14 Contoh Soal Diferensial Matematika beserta Pembahasannya Lengkap

14 Contoh Soal Diferensial Matematika beserta Pembahasannya Lengkap — Konsep diferensial merupakan konsep matematika yang dipelajari di tingkat SMA.

Biasanya materi ini dipelajari setelah mempelajari konsep integral dan limit. Pada kurikulum merdeka, konsep diferensial atau turunan akan dipelajari secara lengkap di matematika lanjut kelas 12.

Supaya kamu lebih paham konsep ini, yuk coba belajar lewat contoh soal diferensial yang Mamikos hadirkan berikut ini! 📖✏️

Definisi Diferensial

Istilah diferensial didapatkan dari terjemahan bahasa Inggris yaitu differential. Diferensial merupakan ilmu kalkulus yang merujuk pada perubahan yang sangat kecil atau infitesimal pada suatu variabel.

Konsep diferensial juga sering disebut dengan konsep turunan. Konsep diferensial memiliki konsep yang berkebalikan dengan konsep integral.

Kamu, pasti akan dengan mudah menguasai materi ini jika sebelumnya kamu sudah paham dengan konsep integral dan konsep limit.

Turunan (diferensial) suatu fungsi f merupakan fungsi yang dituliskan f’ (f aksen).

Jika suatu fungsi bervariabel x dituliskan dengan f(x), maka turunan pertama fungsi itu ialah f'(x) didefinisikan:

Selain bentuk ini penulisan turunan suatu fungsi juga bisa dinyatakan y = f(x) adalah y’ atau D_xf(x) atau   atau 

Rumus Diferensial

Sebelum mengerjakan contoh soal diferensial kita refresh kembali yuk ingatan kita mengenai rumus-rumus diferensial (turunan) yang sebelumnya sudah kita pelajari. 😉

Berikut beberapa rumus diferensial yang wajib kamu ketahui karena di bangku sekolah sering diaplikasikan pada soal matematika SMA. 🔢🏫

1. Jika f(x) = k, oleh karena itu didapatkan f ’(x) = 0

2. Jika f(x) = x, oleh karena itu didapatkan f’(x) = 1

3. Pangkat: Apabila f(x) = Xⁿ (n ɛ N), maka f’(x) = n.X^n-1

4. Kelipatan Konstanta: (kf)’(x) = k.f’(x)

5. Aturan Jumlah: (f + g)’ (x) = f’(x) + g’(x)

6. Aturan Hasil kali: (f.g)’(x) = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)

7. Aturan mengenai Hasil bagi yaitu: (x) = 

8. Aturan Rantai: f(x) = uⁿ  f’(x) = n.u^n-1.u’

Selain rumus-rumus di atas, masih ada rumus-rumus diferensial lainnya. Namun, 8 rumus tersebut termasuk rumus yang paling sering diterapkan dalam pembelajaran di bangku SMA. 🏫🧑

Kemudian, biasanya fungsi f(x) dan g(x) juga sering dimisalkan dengan variabel lain seperti u dan v sehingga turunannya dimisalkan dengan u’ dan v’.

Jadi, kamu tidak perlu bingung ya jika pada contoh soal diferensial matematika di bawah ini diterapkan pula rumus yang berkaitan dengan u dan v serta turunannya u’ dan v’.

Contoh Soal Diferensial Matematika beserta Pembahasannya Bagian 1

Contoh Soal 1

Turunan pertama dari f(x) = 5x⁶ + 2x⁴ – 3x² + 2x adalah…

Pembahasan:

Kita bisa gunakan rumus f’(x) = n.x^n-1

f’(x) = 6.5x^6-1 + 4.2x^4-1 – 2.3x^2-1 + 2x^1-1

f’(x) = 30x⁵ + 8x³ – 6x + 2

Jadi, turunan pertama fungsi f(x) = 5x⁶ + 2x⁴ – 3x² + 2x adalah f’(x) = 30x⁵ + 8x³ – 6x + 2

Contoh Soal 2

Hitung turunan pertama dari f(x) = (3x² – 5x) (x³ + 2)!

Pembahasan:

Kita misalkan lebih dulu

u = 3x² – 5x turunannya menjadi u’ = 6x – 5

v = x³ + 2 turunannya menjadi v’ = 3x²

Kita terapkan rumus f’(x) = u’.v + u.v’

f’(x) = (6x – 5) (x³ + 2) + (3x² – 5x) (3x²⁾

f’(x) = 6x⁴ + 12x – 5x³ – 10 + 9x⁴ – 15x³

f’(x) = 15x⁴ – 20x³ +12x – 52

Jadi, turunan pertama f(x) = (3x² – 5x) (x³ + 2) yaitu f’(x) = 15x⁴ – 20x³ +12x – 52

Contoh Soal 3

Hitung diferensial (turunan) pertama dari fungsi berikut: !

Pembahasan:

Kita misalkan terlebih dahulu unsur-unsur di atas menjadi:

u = x² + 3x kita cari turunannya u’ = 2x + 3

v = 2x² – 3 kita cari turunannya v’ = 4x

Selanjutnya kita terapkan rumus berikut:

f’(x) = 4x³ – 6x + 6x² – 9 – 4x³ +12x²

Jadi, turunan pertamanya adalah

Contoh Soal Diferensial Matematika beserta Pembahasannya Bagian 2

Contoh Soal 4

Berapakah turunan pertama f(x) = (3x² – 2)⁶?

Pembahasan:

Untuk soal ini kita terapkan rumus:

f(x) = Uⁿ

f’(x) = n.U’.U^n-1

f(x) = (3x² – 2)⁶

f’(x) = 6.6x (3x² – 2)^6-1

f’(x) = 38x (3x² – 2)⁵

Contoh Soal 5

Hitung turunan diferensial dari f(x) = (4x³ + 2x²) (x² – 4x)!

Kita misalkan dulu

u = 4x³ + 2x² kita cari turunannya u’ = 12x² + 4x

v = x² – 4x kita cari turunannya v’ = 2x – 4

Kita gunakan rumus: f’(x) = u’.v + u.v’

f’(x) = u’.v + u.v’

f’(x) = (12x² + 4x) (x² – 4x) + (4x³ + 2x²) (2x – 4)

f’(x) = 12x⁴ – 48x³ + 4x³ – 16x² + 8x⁴ – 16x³ + 4x³ – 8x²

f’(x) = 20x⁴ – 56x³ – 24x²

Jadi, turunan pertama dari f(x) = (4x³ + 2x²) (x² – 4x) ialah f’(x) = 20x⁴ – 56x³ – 24x²

Contoh Soal 6

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = x⁴ – 3x³ +5x!

Pembahasan:

Kita pakai rumus f’(x) = n.x^n-1

f(x) = x⁴ – 3x³ + 5x

f’(x) = 4.1x^4-1 – 3.3x^3-1 + 5x^1-1

f’(x) = 4x³ – 9x² + 5

Jadi, turunan pertama f(x) = x⁴ – 3x³ +5x adalah f’(x) = 4x³ – 9x² + 5

Contoh Soal Diferensial Matematika beserta Pembahasannya Bagian 3

Contoh Soal 7

Apabila diketahui suatu persamaan kuadrat x² – rx + s = 0 memiliki akar-akar yang berkebalikan serta tergolong bilangan negatif, maka berapa nilai maksimum dari 2r-s?

Pembahasan:

Dari soal di atas, kita bisa misalkan akar-akarnya yaitu m dan 1/m dengan syarat m > 0

Hasil kali akar-akar,

m x 1/m = c/a

1 = s

Hasil jumlah akar-akar,

m + 1/m = -b/a

m + m^-1 = r

Nilai maksimum 2r-s kita coba cari dengan mencari turunan pertama 2r-s yaitu…

2r-s = 2 (m + m^-1) – (1)

(2r-s)’ = 2m + 2m-¹ – 1

2 – 2/m² = 0

2/m² = 2

m² = 1

m = 1

Selanjutnya kita substitusikan nilai m ke r yang sebelumnya sudah kita cari.

s = 1

r = m + m^-1 = 1 + 1 = 2

Kita hitung nilai 2r-s seperti berikut:

2r – s = 2(2) – (1) = 4 – 1 = 3

Jadi, nilai maksimal dari 2r-s adalah 3.

Contoh Soal 8

Diketahui jumlah dari dua bilangan positif a & b yaitu 20. Nilai maksimum dari a⋅b yaitu ….

Pembahasan:

a + b = 20 sehingga a = 20−b

a ⋅ b = (20 − b) ⋅ b

a ⋅ b = 20b – b²

Untuk mencari nilai maksimum, maka (a⋅b)′ harus sama dengan 0. (a⋅b)′ =0

20 − 2b = 0

2b = 20

b = 10

Substitusikan nilai b = 10

a = 20 – b

a = 20 – (10)

a = 10

Kemudian tinggal kita kalikan saja

a . b = 10. 10 =100

Jadi, nilai maksimumnya adalah 10 ⋅10 =100.

Contoh Soal 9

Apabila garis singgung kurva y = x ² + bx + 12 di titik yang berabsis 2 yaitu y = 15x + 3y, maka nilai b ialah ….

Pembahasan:

Kurva y = x² + bx + 12 memiliki gradien: y′ = 2x + b.

Dengan x = 2x, maka y′ = 2 ⋅ 2 + b = 4 + b

Gradien garis singgungnya adalah 15.

Kita cari nilai b

4+b=15

b = 15 -4

b = 11

Jadi, nilai b adalah 11.

Contoh Soal Diferensial Matematika beserta Pembahasannya Bagian 4

Contoh Soal 10

Untuk memproduksi suatu barang, biaya produksi di suatu UMKM dinyatakan dengan fungsi C(x) = 3x² – 120 x + 4000 dalam ribu rupiah. Supaya biaya minimum, maka barang harus diproduksi oleh UMKM sebanyak ….

Pembahasan:

Supaya biaya minimum, maka C′ (x) =0

C′(x) = 6x−120

C′ (x) = 0

6 x = 120

x = 20

Jadi, supaya biaya minimum barang yang diproduksi harus ada 20 buah.

Contoh Soal 11

Suatu roda berputar θ = 140t − 10t² radian selama t detik. Kecepatan sudut roda tersebut di detik ke-4 ialah … rad/detik. 🚴‍♀️

Pembahasan:

Kecepatan sudut dθ/dt = 140 − 20t

Pada t = 4 kita substitusikan nilainya:

dθ/dt = 140 – (20⋅4) = 140 – (80) = 60 rad/detik.

Contoh Soal 12

Fungsi y = 5x² − 3x + 7 memiliki titik stasioner di mana ….

Pembahasan:

Titik stasioner terjadi saat y′ = 0

y′ = 10x – 3

10x – 3 = 0

x = 0,3

Jadi, titik stasionernya di x = 0,3.

Contoh Soal 13

Luas maksimum suatu persegi panjang yang memiliki keliling 24 cm ialah ….

Pembahasan:

Kita misalkan panjang l dan lebar w, maka 2l + 2w = 24 atau l + w =12

l⋅w = lw

Supaya maksimum, l = w = 6

Luas = 6 ⋅ 6 = 36 cm²

Jadi, luasnya adalah 36 cm².

Contoh Soal 14

Besarnya gradien garis singgung dari y = 2x³ − x di titik x =−1 ialah …

Pembahasan:

y = 2x³ − x

y′ = 6x² − 1y’

Selanjutnya tinggal kita substitusikan x = −1

Gradien y′(−1) = 6x² – 1

Gradien y′(−1) = 6(-1)² – 1

Gradien y′(−1) = 6-1 = 5

Jadi, gradiennya adalah 5.

Penutup

Demikian beberapa contoh soal diferensial beserta pembahasannya lengkap yang bisa kamu jadikan bahan belajar dan evaluasi.

Apabila kamu sedang mencari contoh soal integral atau contoh soal limit, kamu bisa menemukannya di blog Mamikos.

Selamat belajar, semoga latihan soal ini membantumu meraih nilai yang memuaskan, ya! 💯✨

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta