Rangkuman Materi Lingkaran dan Elips Kelas 12 SMA Kurikulum Merdeka
Rangkuman Materi Lingkaran dan Elips Kelas 12 SMA Kurikulum Merdeka — Lingkaran merupakan salah satu bentuk geometri yang unik.
Di kelas 12 SMA, kamu tidak hanya mempelajari lingkaran lebih lanjut, melainkan juga mempelajari bentuk geometri lain berupa elips.
Supaya kamu memahami dua bangun ini dengan baik, berikut Mamikos susun materi lingkaran dan elips kelas 12 SMA lengkap sesuai kurikulum merdeka.
Materi Lingkaran dan Elips Kelas 12 SMA
Daftar Isi
Daftar Isi
Materi lingkaran dan elips kelas 12 SMA kita akan dibuka dengan mempelajari tentang definisi atau pengertian lingkaran.
Dari benda yang kamu lihat pada kehidupan sehari-hari apa kamu sudah bisa mendefinisikan apa itu lingkaran? Nah, coba cocokan dengan uraian berikut.
Menurut Seluk Beluk Lingkaran yang disusun oleh Astuti (2019), lingkaran merupakan kurva tertutup yang memiliki sifat setiap titik lingkaran berjarak sama terhadap titik tertentu.
Nah, titik pada lingkaran itulah yang nantinya disebut sebagai titik pusat, sementara jarak yang tetap dari titik pusat ke titik tertentu disebut dengan jari-jari.
Persamaan Lingkaran
Materi lingkaran dan elips kelas 12 SMA selanjutnya adalah persamaan lingkaran.
Di kelas 12 SMA, kamu tidak lagi diminta untuk menghitung keliling atau luas lingkaran, melainkan kamu akan diminta untuk menuliskan persamaan lingkaran.
Persamaan ini bisa kamu tentukan apabila nantinya sudah diketahui berapa jari-jari serta titik pusatnya.
Jika, nantinya di soal keduanya belum diketahui, kamu wajib mencari dua unsur tadi terlebih dahulu.
Ada beberapa rumus persamaan lingkaran jika dilihat dari pusat lingkarannya, berikut penjelasan masing-masing lengkap dengan rumusnya.
A. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O (0,0)
Apabila pusat lingkaran terletak di titik O dengan koordinat (0,0), maka persamaan lingkaran yang kita dapatkan adalah:
x2 + y2 = r2
Di mana:
- x dan y adalah koordinat sembarang titik pada lingkaran.
- r adalah jari-jari lingkaran.
B. Persamaan Lingkaran dengan Pusat P (a,b)
Apabila pusat suatu lingkaran berada di titik P dengan koordinat (a,b), maka persamaan lingkaran yang didapatkan akan menjadi:
(x−a)2 + (y−b)2 = r2
Di mana:
- a dan b merupakan koordinat pusat lingkaran.
- r merupakan jari-jari lingkaran.
C. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Dalam materi lingkaran, terdapat bentuk umum persamaan lingkaran yang wajib diketahui yaitu sebagai berikut:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Di mana:
- A, B, serta C merupakan bilangan real
Kedudukan Suatu Titik terhadap Lingkaran
Materi lingkaran dan elips kelas 12 SMA yang selanjutnya perlu kamu kuasai adalah cara menentukan suatu titik terhadap lingkaran.
Apabila kita memiliki titik A(x,y) dan kita ingin menentukan kedudukannya terhadap suatu lingkaran menggunakan persamaan umum maupun baku, maka yang harus dilakukan adalah menyubstitusikan koordinat ke persamaan lingkaran.
Saat hal ini dilakukan maka hanya ada 3 kemungkinan yang akan terjadi, yaitu: titik A(x,y) akan terletak di dalam lingkaran, titik A tersebut di lingkaran atau titik A terletak di luar lingkaran.
Untuk menentukan bagaimana kedudukan titik terhadap lingkaran bisa dicari dengan menghitung nilai kuasa titik.
Nilai kuasa titik pada lingkaran ialah sebuah penggambaran posisi terkait sebuah titik pada lingkaran. Supaya kamu bisa tahu nilai kuasa titik, kamu cukup menyubstitusikan titik yang akan dicari ke persamaan lingkaran.
A. Titik A(x,y) di Dalam Lingkaran
Kita gunakan persamaan lingkaran berikut untuk mencari kedudukan titik A(x,y):
L ≡ (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Jika setelah dihitung nanti titik kuasa dari titik A(x,y) nilainya kurang dari nol atau bernilai negatif (FA(x,y) < 0), maka bisa disimpulkan benar bahwa titik A(x,y) letaknya ada di dalam lingkaran.
B Titik A(x,y) pada Lingkaran
Dengan menggunakan rumus yang sama seperti sebelumnya, yaitu:
L ≡ (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Kita substitusikan nilai koordinat titik A(x,y) kemudian apabila didapatkan hasil kuasa titik A9x,y) bernilai nol (FA(x,y) = 0), maka sudah terbukti bahwa titik A(x,y) itu letaknya ada pada lingkaran.
C Titik A(x,y) di Luar Lingkaran
Untuk membuktikan titik A(x,y) letaknya ada di luar lingkaran kita bisa menyubstitusikan nilai dari titik A(x,y) ke dalam persamaan:
L ≡ (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Kemudian cermati apabila nilai kuasa titik yang didapat lebih dari nol atau bernilai bilangan positif (FA(x,y) > 0),makan terbukti jika titik itu memang ada di luar lingkaran.
Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan sebuah garis Ax + By + C = 0 terhadap suatu lingkaran kita bisa menggunakan diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan setelah substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.
Maka, akan didapatkan tiga kemungkinan kedudukan garis itu sebagai berikut:
- Memotong: Apabila diskriminan > 0, garis memotong lingkaran di dua titik.
- Menyinggung: Apabila diskriminan = 0, garis menyinggung lingkaran hanya di satu titik.
- Tidak memotong: Apabila diskriminan < 0, garis tidak memotong lingkaran sama sekali.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung ialah garis yang bertemu dengan suatu lingkaran di suatu titik. Persamaan garis singgung lingkaran bisa dicari berdasarkan beberapa kondisi, yaitu:
A. Titik Singgung Telah Ditentukan
Misalkan kita akan mencari persamaan garis singgung g pada lingkaran L ≡ (x-a)2 + (y-b)2 = r2 di titik T(x,y), maka kita bisa mendapatkan persamaan akhir mencari garis singgung sebagai berikut:
Persamaan garis singgung g: r2 = (x-a) (x1-1) + (y-b) (y1-b)
B. Kemiringan Garis Singgung m Lingkaran Sudah Ditentukan
Dengan memisalkan persamaan garis singgung lingkaran yang akan kita cari dengan y = mx+n sedangkan persamaan lingkarannya L ≡ x2 + y2 = r2, maka kita tinggal memasukkan nilai y = mx + n ke persamaan lingkaran menjadi:
(x2 + m2) x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0
Kita juga bisa menentukan persamaan garis singgung lingkaran tadi yang memiliki kemiringan m dengan menerapkan rumus:
C. Sebuah Titik di Luar Lingkaran yang Telah Ditentukan
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui kalau titiknya ada di luar lingkaran, maka kamu bisa memanfaatkan haris polar atau garis singgung lingkaran.
Persamaan lingkaran: x2 + y2 = r2
Sedangkan persamaan garis polarnya adalah
xx1 + yy1 = r2
Pengertian Elips
Materi lingkaran dan elips kelas 12 SMA selanjutnya yang akan kita pelajari ialah bangunan geometri bernama elips.
Elips ialah kumpulan titik-titik dalam bidang datar yang jumlah jarak kedua titik tertentu selalu sama, kedua titik itu dinamai sebagai titik fokus.
Unsur-unsur Elips
Elips memiliki beberapa unsur yang menjadikannya bangun geometri yang khas, antara lain:
- Pusat (C): Titik yang letaknya tepat di tengah elips yang merupakan titik perpotongan antara sumbu mayor dan sumbu minor.
- Sumbu Mayor: Sumbu yang sangat panjang pada elips. Biasanya sumbu mayor melewati kedua fokus elips.
- Sumbu Minor: Sumbu yang terpendek serta tegak lurus terhadap sumbu mayor.
- Fokus (F1 dan F2): Fokus ialah titik tetap pada suatu elips yang menjadi dasar dalam menentukan bentuk elips.
- Eksentrisitas (e): Ukuran di antara 0 dan 1 (0 < e < 1) yang menggambarkan keovalan elips.
Biasanya e dihitung dengan menerapkan rumus e = c/a. Di mana c merupakan jarak dari pusat ke fokus, sedangkan a merupakan panjang semi-sumbu mayor.
Persamaan Elips
Persamaan elips bisa diekspresikan dengan berbagai bentuk tergantung dari posisi sumbu mayor serta di mana pusatnya.
Supaya kamu lebih menguasai materi lingkaran dan elips kelas 12 SMA, simak baik-baik penjelasan dan rumusnya!
A. Persamaan Elips dengan pusat O (0,0) dan Sumbu Mayornya adalah Sumbu X
Apabila pusat suatu elips ada di titik asal (0,0) sedangkan sumbu mayornya ada di sumbu x, maka persamaan elips itu adalah:
B. Persamaan Elips dengan Pusat O (0,0) dan Sumbu Mayornya adalah Sumbu Y
Kalau pusat suatu elips ada di titik asal (0,0) tapi sumbu mayornya ada di sumbu y, kita bisa menuliskan persamaan elips ini dengan rumus:
C. Persamaan Elips dengan Pusat P (m,n) dan Sumbu Mayornya Sejajar Sumbu X
Apabila pusat elips ada di titik P(m,n) sementara sumbu mayornya ternyata sejajar dengan sumbu x, kita bisa mencari persamaan elipsnya dengan rumus berikut ini:
D. Persamaan Elips dengan Pusat P (m,n) dan Sumbur Mayornya Sejajar Sumbu Y
Apabila pusat elips terletak pada titik P(m,n) sedangkan sumbu mayor elips itu sejajar dengan sumbu y, maka persamaan elipsnya diekspresikan lewat rumus:
Penutup
Demikian rangkuman materi lingkaran dan elips Kelas 12 SMA yang sudah Mamikos suguhkan lengkap beserta rumus-rumusnya.
Apabila kamu ingin mengetahui materi kelas 12 lainnya, kamu bisa menemukannya pada blog Mamikos, ya. Simak FAQ berikut supaya kamu makin mendalami materi lingkaran dan elips, yuk!
FAQ
Sifat-sifat khas lingkaran antara lain:
Seluruh titik pada lingkaran memiliki jarak yang sama dari pusat lingkaran
Lingkaran mempunyai simetri rotasi yang tidak terbatas
Lingkaran memiliki simetri cermin yang juga tidak terbatas
Garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran dinamakan diameter.
Rumus lingkaran yang paling umum adalah L = π r2
Ciri-ciri lingkaran antara lain:
Berbentuk dua dimensi
Seluruh titik pada lingkaran memiliki jarrah yang identic dari titik pusatnya
Lingkaran tidak mempunyai sudut atau sisi
Lingkaran merupakan bangun dua dimensi yang berupa kurva tertutup
Lingkaran tidak memiliki sisi karena lingkaran merupakan kurva tertutup yang memiliki jarak titik pusat ke titik tertentu yang sellau sama.
Rumus lingkaran jika titik titik pusatnya di O(0,0) adalah x2 + y2 = r2
Rumus lingkaran apabila titik pusatnya di P(a,b) adalah (x−a)2 + (y−b)2 = r2
Sedangkan, bentuk umum persamaan lingkaran yaitu x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: