk sempurna persamaan.
Metode pemurnian kuadrat sempurna ini kemudian juga dijelaskan secara geometris.
Dimana hal tersebut bertujuan untuk menyeimbangkan bentuk kuadrat dengan rumus persamaan kuadrat yang ditransformasikan.
Bentuk umum persamaan kuadrat dapat digambarkan secara geometris sebagai persegi dan persegi panjang. Kuadrat mewakili kuadrat dari suatu koefisien, nilai serta variabel.
5 Contoh Soal dari Persamaan Kuadrat Dengan Beragam Metode Penyelesaian
1. Berapa nilai setiap akar dari persamaan x2 + 8x + 12 = 0 dengan menggunakan rumus ABC
Jawaban penyelesaian:
x² + 8x + 12 = 0
a = 1
b = 8
c = 12
X1,2 = -b ± √b² – 4ac / 2a
X1,2 = -8 ± √8² – 4.1.12 / 2.1
X1,2 = -8 ± √ 64 – 48 / 2
X1,2 = -8 ± √16 / 2
X1,2 = -8 ± 4 /2
X1,2 = 2(-4 ± 2) / 2
X1,2 = -4 ± 2
Maka,
X1 = -4 + 2 = -2
X2 = -4 – 2 = -6
Hingga dapat disimpulkan bahwa akar dari rumus persamaan kuadrat x1 = -6 atau x2 = -2 serta bisa dituliskan menjadi bentuk HP = {-6,-2}.
2. Memakai rumus kuadrat coba cari tau himpunan penyelesaian untuk persamaan x2 + 2x = 0
a =1, b =2, c =0
Sehingga dapat disimpulkan bahwa himpunan yang ditemukan yaitu HP = {-2,0}
3. Hitung solusi akar persamaan 4x²+4x+1=0 dengan melengkapi kuadrat sempurna!
Pembahasan:
Dan didapatkan akar persamaan kuadratnya dari 4x² + 4x + 1 = 0 yaitu x1,2 = -1/2. Solusi ini juga disebut solusi tunggal karena titik potong x1 dan x2 mempunyai nilai sama.
4. Tentukan nilai dari akar dari 4x² + 14x + 10 = 0 menggunakan metode pemfaktoran!
Penyelesaian:
4x² + 14x + 10 = 0
(2x + 5)(2x + 2) = 0
2x + 5 = 0 atau 2x + 2 = 0
2x = -5 2x = -2
x = -5/2 x = -1
Sehingga untuk himpunan penyelesaiannya adalah meliputi: {-5/2, -1}
5. Tentukan nilai akar dari x² + 7x + 10 = 0 dengan metode pemfaktoran!
Penyelesaian:
Cara mudah untuk menentukan rumus persamaan kuadrat menggunakan metode pemfaktoran dari x² + 7x + 10 = 0 dimana dapat diperoleh nilai berupa a = 1, b = 7 dan c = 10.
Sehingga, kedua nilainya dapat dicari melalui tahapan berikut setelah memenuhi syarat:
m + n = b = 7
m × n = c = 10
Syarat tersebut perlu dipenuhi agar bisa menentukan nilai m dan n. Untuk itu maka terbentuk nilai 5 dan 2 yang telah memenuhi syarat. Sehingga hasilnya akan menjadi menjadi seperti pada pembahasan di bawah ini:
x² + 7x + 10 = 0
(x + 5)(x + 2) = 0
x + 5 = 0 atau x + 2 = 0
x = -5 x = -2
Dengan demikian akhirnya didapatkan himpunan penyelesaian adalah {-5, -2}
Sekian ulasan lengkap mengenai rumus persamaan kuadrat, pemfaktoran, kuadrat, ABC & contoh soal yang mungkin perlu kamu ketahui.
Semoga membantu sebagai referensi dan tambahan sedikit wawasan terkait hal tersebut. Sehingga kamu bisa terus memperdalam pembahasan dengan lebih lengkap lagi.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: