Bilangan Rasional dan Irasional, Contoh Soal dan Penjelasannya
Bilangan Rasional dan Irasional – Pernahkah Anda mendengar istilah bilangan rasional dan irasional? Mungkin Anda bertanya-tanya, sebenarnya apa yang membedakan kedua istilah bilangan tersebut dalam ilmu matematika? Baik bilangan rasional maupun irasional, keduanya masuk dalam klasifikasi bilangan real.
Walau dikategorisasikan sebagai bilangan real, namun ada perbedaan mendasar antara irasional dan rasional. Bagi Anda yang mungkin bingung mengenai pengertian bilangan irasional dan rasional, ada penjelasan dan contoh soal untuk memudahkan Anda memahami perbedaan kedua bilangan ini.
Pengertian Bilangan Rasional
Daftar Isi
Daftar Isi
Bilangan rasional merupakan angka yang dapat ditulis sebagai perbandingan. Bilangan rasional dapat ditulis sebagai pecahan, yang mana pembilang (angka di atas) dan penyebut (angka di bawah) adalah bilangan bulat.
Untuk memahami apa itu bilangan rasional, pertama-tama mari membahas beberapa definisi matematika dasar:
- Integer adalah bilangan bulat (seperti 1, 2, 3, dan 4) dan pasangan negatifnya (seperti -1, -2, -3, dan -4).
- Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan sebagai perbandingan. Pecahan adalah bagian dari keseluruhan.
- Pecahan memiliki pembilang, yaitu angka di atas pecahan yang menunjukkan bagian-bagian yang diambil dari keseluruhan.
- Pecahan juga memiliki penyebut, yaitu angka di bagian bawah pecahan yang menunjukkan berapa banyak bagian dari keseluruhan.
Secara garis besar, bilangan rasional adalah bilangan berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.
Dengan kata lain, jika suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai pecahan, dimana pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat, maka bilangan tersebut adalah bilangan rasional.
Misal:
a/b, b≠0
a dan b keduanya bilangan bulat.
Persamaan ini menunjukkan bahwa semua bilangan bulat, desimal hingga, dan desimal berulang adalah bilangan rasional. Dengan kata lain, sebagian besar bilangan adalah bilangan rasional.
Jika Anda berkutat dengan angka yang memiliki banyak sekali desimal yang berbeda, maka bilangan tersebut sudah bisa disebut tidak rasional. Namun, jika Anda berkutat dengan bilangan bulat atau angka dengan desimal berulang (seperti 1,333333), maka angka Anda rasional.
Bagaimana mengidentifikasi sebuah bilangan dikatakan rasional? Dalam setiap kasus, bilangan dapat dinyatakan sebagai pecahan bilangan bulat. Oleh karena itu, masing-masing bilangan tersebut adalah bilangan rasional.
Untuk mengetahui apakah suatu bilangan merupakan bilangan rasional, Anda dapat memeriksa apakah bilangan tersebut cocok dengan salah satu kondisi berikut:
- Dapat dinyatakan sebagai pecahan bilangan bulat.
- Memiliki ekspansi desimal yang ada ujungnya atau pengulangan non-terminasi.
Kosmologi, fisika, etika, dan spiritualitas didasarkan pada premis bahwa “semua adalah angka”. Mereka percaya bahwa semua hal, jumlah bintang di langit, nada tangga nada musik, dan kualitas semuanya dapat dijelaskan dan dipahami melalui bilangan rasional.
Pengertian Bilang Irasional
Kebalikannya dari bilangan rasional, yakni irasional merupakan sebuah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Lebih tepatnya, bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat.
Hal ini berbeda dengan bilangan rasional, yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat. Salah satu karakteristik bilangan irasional adalah jumlah desimalnya tidak berulang atau berakhir.
Semua bilangan yang tidak rasional dianggap irasional. Bilangan irasional dapat ditulis sebagai desimal, tetapi tidak sebagai pecahan. Bilangan irasional memiliki angka yang tak berujung di sebelah kanan titik desimal. Berikut adalah contoh bilangan irasional:
π = 3.6757856758
Tidak ada cara untuk menulis sebagai pecahan sederhana, jadi tidak rasional.
Hal yang sama berlaku untuk 2.
2 sama dengan 1,34635436536…(dst).
Anda tidak dapat membuat 2 menjadi pecahan sederhana, jadi itu adalah bilangan irasional.
Meskipun bilangan irasional tidak sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, bilangan irasional memang tetap ada pada garis bilangan. Faktanya, antara 0 dan 1 pada garis bilangan, ada bilangan irasional yang tak terbatas.
Ada beberapa fakta menarik terkait sejarah dari bilangan rasional, yakni:
1. Orang pertama yang mengenali keberadaan bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum. Ia adalah seorang filsuf Yunani kuno dari aliran pemikiran Pythagoras. Seharusnya, dia mencoba menggunakan teorema terkenal gurunya a2+b2=c2 untuk mencari panjang diagonal persegi satuan.
2. Hipassus mengungkapkan bahwa sisi-sisi persegi tidak dapat dibandingkan dengan diagonalnya, dan bahwa panjang ini tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat.
3. Pythagoras lainnya percaya secara dogmatis bahwa hanya bilangan rasional positif yang bisa digunakan, kemudian mereka tidak setuju dengan gagasan ketidakterbandingan. Dengan begitu, maka Hippasus dilemparkan ke laut dan bersumpah untuk merahasiakan keberadaan bilangan irasional sebagai rahasia.
4. Dokumen sejarah yang merujuk pada insiden tersebut jarang ditemukan dan ditulis 800 tahun setelah zaman Pythagoras dan Hippasus. Tidak sampai kira-kira 300 tahun setelah masa Hippasus, Euclid memberikan buktinya untuk adanya bilangan irasional.
5. Orang-orang Pythagoras kemungkinan besar secara manual mengukur diagonal persegi satuan. Namun, mereka menganggap pengukuran yang dilakukan adalah metode yang mendekati bilangan rasional.
6. Sebelum Hippasus, Pythagoras tidak memiliki alasan untuk mencurigai bahwa ada bilangan real yang pada prinsipnya, tidak dapat diukur atau dihitung. Angka adalah dasar spiritual dari filosofi dan keyakinan mereka untuk Pythagoras.
Contoh Soal Bilangan Rasional dan Irasional Beserta Penjelasannya
Jika suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat, maka bilangan tersebut adalah bilangan rasional. Beberapa contoh bilangan rasional adalah:
1. ½
2. -¾
3. 0,3 atau 3/10
4. -0,7 atau -7/10
5. 0.1414 atau 14/99
Bagaimanapun, semua angka di atas adalah bilangan rasional, karena dapat dinyatakan sebagai pecahan dimana pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat dan penyebutnya tidak sama dengan 0.
Agar lebih memahami bilangan rasional dan irasional, berikut contoh soal dari bilangan yang dikategorisasikan sebagai rasional:
1. e
Angka e (Bilangan Euler) adalah bilangan irasional terkenal. Orang-orang telah menghitung “e” ke banyak tempat desimal tanpa menunjukkan pola apapun. Beberapa digit pertama terlihat seperti ini: 2.7182818256346754.
2. π
Orang telah menghitung π (Pi) hingga lebih dari satu kuadriliun tempat desimal dan masih belum ada pola. Beberapa digit pertama terlihat seperti ini: 3.145876586586
3. √
Banyak akar kuadrat, akar pangkat tiga, dll juga merupakan bilangan irasional.
Contoh 1:
3 = 1.73205655675
99 = 9.94547657676
Namun, tidak semua akar kuadrat adalah bilangan irasional. Jika akar kuadrat menghasilkan bilangan bulat (seperti 4 atau 9), maka Anda sebenarnya sedang berhadapan dengan bilangan rasional.
Contoh tersebut bukan satu-satunya hal yang harus Anda waspadai. Terkadang, mengalikan dua bilangan irasional akan menghasilkan bilangan rasional.
Contoh 2:
√2 x √2 = 2
2 adalah bilangan rasional
Berikut adalah contoh soal bilangan irasional dan penjelasannya:
π/2
Hasil dari 2 phi tidak diketahui karena angkanya menunjukkan banyak sekali bilangan tak terhingga, berbeda dengan bilangan rasional yang hasilnya jelas.
Sudah tahu perbedaan antara bilangan rasional dan irasional, bukan? Kata kuncinya adalah bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana. Sementara untuk bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana.
Klik dan dapatkan info kost di dekatmu:
Kost Denpasar Bali Harga Murah