Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian

Induksi matematika merupakan metode pembuktian tertentu secara deduktif guna melakukan pembuktian dari pernyataan benar maupun salah.

27 Oktober 2024 Mamikos

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 2

Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n².

Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 1² = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilangan ganjil yang positif pertama ialah 1.

Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, yakni:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = n²

Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (n+1) juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)² adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n² + (2n + 1)

= n² + 2n + 1

= (n + 1)²

Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n².

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 3

Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n².

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n². Maka akan mampu menunjukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N.

Langkah Pertama

Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda.

Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu.

Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 1². Jadi, p(1) adalah benar.

Langkah Induksi

Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(k) adalah benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k², k N

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + (2(k + 1) – 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(n) adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli.

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya 4

Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi.

Langkah Awal

Langkah ini akan menunjukkan jika p(1) adalah benar. 6¹ + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar.

Langkah Induksi

Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka 6^k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu 6^k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k) + 4

6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Jika 5(6^k) telah habis dibagi 5 dan 6^k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6^k) + 6^k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar.

Halaman: