Materi Vektor Matematika Tingkat Lanjut Kelas 11 SMA dan Penjelasannya Lengkap

4. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama jika memiliki besar dan arah yang sama. Dalam bentuk komponen, kedua vektor juga harus memiliki nilai yang sama.

Misalnya:

a = (5,2)

b = (5,2)

Maka a = b. Sebaliknya, jika salah satu komponennya berbeda atau arahnya berlawanan, kedua vektor tersebut tidak sama meskipun panjangnya bisa saja sama. Memahami konsep ini penting untuk menyelesaikan soal-soal operasi dan pembuktian vektor.

Rumus Panjang (Besar) Vektor

Panjang atau besar suatu vektor menunjukkan seberapa panjang vektor tersebut.

Jika:

a = (x,y)

maka panjang vektor dirumuskan sebagai:

|a| = √(x² + y²)

Contoh

Hitung panjang vektor:

a = (6,8)

Penyelesaian:

|a|

= √(6² + 8²)

= √(36 + 64)

= √100

= 10

Jadi, panjang vektor tersebut adalah 10 satuan.

Operasi Aljabar pada Vektor Matematika tingkat lanjut Kelas 11 SMA

Operasi pada vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, hingga perkalian titik (dot product). 

1. Penjumlahan Vektor (Metode Segitiga dan Jajar Genjang)

Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara geometris maupun secara aljabar.

a. Metode segitiga

Pada metode ini, pangkal vektor kedua ditempatkan di ujung vektor pertama. Hasil penjumlahan adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua.

b. Metode jajar genjang

Kedua vektor diletakkan dengan pangkal yang sama. Kemudian dibentuk sebuah jajar genjang. Diagonal jajar genjang merupakan hasil penjumlahan kedua vektor.

c. Secara aljabar:

Jika

a = (x₁,y₁)

dan

b = (x₂,y₂)

maka:

a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Contoh:

a = (2,5)

b = (4,3)

Maka:

a + b

= (2 + 4, 5 + 3)

= (6,8)

2. Pengurangan Vektor

Pengurangan dilakukan dengan mengubah tanda setiap komponen vektor kedua.

Rumus:

a − b

= (x₁ − x₂, y₁ − y₂)

Contoh:

a = (7,6)

b = (2,4)

Maka:

a − b

= (7 − 2, 6 − 4)

= (5,2)

Secara geometris, pengurangan juga dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan lawan vektor.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Skalar adalah bilangan biasa. Jika suatu vektor dikalikan dengan skalar k, maka setiap komponennya dikalikan dengan k.

Rumus:

k(a)

= (kx, ky)

Contoh:

3(2,4)

= (6,12)

Jika skalar bernilai negatif, maka arah vektor akan berbalik.

Misalnya:

−2(3,1)

= (−6,−2)

4. Perkalian Titik (Dot Product) dan Sudut Antar Vektor

Dot product digunakan untuk menentukan hubungan dua vektor dan mencari sudut di antara keduanya.

Rumus pertama:

a · b

= x₁x₂ + y₁y₂

Contoh:

a = (2,3)

b = (4,5)

Maka:

a · b

= (2×4) + (3×5)

= 8 + 15

= 23

Hubungan dengan sudut:

a · b

= |a||b| cos θ

Sehingga:

cos θ

= (a · b)/(|a||b|)

Jika hasil dot product sama dengan nol, berarti:

θ = 90°

Artinya kedua vektor saling tegak lurus.

Konsep dot product banyak digunakan dalam pembuktian geometri, menentukan sudut antar garis, dan menyelesaikan berbagai soal aplikasi.

Penerapan Vektor dalam Pembuktian Geometris

Salah satu manfaat vektor adalah membantu membuktikan sifat-sifat geometri secara lebih sederhana. Contohnya ketika membuktikan titik tengah

Diketahui:

A = (2,4)

B = (8,10)

Tentukan titik tengah AB.