Contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat dan Cara Menentukannya

Contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat dan Cara Menentukannya — Persamaan grafik fungsi kuadrat adalah salah satu topik dalam matematika yang sering muncul dalam pembelajaran.

Namun, menemukan cara untuk memecahkan dan memahami persamaan kuadrat bisa jadi tantangan tersendiri bagi para siswa.

Untuk itu, Mamikos akan membahas mengenai contoh soal persamaan grafik fungsi kuadrat dalam artikel ini, simak ya!

Pengertian Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Sebelum kita membahas mengenai contoh soal persamaan grafik fungsi kuadrat maka kita akan membahas sedikit mengenai pengertian persamaan grafik fungsi kuadrat. Jadi, apakah definisi atau pengertian dari persamaan grafik fungsi kuadrat?

Persamaan grafik fungsi kuadrat merupakan gambaran matematika dalam sistem koordinat Cartesian. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti ini: f(x)=αx²+bx+c

di mana:

• α, b, dan c adalah koefisien yang menentukan bentuk parabola,
• x adalah variabel bebas,
• f(x) atau y adalah variabel terikat, yang merupakan hasil atau output dari fungsi.

Hubungan antara Koefisien dengan Grafik Fungsi Kuadrat

Selanjutnya kita akan membahas sekilas mengenai bagaimana koefisien α, b, dan c dalam persamaan kuadrat y= αx²+bx+c mempengaruhi bentuk dan posisi grafik fungsi kuadrat.

A. Koefisien α

Koefisien α adalah koefisien kuadrat yang mempengaruhi arah dan lebar parabola. Di bawah ini merupakan poin-poin penting mengenai koefisien α:

• Jika α > 0, kurva membuka ke atas (membentuk cekungan ke atas), dan jika α< 0 < maka kurva membuka ke bawah (membentuk cekungan ke bawah).
• Semakin besar nilai absolut α, semakin sempit parabola (grafik semakin curam).
• Semakin kecil nilai absolut α, semakin lebar parabola (grafik semakin datar).

B. Koefisien b

Koefisien b adalah koefisien linear yang mempengaruhi posisi sumbu simetri dan titik puncak (vertex) parabola. Untuk memahami pengaruh b, kita perlu menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna.

C. Koefisien C

Koefisien c adalah konstanta yang mempengaruhi posisi titik potong parabola dengan sumbu y. Semakin besar nilai c, semakin tinggi parabola memotong sumbu y; semakin kecil nilai c, semakin rendah parabola memotong sumbu y.

Cara Merumuskan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Grafik

Untuk merumuskan fungsi kuadrat berdasarkan grafik, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi nilai-nilai yang diketahui pada grafik tersebut.

Berdasarkan informasi ini, kita dapat memilih rumus yang sesuai untuk merumuskan fungsi kuadrat, di antaranya:

1. Jika Diketahui 2 Titik pada Sumbu X

Apabila grafik menunjukkan dua titik di mana parabola memotong sumbu x, kita dapat menggunakan rumus: y = α (x – x₁) (x – x₂)

Ketika x₁ serta x₂ merupakan dua titik di mana grafik memotong sumbu x. Rumus ini dapat diterapkan oleh karena di titik-titik ini, y = 0.

2. Jika Diketahui Titik Puncak (xp, yp) dan 1 Titik Sembarang

Apabila grafik menunjukkan titik di puncak parabola (xp, yp) serta suatu titik sembarang, kita bisa menerapkan rumus: y = α (x – x_p )² + y_p

Di mana (x_p, y_p) adalah koordinat titik puncak, dan aaa dapat dihitung jika kita mengetahui satu titik tambahan.

3. Jika Diketahui 3 Titik Sembarang

Jika grafik menunjukkan tiga titik sembarang, kita dapat menggunakan bentuk umum dari fungsi kuadrat: y = αx²+bx+c

Kemudian, kita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menemukan nilai α, b, dan c dengan memasukkan koordinat ketiga titik tersebut ke dalam persamaan dan menyelesaikan sistem persamaan linear.

Contoh-contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk meningkatkan keterampilan kamu dalam menyelesaikan soal maka Mamikos akan menyajikan contoh soal persamaan grafik fungsi kuadrat yang bisa kamu gunakan sebagai bahan belajar dan latihan. Jadi, simak terus ya!

Contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat 1

Diketahui titik puncak atau titik balik dari suatu fungsi kuadrat, yaitu di titik (2,4). Kemudian sudah diketahui pula satu titik sembarang pada koordinat (1,5). Coba rumuskan fungsi kuadratnya!

Penyelesaian

Diketahui dari soal bahwa:

• Titik puncak yaitu (2, 4)
• Titik sembarang yaitu (1, 5)

Nah, sesuai penjelasan tadi, jika pada grafik diketahui titik puncak (xp, yp) dan satu titik sembarang, maka kita menggunakan rumus: y = α (x – x_p)² + y_p

Mamikos akan uraikan penyelesaian soalnya di bawah ini ya!

Gunakan rumus yang ada: y = α (x – x_p)² + y_p

Substitusikan titik sembarang ke dalam rumus untuk menemukan nilai α seperti ini:

y = α (x – x_p)² + y_p

5 = α (1 – 2)² + 4

5 = α (–1)² + 4

5 = α (1) + 4

5 = α + 4

Cari nilai α:

5 = α + 4

2– 4 = α

α = 1

Fungsi kuadrat dapat kita cari dengan menyubstitusikan titik puncaknya (2,4) serta nilai α = 1:

y = α (x – x_p)² + y_p = 1 (x – 2)² + 4

y = x² – 4x+ 4+ 4

y = x² – 4x+ 8

Jadi dari grafik tersebut dapat kita rumuskan bahwa fungsi kuadratnya adalah: f (x)= x² – 4x+ 8

Contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat 2

Apabila titik balik suatu fungsi kuadrat ada di titik (4,7), selain itu, diketahui juga satu titik sembarang yaitu (3,3). Rumuskanlah fungsi kuadratnya!

Penyelesaian

Diketahui dari soal bahwa:

• Titik puncak (xp, yp) koordinatnya di (4, 7)
•  Titik sembarang koordinatnya di (3, 3)

Apabila pada grafik diketahui titik puncak (xp, yp) dan satu titik sembarang, maka kita menggunakan rumus: y = α (x – x_p)² + y_p

y = α (x – x_p)² + y_p

3 = α (3 – 4)² + 7

3 = α (–1)² + 7

3 = α (1) + 7

3 = α + 7

Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai α dengan cara

3 = α + 7

3 – 7 = α

α = –4

Ketika titik puncaknya ada di (4, 7) serta nilai α = –4, maka fungsi kuadratnya menjadi:

y = α (x – x_p)² + y_p  = –4 (x – 4)² + 7

y = –4 (x² – 8x+ 16) + 7

y = –4x² +32x – 64 +7

y = –4x² +32x – 57

Jadi, didapatkan fungsi kuadratnya yaitu f (x)= –4x² +32x – 57

Contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat 3

Dengan tidak melihat grafik, diketahui sebuah titik puncak atau titik balik dari suatu fungsi kuadrat di titik (0,5). Kemudian, diketahui juga satu titik sembarang yaitu (6,8). Tuliskan fungsi kuadratnya!

Penyelesaian:

Diketahui dari soal bahwa:

• Titik puncak (xp, yp) = (0, 5)
• Titik sembarang = (6, 8)

Diketahui titik puncak (xp, yp) serta satu titik sembarang, maka kita gunakan rumus: y = α (x – x_p)² + y_p

Substitusikan titik sembarang ke rumus untuk menemukan nilai α!

y = α (x – x_p)² + y_p

8 = α (6 – 0)² + 5

8 = α (6)² + 5

8 = 36α + 5

36α = 8 – 5

36α = 3

α = 3/36

α = 1/12

Karena titik puncaknya di (0, 5) dan nilai α = 1/12, maka fungsi kuadratnya adalah:

y = α (x – x_p)² + y_p

y = = 1/12 (x – 0)² + 5

y = 1/12 x² + 5

Jadi, fungsi kuadratnya adalah: f (x)= 1/12 x² + 5

Contoh Soal Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat 4

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik puncak (0,6) dan titik sembarang (7,1)!

Penyelesaian:

Diketahui dari soal bahwa:

• Titik puncak (xp, yp) = (0, 6)
• Titik sembarang = (7, 1)

Terapkan titik sembarang ke rumus y = α (x – x_p)² + y_p:

y = α (x – x_p)² + y_p

1 = α (7– 0)² + 6

1= α (7)² + 6

1 = 49α + 6

49α = 1 – 6

49α = – 5

α = -5/49

Karena titik puncaknya di (0, 6) dan nilai α = -5/49, maka fungsi kuadratnya adalah:

y = α (x – x_p)² + y_p

y = -5/49 (x – 0)² + 6

y = -5/49 x² + 6

Jadi, bisa kita rumuskan fungsi kuadratnya merupakan: -5/49 x² + 6

Penutup

Dalam matematika, berlatih itu sangat perlu dilakukan agar kamu bisa menyelesaikan contoh soal yang diberikan baik saat belajar atau ujian.

Semoga contoh-contoh soal persamaan grafik fungsi kuadrat yang Mamikos berikan di atas bisa membantu kamu belajar. Semangat terus ya!

FAQ

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta