Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Rumus, Sifat, serta Contoh Cara Penyelesaiannya — Saat di bangku sekolah, kamu biasanya akan belajar mengenai pertidaksamaan nilai mutlak.

Berikut adalah penjelasan lengkap mengenai pertidaksamaan nilai yang harus kamu pahami!

Memahami Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Rumus, Sifat dan Cara Menyelesaikan

Baca Juga :

Persamaan Linear Satu Variabel, Pengertian, Sistem, Rumus, dan Contoh

Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah kalimat matematika terbuka yang harus memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤.

Sedangkan untuk ketidaksamaan atau biasa disebut pertidaksamaan mutlak (absolut) merupakan pertidaksamaan yang selalu dianggap benar untuk setiap nilai dari pengganti variabelnya.

Sebuah pertidaksamaan yang selalu dianggap salah untuk tiap pengganti variabel juga disebut pertidaksamaan palsu. Contoh 1 dari pertidaksamaan:

• (a) x ≠ y
• (b) x < y
• (c) 2x ≥ 5
• (d) x2 – 5 + 6 ≤. 6
• (e) │1 – x│> 2, dan sebagainya. Perlu diingat untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).

Seperti halnya pada persamaan, dalam pertidaksamaan juga tidak berlaku untuk setiap pengganti dari variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan biasa disebut sebagai penyelesaian.

Sedangkan untuk himpunan seluruh pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut menjadi kalimat tertutup yang benar akan disebut sebagai himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, sebuah pertidaksamaan absolut merupakan suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

Pertidaksamaan mutlak juga sering pula disebut sebagai ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan bentuk dari kalimat matematika tertutup.

Adapun contoh dari pertidaksamaan diantaranya adalah sebagai berikut:

Contoh:

• (x – 1)2 ≥ 0
• X + 2 > x + 1
• -3×2 – 7x – 6 < 0
• -(x – 1)2 ≤ 0
• 3x–4│ > – │ -1│

Selain itu, ada pula contoh pertidaksamaan yang selalu salah bagi setiap pengganti variabelnya yang disebut sebagai pertidaksamaan palsu. Adapun contoh dari pertidaksamaan palsu diantaranya sebagai berikut.

Contoh:

• X2 + 2 ≤ 0
• X + 2 ≥ x + 3
• (x – 2)2 < 0
• │2x – 3│ > -│-x│

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Adapun sifat dari pertidaksamaan nilai mutlak merupakan tanda pertidaksamaan yang tidak bisa berubah apabila kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan menggunakan jumlah bilangan yang sama.

Jika a < b maka dianggap sebagai berikut:

• a + c < b + c
• a – c < b – c

Adapun tanda pertidaksamaan tidak akan bisa berubah apabila kedua ruas dikali atau dibagi memakai bilangan positif yang sama Jika a < b, dan c yaitu bilangan positif, maka sebagai berikut:

• a.c < b.c
• a/b < b/c

Tanda pertidaksamaan juga bisa berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi menggunakan bilangan negatif yang relatif sama.

Contohnya apabila a < b, dan c merupakan bilangan negatif, maka akan muncul sebagai berikut:

• a.c > b.c
• a/c > b/c

Tanda pertidaksamaan juga tidak akan bisa berubah saat kedua ruas positif dikuadratkan masing-masing.

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka hasilnya sebagai berikut: a2 < b2.

Adapun contoh pertidaksamaan kuadrat yang memiliki 2 variabel pangkat 2, maka penyelesaianya bisa dengan cara dibawah ini:

• Ruas kanan harus diubah menjadi nol.
• Faktorkan bilangannya terlebih dahulu.
• Tentukanlah harga dari nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol.
• Lalu gambarlah garis bilangannya.

Apabila tanda pertidaksamaan yang ada hanya ≥ atau ≤, maka harga nol akan ditandai dengan titik hitam. Apabila tanda pertidaksamaannya hanya > atau <, tentu harga nol harus ditandai dengan titik putih.

Jika ada perintah untuk menentukan tanda (+) atau (–) untuk setiap masing-masing interval untuk garis bilangan, maka memasukkan salah satu bilangan interval tersebut pada bagian persamaan di ruas kiri.

Adapun untuk tanda pada garis bilangan bisa dengan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap, maka batas rangkap tersebut tentu tidak akan bisa merubah tanda.

Adapun contoh penentuan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak diantaranya adalah sebagai berikut:

• Apabila tanda pertidaksamaan > 0, maka berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir merupakan yang dari bertanda (+)
• Apabila tanda pertidaksamaan < 0, maka berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah dari yang bertanda (–)

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Beberapa rumus dari penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak adalah teorema-teorema dengan berikut ini:

Baca Juga :

11 Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak beserta Jawabannya Pilihan Ganda

1. Teorema 4 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila P(x), Q(x), dan R(x) merupakan ungkapan-ungkapan pada x, maka untuk seluruh harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real akan menjadi alimat terbuka P(x) < Q(x) merupakan ekuivalen seperti :

• P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)
• P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

P(x). R(x) > Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

Demikian juga untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) merupakan ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A hingga bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan simbol ≤ (atau ≥). Mudah, bukan?

Maka dengan syarat yang sama pula akan menjadi R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas. Apakah kamu sudah mulai memahami konsepnya?

2. Teorema 5 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, saat dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini ada 2 contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak yang bisa kamu ikuti polanya yaitu:

(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a

Adapun contoh buktinya adalah sebagai berikut :

• Untuk tiap x € R,│x│ ≥ 0
• Karena aturan a > 0, maka -a < 0
• Maka untuk tiap x, -a <│x
• Maka apabila untuk x 0. Tentu dalam hal ini,│x│ = x
• Berhubung -a < │ x │,│x│ = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti). Sekarang apabila difungsikan untuk x < 0
• Maka dalam konsep ini │ x│= -x. Hal ini disebabkan karena -a < │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.
• Kemudian silahkan kalikan dengan (-1), yang mana akan diperoleh a> x > -a atau -a < x < a.

3. Teorema 6 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila x € R, a € R, dan a > 0, maka│x│> a, saat dan hanya apabila x < -a atau x > a. Berikut adalah contoh penyelesaian yang bisa membuktikan kebenaran dari sifat pertidaksamaan di atas!

Contoh:

Cobalah caril himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut│ x + 1│< 3. Maka penyelesaiannya adalah:

Jika menurut teorema 5 maka akan menjadi,

│ x + 1│< 3

Hanya jika -3 < x + 1 < 3

Maka tiap ruas ditambah dengan -1, yang didapat -4 < x < 2. Maka himpunan penyelesaiannya berupa { x / -4 < x < 2 }

Adapun himpunan penyelesaian bisa juga kamu tulis dengan menggunakan simbol irisan: { x / x > -4 } ∩ { x / x < 2 }.

4. Teorema 7 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk tiap maka R, x ≤ │x

Adapun buktinya yaitu jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi). Apabila x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0

Jadi untuk hal ini akan menjadi x ≤ │x│ dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x

Baca Juga :

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel beserta Jawabannya

5. Teorema 8 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila x R, y R, maka ditentukan sebagai berikut

(1). │x – y│≥│x│-│y│

(2). │x +y│≤ │x│+│y│

Untuk pertidaksamaan tingkat tinggi, maka variabel berpangkat lebih dari 2. Adapun penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah bentuk pertidaksamaan kuadrat sebagaimana contoh berikut!

Contoh:

• (2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
• (2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

• Maka harga nol akan menjadi: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
• Untuk menentukan garis bilangan, maka gunakanlah titik putih karena adanya tanda pertidaksamaan <
• Apabila dimasukkan x = 0 maka hasilnya bisa positif
• Berhubung 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut akan bernilai positif
• Berhubung karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, maka –1/2 merupakan batas rangkap dari bilangan).

Jadi di sebelah kiri –1/2 juga bisa menjadi positif

• Selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap tersebut, tentunya tanda positif dan negatif akan berselang-seling
• Berhubung tanda pertidaksamaannya adalah ³ 0, maka daerah yang diarsir adalah akan menjadi positif
• Jadi penyelesaiannya akhirnya akan berupa {x | 2 < x < 3}

Jika pertidaksamaan pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut. Maka penyelesaiannya sebagai berikut:

• Pastikan ruas kanan telah dijadikan nol
• Samakan penyebut pada ruas kiri
• Faktorkan pembilang dan penyebut (hanya jika bisa difaktorkan)
• Carilah nilai-nilai variabel yang akan menyebabkan pembilang dan penyebutnya memiliki nilai sama dengan nol (harga nol pada pembilang dan penyebut)
• Kemudian gambarlah garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan sebagaimana pada langkah 4
• Apapun tanda pertidaksamaannya, maka harga nol untuk penyebut selalu bisa digambar dengan titik putih.

Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut adalah contoh soal untuk menentukan tanda (+) ataupun (–) pada masing-masing interval

Jika harga nol dari pembilang: –5x + 20 = 0, maka –5x = –20 → x = 4

Jika harga nol untuk penyebut: x – 3 = 0 → x = 3. Maka garis bilangan yang diketahui: x = 3 harus di gambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut tadi.

Pertidaksamaan irasional atau pertidaksamaan bentuk akar tentu akan memiliki variabel yang berada dalam tanda akar. Maka penyelesaian bisa sebagai berikut ini!

• Silakan kuadratkan kedua ruas
• Jadikan dulu ruas kanan sama dengan nol
• Selesaikanlah operasi sebagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
• Adapun syarat tambahannya adalah yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh

Kuadratkan terlebih dahulu kedua ruas di atas:

x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2 x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0 –2x – 8 < 0
Semua bilangan harus kamu kali –1: 2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4

Syarat 1 yang harus terpenuhi terlebih dahulu
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0

Maka, untuk harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1

Adapun syarat 2 adalah sebagai berikut
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0

Maka harga nol akan menjadi: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1

Kini kamu mungkin sudah lebih memahami apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan nilai mutlak.

Baca Juga :

35 Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel beserta Pembahasannya

Mamikos harapkan pembahasan pertidaksamaan nilai mutlak dalam artikel ini akan membantu kamu dalam memahami soal yang nanti akan kamu hadapi.

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

The post Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Rumus, Sifat, serta Contoh Cara Penyelesaiannya appeared first on Blog Mamikos.