Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian – Induksi matematika merupakan materi ilmu matematika yang paling sering dijumpai, apalagi kalau menempuh pendidikan di jurusan IPA.

Induksi matematika merupakan metode pembuktian tertentu secara deduktif guna melakukan pembuktian dari pernyataan benar maupun salah.

Ini melibatkan proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan tertentu berdasarkan kebenaran apa yang berlaku secara umum.

Mengenal Apa Itu Induksi Matematika 

Bagi pecinta ilmu matematika pasti sudah tidak merasa asing dengan yang namanya induksi matematika.

Induksi matematika adalah semacam cara maupun metode pembuktian absah guna membuktikan pernyataan matematika benar atau salah.

Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif.

Jadi, induksi matematika dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan serta kombinatorika. 

Pecinta matematika memakai induksi matematika guna memberikan penjelasan terkait pernyataan matematika yang sudah diketahui kebenarannya.

Prinsip induksi matematika bisa dijelaskan secara umum yakni asumsi induktif serta induksi dasar. 

Induksi matematika membutuhkan kecermatan tersendiri, meskipun terlihat cukup sederhana.

Agar bisa memahami induksi matematika dengan baik, maka sebaiknya mencari tahu tentang contoh soal induksi matematika dan jawabannya lengkap. 

Sejarah Induksi Matematika 

Tahukah Anda bahwa induksi matematika sudah ada sejak lama. Induksi matematika bermula pada akhir dari abad ke 19 yang juga dipelopori oleh dua orang matematikawan bernama G.Peano Dedikind dan R. Dedekind. 

Kedua tokoh tersebut tengah mengembangkan sekumpulan aksioma yang mampu menggambarkan bentuk bilangan yaitu bilangan positif.

Peano memperbaiki bagian aksioma tersebut serta memberikannya interpretasi yang jauh lebih logis.

Kemudian, semua aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano dan ditemukan sekitar tahun 1890an.

Lalu, ini disebut sebagai rumusan formula bagi konsep bilangan asli. Sejumlah hukum atau ketentuan Postulat Peano di antaranya:

1. 1 merupakan anggota N. 
2. Tiap-tiap anggota x N memiliki prinsip pengikut yakni p(x) ∈N.
3. Dua bentuk bilangan di N yang memiliki perbedaan juga memiliki pengikut berbeda. 
4. 1 bukan menjadi pengikut dari bilangan x N manapun. 
5. Apabila subhimpunan S C N memuat 1 bagian dan pengikut lainnya dari setiap bilangan di S, maka S – N. Ini sudah pasti dan tidak terelakan lagi. 

Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika 

Induksi matematika sebetulnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli.

Agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, maka dibutuhkan dua langkah penting. 

Langkah Basis 

Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika.

Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1. 

Langkah Induksi 

Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1. 

Prinsip Induksi Matematika 

Ketika ingin mempelajari induksi matematika, maka sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu.

Setidaknya ada 4 prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, di antaranya seperti berikut.

1. Basis = tunjukkan p(1) adalah benar.
2. Induksi = misalnya p(n) adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1
3. Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p (n) adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesis induksi.
4. Kesimpulan = pembuktian bahwa p (n+1) adalah benar. 

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap 

Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya.

Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal.

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 1

Buktikanlah jika 3²ⁿ + 22_n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

3²⁽¹⁾ + 2²⁽¹⁾⁺² = 3² + 2⁴ = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

3^2k + 2^{2k + 2}

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 3^2(k+1) + 2^2(2k+2) 

= 3^2k+2 + 2^2k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(3^2k) + 5(2^2k+2) – 3^2k – 2^2k+2

= 10 (3^2k) + 5 (2^2k+2) – (3^2k + 2^2k+2)

Diperoleh:

10 (3^2k) sudah habis dibagi 5, 5(2^2k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(3^2k) + 2^2k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2n = 2ⁿ⁺¹ – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 2⁰ = 1

Jika p(n) benar, yakni 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 2⁰  + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2n+1 = (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi). 

= (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1

= (2.2ⁿ⁺¹) – 1

= 2ⁿ⁺² – 1 

= 2^(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1. 

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 2

Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n².

Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 1² = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilangan ganjil yang positif pertama ialah 1. 

Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, yakni:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = n²

Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (n+1) juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)² adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n² + (2n + 1)

= n² + 2n + 1

= (n + 1)²

Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n². 

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 3

Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n².

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n². Maka akan mampu menunjukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N. 

Langkah Pertama

Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda.

Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu.

Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 1². Jadi, p(1) adalah benar. 

Langkah Induksi 

Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(k) adalah benar, yaitu: 

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k², k N

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + (2(k + 1) – 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)² 

Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(n) adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli. 

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 4

Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi. 

Langkah Awal 

Langkah ini akan menunjukkan jika p(1) adalah benar. 6¹ + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar. 

Langkah Induksi 

Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka 6^k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu  6^k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k) + 4

6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4 

Jika 5(6^k) telah habis dibagi 5 dan 6^k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6^k) + 6^k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar. 

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 5

Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n₀ N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2).

Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi. 

Langkah Awal 

n = 1 

12 = 1/6 1 (1 + 1) (1 + 2) 

1 = 1 adalah benar terbukti.

Langkah Induksi 

n = k 

1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) juga adalah benar. 

Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n₀ N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2). Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya.

Penutup

Contoh soal induksi matematika dan jawabannya tersebut kiranya bisa membuat Anda jauh lebih memahami tentang ilmu sains ini.

Apabila langsung mempraktikannya, tentu ilmunya akan selalu melekat di kepala. Semoga bermanfaat

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta