10 Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA dan Pembahasannya

Mempelajari materi persamaan trigonometri paling mudah adalah langsung dengan mengerjakan contoh-contoh soalnya. Oleh karena itu, artikel kali ini akan memberikan kamu berbagai contoh soal persamaan trigonometri beserta pembahasannya.

17 Juli 2024 Lintang Filia

Identitas digunakan adalah:

\[ \sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Jadi, persamaan yang kita kerjakan menjadi:

\[ 2 \sin \left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \cos \left(\frac{4x - 2x}{2}\right) = 0 \]

\[ 2 \sin(3x) \cos(x) = 0 \]

Kemudian kita cari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini:

1. sin(3x) = 0

Solusi untuk \( \sin(3x) = 0 \) adalah \( 3x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ \).

Jadi, \( x = 0^\circ, 60^\circ, 120^\circ \).

2. cos(x) = 0

Solusi untuk \( \cos(x) = 0 \) adalah \( x = 90^\circ, 270^\circ \).

Himpunan penyelesaian dari persamaan \( \sin 4x + \sin 2x = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \) adalah \( x = 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 270^\circ \).

Soal 4

Carilah semua solusi dari persamaan \( 2 \sin^2 x - \sin x = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \)!

Pembahasan:

Pertama, kita akan memfaktorkan persamaan tersebut:

\[ 2 \sin^2 x - \sin x = 0 \]

\[ \sin x (2 \sin x - 1) = 0 \]

Maka, solusinya:

\[ \sin x = 0 \quad \text{atau} \quad 2 \sin x - 1 = 0 \]

1. Untuk sin x = 0

Solusi dari \( \sin x = 0 \) adalah \( x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ \).

2. Untuk 2 sin x – 1 = 0

Solusi dari \( 2 \sin x - 1 = 0 \) adalah \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Jadi, \( x = 30^\circ \) dan \( x = 150^\circ \).

Jadi, solusi dari persamaan \( 2 \sin^2 x - \sin x = 0 \) adalah \( x = 0^\circ, 30^\circ, 150^\circ, 180^\circ, 360^\circ \).

Soal 5

Tentukan semua nilai x  yang memenuhi persamaan \( \cos^2 x = \frac{3}{4} \) untuk \( 0^\circ \leq x < 360^\circ \).

Pembahasan:

Mari cari nilai-nilai x terlebih dahulu yang memenuhi \( \cos^2 x = \frac{3}{4} \).

\[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Solusi untuk \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) adalah \( x = 30^\circ \) dan \( x = 330^\circ \).

Solusi untuk \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) adalah \( x = 150^\circ \) dan \( x = 210^\circ \).

Nilai \x yang memenuhi persamaan \( \cos^2 x = \frac{3}{4} \) adalah \( x = 30^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 330^\circ \).

Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA  No 6 – 10  

Soal 6

Carilah solusi dari persamaan trigonometri \( \cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \).

Pembahasan:

Faktorkan \[ \cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0 \]

Letakkan \( y = \cos x \), sehingga persamaan menjadi \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut menjadi \[ (y - 1)(y - 2) = 0 \]

Solusi yang ditemukan, yaitu:

\[ y - 1 = 0 \quad \text{atau} \quad y - 2 = 0 \]

\[ y = 1 \quad \text{atau} \quad y = 2 \]

Kembalikan variabel \( y \) ke \( \cos x \):

1. \( \cos x = 1 \): Solusi dari \( \cos x = 1 \) adalah \( x = 0^\circ \).

2. \( \cos x = 2 \): Tidak ada solusi dalam rentang \( \cos x \) yang valid karena cos x  tidak dapat melebihi 1.

Jadi, solusi dari persamaan \( \cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \) adalah \( x = 0^\circ \).

Baca Juga :

40 Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar dan Jawabannya

Soal 7

Diketahui terdapat persamaan trigonometri \( 2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \). Carilah semua solusinya.

Pembahasan:

Persamaanuntuk mencari nilai sin x :

2 \sin x = \sqrt{3}

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Solusi untuk \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) adalah \( x = 60^\circ \) dan \( x = 120^\circ \).

Solusi yang ditemukan dari persamaan \( 2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \) adalah \( x = 60^\circ \) dan \( x = 120^\circ \).

Soal 8

Tentukan semua solusi dari persamaan \( \sin^2 x + \cos x - 1 = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \).

Pembahasan:

Seperti soal sebelumnya, kita ubah dahulu persamaan dengan menggunakan identitas trigonometri:

\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]

Substitusikan ke dalam rumus \( \sin^2 x + \cos x - 1 = 0 \) sehingga menjadi:

\[ 1 - \cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \]

\[ - \cos^2 x + \cos x = 0 \]

\[ \cos x (\cos x - 1) = 0 \]

Maka, solusinya adalah:

\[ \cos x = 0 \quad \text{atau} \quad \cos x = 1 \]

1. Untuk \( \cos x = 0 \): Solusi dari \( \cos x = 0 \) adalah \( x = 90^\circ \) dan \( x = 270^\circ \).

2. Untuk \( \cos x = 1 \): Solusi dari \( \cos x = 1 \) adalah \( x = 0^\circ \).

Hasil solusi dari persamaan \( \sin^2 x + \cos x - 1 = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \) adalah \( x = 0^\circ, 90^\circ, 270^\circ \).

Soal 9

Carilah berbagai solusi dari persamaan \( 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \).

Pembahasan:

Seperti biasa faktorkan persamaan tersebut ke dalam rumus \[ 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \]

Masukkan y = cos x, sehingga persamaan menjadi \[ 2 y^2 - 5 y + 2 = 0 \]

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akarnya:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Di sini, a = 2, b = -5, dan c = 2 :

\[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} \]

\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \]

\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \]

\[ y = \frac{5 \pm 3}{4} \]

Maka, y bisa menjadi y = 2 atau \( y = \frac{1}{2} \).

Kembalikan variabel y ke cos x:

1. cos x = 2: Tidak ada solusi dalam rentang cos x yang valid karena cos x tidak dapat melebihi 1.

2. cos x = \frac{1}{2}: Solusi dari \( \cos x = \frac{1}{2} \) adalah \( x = 60^\circ \) dan \( x = 300^\circ \).

Hasil yang didapat dari \( 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \) yaitu \( x = 60^\circ \) dan \( x = 300^\circ \).

Tags
Contoh Soal Kelas 11
Latihan Soal Matematika
Close