8 Contoh Soal Identitas Trigonometri dan Jawabannya untuk Bahan Belajar

Contoh Soal 5

Perhatikan persamaan trigonometri berikut:

tan⁶  A = tan⁴ A . sec² A – tan² A . sec² A + sec² A – 1

Buktikanlah identitas persamaan trigonometri tersebut!

Pembahasan:

Diketahui:

tan⁶  A = tan⁴ A . sec² A – tan² A . sec² A + sec² A – 1

Ditanyakan:

Bukti identitas trigonometri!

Jawaban:

Identitas trigonometri yang digunakan:

tan² x + 1 = sec² x

Pembuktian persamaan ruas kanan:

tan⁴ A . sec² A – tan² A . sec² A + sec² A – 1

= tan⁴ A . sec² A – tan² A . sec² A + tan² A

= tan² A (tan² A sec² A – sec² A + 1 )

= tan² A ( ( sec² A ) ( tan² A – 1 ) + 1 )

= tan² A ( ( tan² A + 1 ) ( tan² A – 1 ) + 1)

= tan² A ( tan⁴ A – 1 + 1 )

= tan⁶ A

Terbukti bahwa memang tan⁶  A = tan⁴ A . sec² A – tan² A . sec² A + sec² A – 1

Wah, kumpulan contoh soal identitas trigonometri bagian pertama sudah kamu pelajari. Lanjut ke bagian kedua di bawah ini, ya!

Kumpulan Contoh Soal Identitas Trigonometri dan Jawabannya bagian II

Berikut ini beberapa contoh soal materi identitas trigonometri lengkap dengan jawabannya:

Contoh Soal 6

Berapakah nilai dari ( – 6 cos 3 A – 4 sin 2 A )² + ( 4 cos 3 A – 6 sin 2 A )² !

Pembahasan:

Diketahui:

( – 6 cos 3 A – 4 sin 2 A )² + ( 4 cos 3 A – 6 sin 2 A )²

Ditanyakan:

Nilai dari operasi tersebut.

Jawaban: 

Ingat bahwa:

( p + q )² = p² + 2pq + q²

( p – q )² = p² – 2pq + q²

Gunakanlah persamaan tersebut untuk menyelesaikan soal tersebut.

( – 6 cos 3 A – 4 sin 2 A )² + ( 4 cos 3 A – 6 sin 2 A )²

= { ( -6 cos 3 A )² – ( 2 ) – 6 cos 3 A ) ( 4 sin 2 A ) ) + ( 4 sin 2 A )²} + { ( 4 cos 3 A )² – ( 2 ( 4 cos 3 A ) ( 6 sin 2 A ) ) + ( 6 sin 2 A )² }

= ( 36 cos² 3 A + 48 cos 3 A sin² A + 16 sin² 2 A ) + ( 16 cos²  3 A – 48 cos 3 A sin² A + 36 sin² 2 A )

= 36 cos² 3 A + 36 sin² 2 A + 16 sin² 2 A + 16 cos² 3 A

= 36 ( cos² 3 A + sin² 2 A ) 16 ( sin² 2 A + cos² 3 A )

= 52 ( cos² 3 A + sin² 2 A )

Jadi, nilai dari ( – 6 cos 3 A – 4 sin 2 A )² + ( 4 cos 3 A – 6 sin 2 A )²

adalah 52 ( cos² 3 A + sin² 2 A )

Contoh Soal 7

Diberikan persamaan trigonometri berikut ini:

( – 7 cos 3 A – sin 2 A )² + ( cos 3 A – 7 sin 2 A )²

Tentukanlah nilai dari operasi tersebut!

Pembahasan:

Diketahui:

( – 7 cos 3 A – sin 2 A )² + ( cos 3 A – 7 sin 2 A )²

Ditanyakan:

Hasil hitung operasinya!

Jawaban:

Ingatlah persamaan berikut:

( p + q )² = p² + 2pq + q²

( p – q )² = p² – 2pq + q²

Untuk mengerjakan soal di atas, substitusikan caranya pada persamaan tersebut sehingga:

( – 7 cos 3 A – sin 2 A )² + ( cos 3 A – 7 sin 2 A )²

= { ( – 7 cos 3 A )² – ( 2 ) – 7 cos 3 A ) ( sin 2 A ) + ( sin 2 A )²} + { 2 ( cos 3 A ) ( 7 sin 2 A ) + ( 7 sin 2 A )² }

= ( 49 cos² 3 A + 14 cos 3 A sin 2 A + sin² 2 A + cos² 3 A – 14 cos 3 A sin 2 A + 49 sin²  2 A )

= 50 cos² 3 A + 50 sin² 2 A

= 50 ( cos²  3 A + sin² 2 A )

Jadi, nilai dari operasi trigonometri ( – 7 cos 3 A – sin 2 A )² + ( cos 3 A – 7 sin 2 A )²

adalah = 50 ( cos²  3 A + sin² 2 A ).