Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian

Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika 

Induksi matematika sebetulnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli.

Agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, maka dibutuhkan dua langkah penting. 

Langkah Basis 

Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika.

Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1. 

Langkah Induksi 

Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1. 

Prinsip Induksi Matematika 

Ketika ingin mempelajari induksi matematika, maka sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu.

Setidaknya ada 4 prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, di antaranya seperti berikut.

1. Basis = tunjukkan p(1) adalah benar.
2. Induksi = misalnya p(n) adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1
3. Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p (n) adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesis induksi.
4. Kesimpulan = pembuktian bahwa p (n+1) adalah benar. 

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap 

Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya.

Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal.

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 1

Buktikanlah jika 3²ⁿ + 22_n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

3²⁽¹⁾ + 2²⁽¹⁾⁺² = 3² + 2⁴ = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

3^2k + 2^{2k + 2}

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 3^2(k+1) + 2^2(2k+2) 

= 3^2k+2 + 2^2k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(3^2k) + 5(2^2k+2) – 3^2k – 2^2k+2

= 10 (3^2k) + 5 (2^2k+2) – (3^2k + 2^2k+2)

Diperoleh:

10 (3^2k) sudah habis dibagi 5, 5(2^2k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(3^2k) + 2^2k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2n = 2ⁿ⁺¹ – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 2⁰ = 1

Jika p(n) benar, yakni 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 2⁰  + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2n+1 = (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi). 

= (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1

= (2.2ⁿ⁺¹) – 1

= 2ⁿ⁺² – 1 

= 2^(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1. 

Halaman:

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta