Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9 dan Contoh Soal

Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9 dan Contoh Soal – Transformasi geometri adalah konsep untuk memahami perubahan bentuk dan posisi suatu objek di bidang dua dimensi.

Salah satu jenis transformasi yang akan kita bahas adalah rotasi. Rotasi adalah perpindahan suatu objek melalui suatu sudut tertentu, mirip dengan memutar benda.

Nah, di artikel ini, Mamikos akan membongkar rumus rotasi transformasi geometri matematika kelas 9 beserta contoh soal. Yuk, pelajari!

Rotasi Transformasi Geometri Matematika

Rotasi adalah salah satu jenis transformasi yang mengubah posisi setiap titik dalam gambar dengan cara memutarnya pada sudut dan arah tertentu terhadap sebuah titik yang tidak berubah, yang sering disebut sebagai pusat rotasi.

Besarnya sudut perubahan posisi dari objek terhadap posisi awalnya disebut sudut rotasi. Suatu rotasi ditentukan oleh arah perputaran.

Jika perputaran dilakukan searah dengan arah putaran jarum jam, maka sudut rotasinya dianggap positif, sedangkan jika berlawanan dengan arah jarum jam, sudut rotasinya dianggap negatif.

Selama proses rotasi, bentuk awal selalu akan cocok atau sejajar dengan bentuk hasil rotasinya.

Dalam matematika, kita menggunakan rumus khusus untuk menghitung posisi baru dari titik-titik setelah rotasi. Ini membantu kita memahami bagaimana objek-objek berubah saat diputar

Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9

Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0)

Rotasi adalah cara kita memutar objek dalam matematika. Ketika kita ingin melakukan rotasi terhadap titik pusat (0, 0), ini berarti pusat perputaran kita adalah titik (0, 0), atau pusat koordinat.

Rumus Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0):

Untuk memutar suatu titik (x, y) sebesar θ derajat terhadap pusat (0, 0), kita gunakan rumus berikut:

x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Di mana (x’, y’) adalah koordinat baru setelah rotasi, (x, y) adalah koordinat awal, dan θ adalah sudut rotasi dalam radian.

Rotasi terhadap Titik Pusat (a, b)

Terkadang, kita ingin melakukan rotasi terhadap titik pusat lainnya, seperti (a, b). Ini berarti pusat perputaran kita bergantung pada titik tersebut.

Rumus Rotasi terhadap Titik Pusat (a, b)

Untuk memutar suatu titik (x, y) sebesar θ derajat terhadap pusat (a, b), kita gunakan rumus berikut:

x’ = (x – a) * cos(θ) – (y – b) * sin(θ) + a y’ = (x – a) * sin(θ) + (y – b) * cos(θ) + b

Di sini, (x’, y’) adalah koordinat baru setelah rotasi, (x, y) adalah koordinat awal, (a, b) adalah pusat rotasi, dan θ adalah sudut rotasi dalam radian.

Jadi, dengan memahami rumus-rumus rotasi ini, kamu dapat memahami cara memutar objek atau titik-titik di sekitarmu tergantung pada pusat perputaran yang kamu pilih, baik itu titik (0, 0) atau titik lainnya seperti (a, b).

Contoh Soal No. 1-5

1. Jika titik (6, 10) dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0,0), maka posisi titik bayangannya adalah….

A.  (10, -6)

B. (-6, -10)

C. (-10, 6)

D. (6, 10)

Jawaban:  C. (-10, 6)

2. Jika terdapat sebuah titik (3,-2) yang merupakan hasil rotasi sebesar -180
° , maka titik asalnya adalah….

A. A’(-3, 2)

B. A’(-2, 3)

C. A’(6, -4)

D. A’(-4, 6)

Jawaban:  A. A’(-3, 2)

3. Koordinat titik A’ setelah mengalami rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0), yang merupakan bayangan dari titik awal (3,5), adalah….

A. A’(5,3)

B. A’(-3, -5)

C. A’(-5, -3)

D. A’(-5, 3)

Jawaban:  D. A’(-5, 3)

4. Jika titik G(1, 5) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan terbentuk bayangan di titik . . . .

A. G'(-1, -5)

B. G'(1, -5)

C. G'(-5, 1)

D. G'(5,1)

Jawaban:  C. G'(-5, 1)

5. Jika titik U(1, 3) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan membentuk bayangan di titik . . . .

A. U'(-3,1)

B. U'(3, 2)

C. U'(-1, 3)

D. U'(2, 3)

Jawaban:  A. U'(-3,1)

Contoh Soal No. 6-10

6. Bayangan dari titik B(3, 2) setelah rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di (0, 0) adalah. . . .

A. B'(3, 2)

B. B'(-3, -2)

C. B'(-3, 2)

D. B'(3, -2)

Jawaban:  B. B'(-3, -2)

7. Setelah melakukan rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka titik F(-5, -5) akan membentuk bayangan di titik . . . .

A. F'(-5,5)

B. F'(5, -5)

C. F'(-5, 5)

D. F'(-5, -5)

Jawaban:  D. T'(-1, 2)

8. Setelah melakukan rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka titik G(-6, 1) akan membentuk bayangan di titik . . . .

A. G'(6, -1)

B. G'(6, 1)

C. G'(-6, 1)

D. G'(6, -1)

Jawaban:  D. G'(6, -1)

9. Jika titik H(1, -6) dirotasikan sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan terbentuk bayangan di titik . . . .

A. H'(1, 6)

B. H'(-1, 6)

C. H'(1, -6)

D. H'(-1, -6)

Jawaban:  B. H'(-1, 6)

10. Hasil dari rotasi titik A(-3, -4) dengan pusat rotasi (0, 0) sejauh 90° adalah . . . .

A. A'(-4, -3)

B. A'(-4, 3)

C. A'(4, 3)

D. A'(4, -3)

Jawaban:  D. A'(4, -3)

Contoh Soal No. 11-12

11. Jika titik P(7, 5) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka hitunglah koordinat bayangan yang terbentuk!

Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik P(7, 5) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0), penghitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus rotasi transformasi geometri matematika:

Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah O(0, 0) dan sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:

x’ = 7 * cos(90°) – 5 * sin(90°)

x’ = 7 * 0 – 5 * 1 x’ = 0 – 5 x’ = -5

y’ = 7 * sin(90°) + 5 * cos(90°)

y’ = 7 * 1 + 5 * 0 y’ = 7 + 0 y’ = 7

Jadi, koordinat bayangan dari titik P(7, 5) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0) adalah (-5, 7).

12. Ketika titik N(4, 7) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), hitunglah koordinat bayangan yang terjadi!

Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik N(4, 7) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0), rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:

Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah O(0, 0) dan sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:

x’ = 4 * cos(90°) – 7 * sin(90°)

x’ = 4 * 0 – 7 * 1

x’ = 0 – 7

x’ = -7

y’ = 4 * sin(90°) + 7 * cos(90°)

y’ = 4 * 1 + 7 * 0

y’ = 4 + 0

y’ = 4

Jadi, koordinat bayangan dari titik N(4, 7) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0) adalah (-7, 4).

Contoh Soal No. 13-15

13. Jika kita memutar titik A(9, 3) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam, maka hitunglah posisi bayangan dari titik A!

Jawaban: Untuk menghitung posisi bayangan dari titik A(9, 3) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam, bisa menggunakan rumus rotasi transformasi geometri matematika berupa:

Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dalam rotasi ini, sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:

x’ = 9 * cos(90°) – 3 * sin(90°)

x’ = 9 * 0 – 3 * 1

x’ = 0 – 3

x’ = -3

y’ = 9 * sin(90°) + 3 * cos(90°)

y’ = 9 * 1 + 3 * 0

y’ = 9 + 0

y’ = 9

Jadi, posisi bayangan dari titik A(9, 3) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam adalah (-3, 9).

Contoh Soal No. 14

14. Ketika titik A(6, -12) dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, maka hitunglah hasil bayangan titik A!

Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik A(6, -12) setelah dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan ialah:

Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dalam rotasi ini, sudut rotasi adalah 180°. Maka:

x’ = 6 * cos(180°) – (-12) * sin(180°)

x’ = 6 * (-1) – (-12) * 0

x’ = -6 + 0

x’ = -6

y’ = 6 * sin(180°) + (-12) * cos(180°)

y’ = 6 * 0 + (-12) * (-1)

y’ = 0 + 12

y’ = 12

Jadi, hasil bayangan dari titik A(6, -12) setelah dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam adalah (-6, 12).

Contoh Soal No. 15

15. Bayangan dari titik P(1, 4) setelah dirotasikan sejauh 180° dan kemudian dirotasikan sejauh 90°, hitunglah koordinat titik bayangan tersebut!

Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik P(1, 4) setelah dirotasikan sejauh 180° dan kemudian dirotasikan sejauh 90°, maka penghitungkan dilakukan dua kali.

Rotasi Pertama (180°) Rotasi pertama adalah sejauh 180° berlawanan arah jarum jam. Rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:

Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dalam rotasi pertama ini, sudut rotasi adalah 180°. Maka:

x’ = 1 * cos(180°) – 4 * sin(180°)

x’ = 1 * (-1) – 4 * 0

x’ = -1 – 0

x’ = -1

y’ = 1 * sin(180°) + 4 * cos(180°)

y’ = 1 * 0 + 4 * (-1)

y’ = 0 – 4

y’ = -4

Jadi, setelah rotasi pertama sejauh 180°, titik P(1, 4) akan menjadi (-1, -4).

Rotasi Kedua (90°) Sekarang, kita akan merotasi titik hasil rotasi pertama (-1, -4) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam. Rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:

x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dalam rotasi kedua ini, sudut rotasi adalah 90°. Mari kita hitung:

x’ = (-1) * cos(90°) – (-4) * sin(90°)

x’ = (-1) * 0 + 4 * 1

x’ = 0 + 4

x’ = 4

y’ = (-1) * sin(90°) + (-4) * cos(90°)

y’ = (-1) * 1 + (-4) * 0

y’ = -1 + 0

y’ = -1

Jadi, setelah rotasi kedua sejauh 90°, titik bayangan dari P(1, 4) adalah (4, -1).

Penutup

Berikut tadi merupakan rumus rotasi transformasi geometri matematika kelas 9 beserta penerapannya dalam soal.

Dengan menggunakan rumus ini, kamu dapat dengan mudah mencari tahu di mana titik akan berada setelah mengalami rotasi.

Penting untuk memahami konsep rotasi karena hal ini memiliki banyak aplikasi selain di ilmu matematika, seperti desain grafis, ilmu komputer, dan bahkan dalam ilmu fisika.

Dengan menguasai rumus rotasi, kamu dapat melakukan transformasi geometri dengan lebih baik.

Semoga artikel ini membantu kamu memahami dan menguasai rumus rotasi, serta memberikan inspirasi untuk menjelajahi lebih lanjut dunia menarik dari matematika dan geometri.

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta