Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya, Yuk Kita Pelajari!

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya, Yuk Kita Pelajari! — Salah satu materi yang penting dipelajari dalam matematika adalah integral. Namun, materi ini dirasa cukup rumit dan sulit dipelajari.

Salah satu teknik yang efektif untuk menyederhanakan integral adalah dengan metode integral substitusi. Metode ini akan membuat integral jadi lebih mudah untuk diselesaikan.

Di artikel ini Mamikos akan membahas sekilas mengenai integral substitusi dilengkapi dengan contoh soal integral substitusi beserta jawabannya hingga memudahkan kamu untuk belajar. Simak, ya!

Pengertian Integral Substitusi

Sebelum kita berlatih dengan soal dan mengevaluasi kemampuan melalui contoh soal integral substitusi beserta jawabannya, Mamikos akan mengajak kamu memahami definisi integral substitusi terlebih dahulu.

Apa sih integral substitusi itu?

Integral substitusi adalah metode integral untuk menyelesaikan persamaan dengan mengubah persamaan yang sulit menjadi lebih sederhana.

Untuk melakukan metode ini, kamu perlu memilih bagian integral untuk diganti dengan variabel baru.

Berikut Mamikos akan jelaskan cara lebih mudah untuk memahami integral substitusi:

1.    Identifikasi bagian integral yang akan diganti dengan cara mengganti persamaan dengan variabel tunggal, biasanya dilambangkan sebagai 𝑢.

2.    Ganti bagian yang teridentifikasi dengan 𝑢 dan sesuaikan dengan diferensial 𝑑𝑥 yang sesuai.

3.    Lakukan integrasi pada bagian 𝑢, yang seharusnya sudah jadi lebih sederhana.

4.    Ganti kembali 𝑢 dengan persamaan yang asli.

Rumus Umum Integral Substitusi

Sebelum kita membahas mengenai contoh soal integral substitusi beserta jawabannya, kita harus tahu dulu rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan dalam soal.

Di bawah ini adalah rumus umum yang digunakan untuk menyelesaikan integral substitusi:

Berikut ini rumus dan cara menggunakan rumus ini dalam soal akan dijelaskan di bawah ini, simak ya!

Dalam metode substitusi integral, kita sering kali mengganti bagian dari integral dengan variabel baru yang kita sebut 𝑢.

Cara ini akan membantu kita menyederhanakan integral yang kompleks. Sedangkan 𝑓(𝑢) adalah fungsi yang akan kita integralkan, dan 𝑢 adalah substitusi yang kita buat dari 𝑥.

Di bawah ini Mamikos akan menjelaskan cara mengaplikasikan rumus ini dalam soal atau persamaan:

1. Langkah Pertama (Substitusi)

Kita harus menentukan bagian dari integral untuk digantikan dengan 𝑢. Misalnya, jika 𝑢 = 𝑔(𝑥), maka kamu harus menghitung turunan 𝑢 terhadap 𝑥, yang dilambangkan sebagai ​.

2. Langkah Kedua (Menyesuaikan dx)

Setelah itu, kita memiliki 𝑑𝑥 yang harus diubah menjadi 𝑑𝑢. Hal ini dilakukan dengan mengubah menjadi .  Jadi, 𝑑𝑥 dapat digantikan dengan .

3. Langkah Ketiga (Integrasi)

Dengan begitu, integral kit telah berubah dari variabel 𝑥 ke variabel 𝑢.  Kamu bisa mengintegralkan fungsi 𝑓(𝑢) terhadap 𝑑𝑢, bukan 𝑑𝑥.

4. Langkah Keempat (Mengembalikan Substitusi)

Setelah menemukan nilai integral menjadi bentuk 𝑢, kita harus mengganti 𝑢 kembali ke dalam bentuk 𝑥 untuk mendapatkan jawaban akhir dalam bentuk variabel asli.

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya

Untuk mengevaluasi pemahaman kamu mengenai materi integral substitusi yang sudah dibahas sebelumnya,

Mamikos akan memberikan contoh soal integral substitusi beserta jawabannya dari materi ini hingga bisa kamu gunakan untuk bahan latihan.

Di bawah ini adalah contoh-contoh soal integral substitusi beserta jawabannya yang bisa kamu pelajari ya!

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya Bagian 1

Hitung integral dari fungsi berikut:

Penyelesaian:

1. Pilih Substitusi

Dari soal yang diketahui, kita pilih substitusi yang memudahkan menghilangkan eksponen dari 𝑥 dalam integral. Pilih: 𝑢 = 𝑥³+5

Kemudian, hitung 𝑑𝑢:

2. Sesuaikan 𝑑𝑥

Dari persamaan di atas, kita dapat mengubah 𝑑𝑥 ke dalam bentuk 𝑑𝑢:

3. Substitusi ke dalam Integral

Substitusi nilai 𝑢 dan 𝑑𝑥 yang sudah dihitung ke dalam integral:

Seperti sebelumnya, 𝑥² di pembilang dan penyebut akan saling menghilangkan:

4. Integrasi:

Sekarang kita tinggal mengintegralkan 𝑢⁷:

Jadi hasil dari

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya Bagian 2

Hitung integral dari fungsi berikut: !

Penyelesaian:

Fungsi yang diintegralkan adalah 12𝑥².

Untuk mengintegralkan fungsi 𝑥^𝑛, rumusnya adalah 𝑥 ^𝑛+1 / 𝑛+1

Dalam kasus ini, 𝑛=2, jadi:

                 = 12. 𝑥³ /3

                 = 4 𝑥³  + c

Setelah mengintegralkan, kita perlu menambahkan konstanta integrasi 𝐶 yang merupakan bagian dari solusi umum untuk integral tak tentu.

Jadi,

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya Bagian 3

Hitung integral dari fungsi berikut: !

Penyelesaian:

Kita akan memilih substitusi yang memudahkan pengintegrasian dengan mengurangi kompleksitas integral yaitu 𝑢 = 𝑥⁴− 1

Selanjutnya, hitung du:

𝑑𝑢 = 4𝑥³ 𝑑𝑥

Kita wajib menyesuaikan 𝑑𝑥 dengan cara di bawah ini:

Dari persamaan 𝑑𝑢 = 4𝑥³ 𝑑𝑥 kita dapat menyatakan 𝑑𝑥 dalam bentuk 𝑑𝑢:

𝑑𝑥 = 𝑑𝑢/4𝑥³

Selanjutnya substitusi ke dalam integral dengan cara menggantikan 𝑥⁴−1 dengan u dan 𝑑𝑥 dengan 𝑑𝑢/4𝑥³ .

x³ dalam pembilang dan penyebut saling menghilangkan, menyederhanakan integral: =∫2𝑢⁶ 𝑑𝑢

Selanjutnya integralkan 𝑢⁶:

∫2𝑢⁶ 𝑑𝑢=2⋅ 𝑢⁷ /7+𝐶

Jadi,

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya Bagian 4

Hitunglah integral berikut menggunakan menggunakan metode substitusi!

Penyelesaian:

Kita misalkan terlebih dahulu persamaan di atas. Agar menjadikan fungsi di atas lebih sederhana, maka kita akan memisalkan sebagai berikut: u = 2x+4

Maka

dx = du/2

Akan kita dapatkan,

Ingat bahwa konstanta bisa kita tarik ke posisi sebelum simbol integral, sehingga kita bisa mendapatkan:

Kita kembalikan pemisalan tadi menjadi bentuk aslinya, maka hasil yang kita dapatkan adalah:

Jadi,

Integral Substitusi dengan Trigonometri

Setelah kita memahami tentang integral substitusi dan contoh soal integral substitusi beserta jawabannya di atas,

Mamikos ingin mengajak kamu untuk belajar sekilas mengenai penerapan metode ipengerjaan integral substitusi dalam trigonometri.

Integral substitusi juga bisa diterapkan untuk menyederhanakan integral yang melibatkan fungsi trigonometri. 

Integral substitusi trigonometri sering digunakan ketika integral melibatkan ekspresi seperti , , atau . Ketiga ekspresi ini memakai penggunaan fungsi trigonometri sinus, tangen, atau sekan, masing-masing, untuk menyederhanakan integral.

Langkah-Langkah Umum Substitusi Trigonometri:

Perhatikan integral kita dan tentukan apakah ada pola khusus yang menyerupai bentuk kuadrat yang disebutkan di atas. Berdasarkan bentuknya:

  , gunakan x=a sin(θ)

  , gunakan x=atan(θ)

, gunakan x= asec(θ)

1. Substitusikan 𝑥 dengan bentuk trigonometri yang sesuai, dan hitung diferensial 𝑑𝑥 dari substitusi tersebut. Misalnya, jika 𝑥=𝑎 sin (𝜃), maka 𝑑𝑥=𝑎cos (𝜃)𝑑𝜃.

2. Ganti 𝑥 dan 𝑑𝑥 dalam integral asli dengan fungsi trigonometri dan diferensialnya. Ini akan mengubah integral dari variabel 𝑥 menjadi variabel 𝜃.

3. Selesaikan integral dalam bentuk trigonometri.

4. Setelah integral terhadap 𝜃 diselesaikan, gantikan kembali 𝜃 dengan ekspresi yang melibatkan 𝑥 untuk kembali ke variabel asli.

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya (Trigonometri)

Selesaikan persamaan ini !

Penyelesaian:

Hal pertama yang wajib kita lakukan adalah identifikasi pola dan memilih substitusi. Dari soal, kita melihat bahwa bentuk integral dalam soal menyerupai di mana .

Kali ini, kita akan menggunakan substitusi:

Kemudian, hitung diferensial 𝑑𝑥:

Langkah kedua lakukan substitusi ke dalam integral dengan menggantikan 𝑥 dan 𝑑𝑥 dalam integral melalui langkah-langkah berikut ini:

Karena 1−sin²(𝜃)=cos²(𝜃) maka integral menjadi:

= 3∫cos²(θ)dθ

Gunakan identitas trigonometri untuk mengintegralkan cos²(𝜃):

Kita perlu mengganti kembali θ dengan 𝑥. Dari substitusi awal 𝑥=sin(𝜃), kita dapat menulis:

Jadi,

Untuk sin (2𝜃), gunakan identitas trigonometri:

sin (2𝜃) =2 sin (𝜃)cos (𝜃)

Dari dan

Maka integral dalam variabel x menjadi:

Jadi penyelesaiannya adalah

  

Penutup

Dengan belajar melalui contoh soal integral substitusi beserta jawabannya yang Mamikos sediakan, kamu mungkin sudah mendapatkan gambaran mengenai cara integral substitusi menyederhanakan dan menyelesaikan persamaan.

Semoga definisi singkat dan contoh-contoh yang disajikan dalam artikel ini membantu proses belajar kamu dan membuatmu lebih memahami konsep integral substitusi.

Jangan lupa untuk membaca bagian FAQ di akhir artikel ini kalau ada yang masih ingin kamu tayakan. Selamat belajar, adik-adik!

FAQ

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta