Contoh-contoh Soal Variabel Acak Matematika dan Jawabannya Lengkap

Contoh-contoh Soal Variabel Acak Matematika dan Jawabannya Lengkap — Variabel acak membantu kita memahami ketidakpastian dan variasi dalam berbagai situasi.

Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi beberapa contoh soal variabel acak matematika beserta jawabannya.

Mamikos harap, contoh soal ini akan membantumu memahami konsep ini dengan lebih baik. Mari kita mulai mengerjakan contoh soal variabel acak dengan memahami sekilas tentang konsep dasarnya!

Berikut Contoh Soal Variabel Acak

Variabel acak adalah konsep dalam statistika yang mengacu pada suatu variabel yang nilainya tidak tetap atau pasti, tetapi berfluktuasi atau bervariasi secara acak tergantung pada hasil dari suatu percobaan acak.

Dalam contoh yang disebutkan dalam buku “Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi” oleh Dergibson Siagian, variabel acak adalah X, yang mewakili jumlah sisi muka yang muncul dalam dua kali pelemparan sekeping mata uang.

Variabel ini disebut variabel acak karena hasilnya tidak bisa diprediksi sebelumnya dan dapat bervariasi setiap kali kita melempar koin.

Dengan kata lain, variabel acak adalah suatu jenis variabel yang nilainya tidak tetap dan tergantung pada kejadian atau percobaan acak tertentu.

Variabilitas nilai-nilai ini menjadi fokus dalam analisis statistik, di mana kita mencoba untuk memahami distribusi dan karakteristik statistik dari variabel acak tersebut untuk membuat prediksi atau mengambil keputusan.

Variabel acak sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu, termasuk statistika, ekonomi, ilmu sosial, dan ilmu alam, untuk menggambarkan ketidakpastian dan variasi dalam data.

Ada dua jenis variabel acak utama:

Variabel Acak Diskrit

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang nilainya dapat dihitung atau dihitung secara terbatas dan memiliki kemungkinan-nilai terbatas.

Contoh variabel acak diskrit termasuk hasil lemparan dadu (angka 1 hingga 6), jumlah siswa dalam sebuah kelas, atau jumlah kejadian sukses dalam serangkaian uji coba.

Probabilitas suatu nilai dalam variabel acak diskrit diukur dengan fungsi massa probabilitas (probability mass function) yang menggambarkan seberapa sering masing-masing nilai terjadi.

Variabel Acak Kontinu

Variabel acak kontinu adalah variabel acak yang dapat mengambil nilai di dalam rentang berkelanjutan, seperti bilangan real.

Contoh variabel acak kontinu termasuk tinggi seseorang, waktu tunggu antara kedatangan bus, atau suhu udara.

Probabilitas suatu nilai dalam variabel acak kontinu diukur dengan fungsi densitas probabilitas (probability density function) yang menggambarkan seberapa padat distribusi nilai tersebut di sepanjang rentang kontinu.

Contoh penggunaan variabel acak termasuk memprediksi cuaca, mengukur peluang kesuksesan dalam bisnis, atau memodelkan perilaku partikel dalam fisika kuantum.

Variabel acak adalah alat penting dalam statistika inferensial dan teori probabilitas yang membantu kita membuat keputusan berdasarkan data yang tidak pasti.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 1

1. Di suatu pabrik, mesin produksi menghasilkan 100 produk per jam. Namun, ada kemungkinan 5% bahwa mesin akan mengalami kerusakan dan berhenti selama 10 menit sebelum bisa beroperasi lagi.

Berapa produk yang dihasilkan dalam 4 jam?

Jawaban:

Untuk menghitung jumlah produk yang dihasilkan dalam 4 jam, kita perlu mempertimbangkan waktu kerusakan.

Dalam 4 jam (240 menit), terdapat 20 periode 10 menit ketika mesin berhenti.

Jumlah produk dalam 4 jam = (4 jam – 20 x 10 menit) x 100 produk per jam

Jumlah produk dalam 4 jam = (4 x 60 menit – 200 menit) x 100 produk per jam

Jumlah produk dalam 4 jam = (240 menit – 200 menit) x 100 produk per jam

Jumlah produk dalam 4 jam = 40 menit x 100 produk per jam

Jumlah produk dalam 4 jam = 4.000 produk

Jadi, dalam 4 jam, mesin akan menghasilkan 4.000 produk.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 2

2. Sebuah restoran melayani 200 pelanggan setiap hari. Peluang bahwa seorang pelanggan akan memesan makanan penutup (dessert) adalah 40%.

Jika pelanggan memesan makanan penutup, peluang mereka memesan kue adalah 30%. Berapa pelanggan yang diperkirakan akan memesan kue setiap hari?

Jawaban:

Untuk menghitung jumlah pelanggan yang diperkirakan akan memesan kue, kita perlu mengalikan jumlah pelanggan dengan peluang mereka memesan makanan penutup dan kemudian dengan peluang mereka memesan kue.

Jumlah pelanggan yang memesan kue = 200 pelanggan x 0.40 (peluang memesan makanan penutup) x 0.30 (peluang memesan kue)

Jumlah pelanggan yang memesan kue = 24 pelanggan

Jadi, diperkirakan 24 pelanggan akan memesan kue setiap hari.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 3

3. Sebuah perusahaan penerbangan memiliki 8 pesawat yang digunakan untuk penerbangan harian.

Setiap pesawat memiliki peluang 5% untuk mengalami keterlambatan yang menyebabkan penerbangan tertunda selama 2 jam.

Berapa banyak penerbangan yang diperkirakan akan tertunda setiap hari?

Jawaban:

Untuk menghitung jumlah penerbangan yang diperkirakan akan tertunda, kita perlu mengalikan jumlah pesawat dengan peluang keterlambatan.

Jumlah penerbangan yang tertunda = 8 pesawat x 5% (peluang keterlambatan)

Jumlah penerbangan yang tertunda = 0.05 x 8

Jumlah penerbangan yang tertunda = 0.4 penerbangan

Jadi, diperkirakan ada 0.4 penerbangan (atau sekitar 2/5 penerbangan) yang akan tertunda setiap hari.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 4

4. Seorang penjual baju di sebuah toko melihat bahwa rata-rata 20% dari pelanggan yang datang ke toko pada hari Minggu membeli setidaknya satu baju.

Jika 150 pelanggan datang ke toko pada hari Minggu, berapa pelanggan yang diperkirakan akan membeli baju?

Jawaban:

Untuk menghitung jumlah pelanggan yang diperkirakan akan membeli baju, kita perlu mengalikan jumlah pelanggan dengan peluang mereka membeli setidaknya satu baju.

Jumlah pelanggan yang membeli baju = 150 pelanggan x 20% (peluang membeli baju)

Jumlah pelanggan yang membeli baju = 0.20 x 150

Jumlah pelanggan yang membeli baju = 30 pelanggan

Jadi, diperkirakan 30 pelanggan akan membeli baju pada hari Minggu.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 5

5. Seorang petani menanam dua jenis tanaman, padi dan jagung, di ladangnya. Peluang panen padi adalah 60%, dan peluang panen jagung adalah 40%.

Jika ia berhasil panen padi, ia mendapatkan keuntungan 800 juta rupiah. Namun, jika ia panen jagung, ia hanya mendapatkan keuntungan 600 juta rupiah.

Berapa keuntungan rata-rata yang dapat diharapkan oleh petani?

Jawaban:

Untuk menghitung keuntungan rata-rata yang dapat diharapkan oleh petani, kita perlu mengalikan keuntungan dari setiap panen dengan peluang panen masing-masing tanaman, lalu menjumlahkannya.

Keuntungan rata-rata = (Peluang panen padi x Keuntungan dari panen padi) + (Peluang panen jagung x Keuntungan dari panen jagung)

Keuntungan rata-rata = (0.60 x 800 juta rupiah) + (0.40 x 600 juta rupiah)

Keuntungan rata-rata = 480 juta rupiah + 240 juta rupiah

Keuntungan rata-rata = 720 juta rupiah

Jadi, keuntungan rata-rata yang dapat diharapkan oleh petani adalah 720 juta rupiah.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 6

6. Seorang pemain basket memiliki peluang 30% untuk mencetak gol dari jarak jauh dalam setiap percobaan.

Jika ia melakukan 10 percobaan tembakan dari jarak jauh, berapa peluang ia berhasil mencetak setidaknya 3 gol?

Jawaban:

Untuk menghitung peluang pemain basket berhasil mencetak setidaknya 3 gol dalam 10 percobaan, kita perlu menggunakan komplementer (menemukan peluang kebalikannya) dan menghitung peluang tidak berhasil mencetak kurang dari 3 gol.

Peluang mencetak kurang dari 3 gol dalam 10 percobaan = Peluang tidak mencetak gol (70%)^10 + Peluang mencetak 1 gol (30%) x Peluang tidak mencetak gol (70%)^9 + Peluang mencetak 2 gol (30%)^2 x Peluang tidak mencetak gol (70%)^8

Peluang mencetak setidaknya 3 gol dalam 10 percobaan = 1 – Peluang mencetak kurang dari 3 gol dalam 10 percobaan

Mari kita hitung:

Peluang mencetak kurang dari 3 gol dalam 10 percobaan = (0.70)^10 + (0.30)(0.70)^9 + (0.30)^2(0.70)^8

Peluang mencetak kurang dari 3 gol dalam 10 percobaan ≈ 0.02824

Peluang mencetak setidaknya 3 gol dalam 10 percobaan = 1 – 0.02824

Peluang mencetak setidaknya 3 gol dalam 10 percobaan ≈ 0.97176 atau sekitar 97.18%

Jadi, peluang pemain basket berhasil mencetak setidaknya 3 gol dalam 10 percobaan adalah sekitar 97.18%.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 7

7. Sebuah perusahaan memiliki dua mesin yang digunakan untuk menghasilkan produk.

Mesin A memiliki peluang 10% untuk menghasilkan produk cacat, sedangkan mesin B memiliki peluang 5% untuk menghasilkan produk cacat.

Jika perusahaan memilih mesin secara acak untuk setiap produk yang diproduksi, berapa peluang sebuah produk diproduksi oleh mesin A dan tidak cacat?

Jawaban:

Untuk menghitung peluang bahwa sebuah produk diproduksi oleh mesin A dan tidak cacat, kita perlu mengalikan peluang memilih mesin A (10%) dengan peluang produk yang tidak cacat jika diproduksi oleh mesin A (90%).

Peluang produk diproduksi oleh mesin A dan tidak cacat = Peluang memilih mesin A x Peluang produk tidak cacat jika diproduksi oleh mesin A

Peluang produk diproduksi oleh mesin A dan tidak cacat = 0.10 x 0.90

Peluang produk diproduksi oleh mesin A dan tidak cacat = 0.09

Jadi, peluang sebuah produk diproduksi oleh mesin A dan tidak cacat adalah 0.09 atau 9%.

Contoh Soal Variabel Acak Bagian 8

8. Seorang penjual asuransi memiliki peluang 25% untuk menjual polis asuransi kepada seorang pelanggan.

Jika ia bertemu dengan 10 pelanggan, berapa peluangnya ia berhasil menjual setidaknya 3 polis asuransi?

Jawaban:

Untuk menghitung peluang penjual asuransi berhasil menjual setidaknya 3 polis asuransi dari 10 pelanggan, kita perlu menggunakan distribusi binomial dan menjumlahkan peluang-peluang yang sesuai.

Peluang menjual setidaknya 3 polis asuransi = Peluang menjual 3 polis + Peluang menjual 4 polis + … + Peluang menjual 10 polis

Mari kita hitung:

Peluang menjual 3 polis asuransi = (10C3) x (0.25)^3 x (0.75)^7

Peluang menjual 4 polis asuransi = (10C4) x (0.25)^4 x (0.75)^6 …

Peluang menjual 10 polis asuransi = (10C10) x (0.25)^10 x (0.75)^0

Kita dapat menggunakan kalkulator atau perangkat lunak statistik untuk menghitungnya secara efisien.

Hasil akhir adalah peluang menjual setidaknya 3 polis asuransi adalah sekitar 99.03%.

Jadi, peluang penjual asuransi berhasil menjual setidaknya 3 polis asuransi dari 10 pelanggan adalah sekitar 99.03%.

Penutup

Variabel acak adalah alat yang kuat dalam matematika dan statistika yang membantu kita memodelkan dan memahami berbagai fenomena yang melibatkan ketidakpastian.

Dalam artikel ini, Mamikos telah berbagai contoh soal variabel acak matematika, dan memberikan jawaban lengkap untuk masing-masingnya.

Semoga artikel contoh soal variabel acak ini telah memberikan pemahaman yang lebih baik dan membantumu dalam mempersiapkan diri untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan variabel acak.

Dengan pengetahuan contoh soal variabel acak ini, kamu akan lebih siap dalam analisis data, pengambilan keputusan, dan pemecahan masalah dalam berbagai bidang.

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta