15 Contoh Soal Permutasi beserta Jawabannya (Pembahasan) Lengkap

Banyak siswa yang mencari contoh soal permutasi beserta jawabannya karena materi ini hampir selalu muncul dalam ujian matematika. 📝➗

Banyak kesalahan umum yang terjadi saat menentukan apakah soal ini termasuk permutasi biasa, permutasi dengan unsur sama, atau permutasi siklis. 

Untuk itu, Mamikos telah menyiapkan lima belas contoh soal permutasi lengkap dengan pembahasan runtut, jelas, dan mudah dipahami. Simak dan pelajari sampai selesai ya! 

Pengertian Permutasi dan Perbedaannya dengan Kombinasi

Permutasi adalah cara menyusun atau mengatur sejumlah objek dengan memperhatikan urutan atau posisi. Artinya, jika susunan objek berubah, maka hasilnya juga dianggap berbeda. Inilah ciri utama permutasi yang membedakannya dari konsep pencacahan lain dalam matematika. 

Sebagai contoh, susunan huruf A, B, dan C dalam urutan ABC tentu berbeda dengan BAC atau CAB. Meskipun objeknya sama, perubahan posisi membuat hasil susunan menjadi tidak sama.

Dalam soal matematika, permutasi biasanya muncul dalam bentuk penyusunan kursi, penentuan juara, pembuatan kode, atau penempatan posisi tertentu. 

Kata kunci seperti urutan, susunan, peringkat, posisi, dan berderet sering menjadi penanda bahwa soal tersebut termasuk permutasi. Oleh karena itu, kemampuan mengenali ciri soal sangat penting sebelum memilih rumus yang digunakan.

Permutasi juga sering disamakan dengan kombinasi, padahal keduanya berbeda. Kombinasi tidak memperhatikan urutan, sedangkan permutasi sangat bergantung pada urutan. Jika hasil berubah ketika posisi objek ditukar, maka soal tersebut adalah permutasi. 

Dengan memahami pengertian ini, semoga kamu dapat lebih mudah menentukan langkah penyelesaian dan terhindar dari kesalahan konsep saat mengerjakan soal.

Contoh Soal Permutasi beserta Jawabannya

Setelah memahami pengertian permutasi, langkah selanjutnya adalah melihat penerapannya dalam soal. 

Pada bagian ini, Mamikos menyusun ontoh soal secara bertahap mulai dari permutasi dasar tanpa syarat agar konsepnya mudah dipahami. Setiap soal dilengkapi pembahasan singkat dan jelas supaya kamu bisa mengikuti alur berpikirnya. 

Perhatikan cara menentukan rumus dan langkah penyelesaiannya, karena pola yang sama sering muncul pada soal ujian.

A. Contoh Soal Permutasi Dasar

Inilah beberapa contoh soal permutasi beserta jawabannya:

Contoh Soal 1

Dari 10 siswa akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak susunan jabatan yang dapat dibentuk?

Penyelesaian:

Karena jabatan ketua, wakil, dan sekretaris memiliki urutan yang berbeda, maka digunakan permutasi.
n = 10 dan r = 3
Jumlah susunan = 10P3
= 10! / (10−3)!
= 10 × 9 × 8
= 720

Jawaban: Banyak susunan jabatan yang dapat dibentuk adalah 720 cara.

Contoh Soal 2

Ada 5 orang yang akan duduk berderet pada 5 kursi. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?

Penyelesaian:

Semua orang disusun dan urutan tempat duduk diperhatikan.
Jumlah susunan = 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120

Jawaban: Banyak susunan tempat duduk adalah 120 cara.

Contoh Soal 3

Dari 7 peserta lomba akan ditentukan juara 1, juara 2, dan juara 3. Berapa banyak kemungkinan susunan juara?

Penyelesaian:

Karena urutan juara berbeda, digunakan permutasi.
n = 7 dan r = 3
Jumlah susunan = 7P3
= 7! / (7−3)!
= 7 × 6 × 5
= 210

Jawaban: Banyak susunan juara yang mungkin adalah 210 cara.

Contoh Soal 4

Berapa banyak kode 4 angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka 1 sampai 6?

Penyelesaian:
Kode memperhatikan urutan dan tidak boleh ada angka yang sama.
n = 6 dan r = 4
Jumlah kode = 6P4
= 6! / 2!
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

Jawaban: Banyak kode yang dapat dibentuk adalah 360 kode.

Contoh Soal 5

Terdapat 6 buku berbeda yang akan disusun pada satu rak. Berapa banyak susunan buku yang mungkin?

Penyelesaian:
Semua buku disusun dan urutan diperhatikan.
Jumlah susunan = 6!
= 720

Jawaban: Banyak susunan buku yang mungkin adalah 720 cara.

B. Contoh Soal Permutasi dengan Unsur yang Sama

Permutasi dengan unsur yang sama digunakan ketika terdapat objek identik sehingga beberapa susunan terlihat berbeda, padahal sebenarnya sama. Untuk menghindari perhitungan ganda, digunakan rumus permutasi unsur sama.

Contoh Soal 6

Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata MAMA?

Penyelesaian:
Kata MAMA terdiri dari 4 huruf, dengan huruf M muncul 2 kali dan huruf A muncul 2 kali.
Jumlah susunan = 4! / (2! × 2!)
= 24 / 4
= 6

Jawaban: Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 6 cara.

Contoh Soal 7

Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata KATA?

Penyelesaian:
Jumlah huruf = 4
Huruf A muncul 2 kali
Jumlah susunan = 4! / 2!
= 24 / 2
= 12

Jawaban: Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 12 cara.

Contoh Soal 8

Terdapat 7 bola yang akan disusun dalam satu baris, terdiri dari 3 bola merah yang sama dan 4 bola biru yang berbeda. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
Total bola = 7
Bola merah identik berjumlah 3
Gunakan rumus permutasi unsur sama:
Jumlah susunan = 7! / 3!
= 5.040 / 6
= 840

Jawaban: Banyak susunan bola yang dapat dibuat adalah 840 cara.

C. Contoh Soal Permutasi Siklis (Melingkar)

Permutasi siklis digunakan untuk menyusun objek dalam bentuk lingkaran, di mana susunan yang hanya berbeda posisi putarnya dianggap sama. Oleh karena itu, rumus yang digunakan bukan n!, melainkan (n−1)!.

Contoh Soal 9

Terdapat 7 orang yang akan duduk melingkar di sekitar sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?

Penyelesaian:
Karena duduk melingkar, gunakan rumus permutasi siklis.
Jumlah susunan = (7−1)!
= 6!
= 720

Jawaban:
Banyak susunan tempat duduk yang mungkin adalah 720 cara.

Contoh Soal 10

Ada 8 orang yang akan duduk melingkar. Jika satu orang harus duduk di posisi tertentu, berapa banyak susunan tempat duduk yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
Satu orang dipasang sebagai patokan sehingga tidak terjadi pengulangan akibat rotasi.
Sisa orang yang disusun = 7
Jumlah susunan = 7!
= 5.040

Jawaban: Banyak susunan tempat duduk adalah 5.040 cara.

Contoh Soal 11

Enam orang akan duduk melingkar di meja bundar. Jika dua orang harus duduk berdampingan, berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
Dua orang yang harus berdampingan dianggap sebagai satu blok.
Jumlah unit = 5 (1 blok + 4 orang lain).
Karena melingkar, jumlah susunan unit = (5−1)! = 4! = 24.
Di dalam blok, dua orang dapat bertukar tempat sebanyak 2! cara.
Total susunan = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48

Jawaban: Banyak susunan yang dapat dibuat adalah 48 cara.

D. Contoh Soal Permutasi Bersyarat (Berderet)

Permutasi bersyarat adalah permutasi yang memiliki ketentuan khusus, seperti harus berdampingan, tidak boleh berdampingan, atau harus menempati posisi tertentu. Kunci menyelesaikan soal ini adalah mengenali pola blok dan metode pengurangan. Berikut contoh soal permutasi beserta jawabannya:

Contoh Soal 12

Delapan orang akan duduk berderet pada delapan kursi. Jika A dan B harus duduk berdampingan, berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
A dan B dianggap sebagai satu blok karena harus berdampingan.
Jumlah unit = 7 (1 blok AB + 6 orang lainnya).
Susunan unit = 7!
Di dalam blok, A dan B dapat bertukar posisi sebanyak 2! cara.
Total susunan = 7! × 2!
= 5.040 × 2
= 10.080

Jawaban: Banyak susunan yang dapat dibuat adalah 10.080 cara.

Contoh Soal 13

Delapan orang akan duduk berderet. Jika A dan B tidak boleh duduk berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?

Penyelesaian:
Langkah pertama, hitung semua kemungkinan tanpa syarat.
Total susunan = 8! = 40.320

Langkah kedua, hitung susunan saat A dan B berdampingan.
Dari contoh sebelumnya, jumlahnya adalah 7! × 2! = 10.080

Langkah ketiga, kurangi:
40.320 − 10.080 = 30.240

Jawaban: Banyak susunan yang mungkin adalah 30.240 cara.

Contoh Soal 14

Lima siswa putra dan tiga siswa putri akan duduk berderet. Jika semua siswa putri harus duduk bersebelahan, berapa banyak susunan tempat duduk yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
Tiga siswa putri dianggap sebagai satu blok.
Jumlah unit = 6 (1 blok putri + 5 putra).
Susunan unit = 6!
Di dalam blok, tiga putri dapat disusun sebanyak 3! cara.
Total susunan = 6! × 3!
= 720 × 6
= 4.320

Jawaban: Banyak susunan tempat duduk adalah 4.320 cara.

Contoh Soal 15

Enam orang akan duduk berderet pada enam kursi. Jika A harus duduk di salah satu kursi ujung, berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

Penyelesaian:
A memiliki 2 pilihan kursi ujung.
Sisa 5 orang dapat disusun sebanyak 5! cara.
Total susunan = 2 × 5!
= 2 × 120
= 240

Jawaban: Banyak susunan tempat duduk adalah 240 cara.

Penutup

Permutasi merupakan materi penting dalam matematika karena sering muncul dalam soal ujian sekolah maupun ujian masuk perguruan tinggi. Kunci utama dalam menyelesaikan soal permutasi adalah memahami bahwa urutan sangat memengaruhi hasil. 

Sebelum menghitung, pastikan kamu sudah mengenali jenis soalnya, apakah termasuk permutasi dasar, permutasi dengan unsur yang sama, permutasi siklis, atau permutasi bersyarat. 

Dengan mengenali pola soal dan memilih rumus yang tepat, proses perhitungan menjadi lebih mudah dan tidak membingungkan. 

Semakin sering berlatih mengerjakan contoh soal permutasi beserta jawabannya, semakin cepat pula kamu memahami konsep dan menyelesaikan soal secara tepat, logis, dan sistematis.

Selamat berlatih!

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta