Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan 2 beserta Pembahasannya

5. Akar-akar persamaan karakteristik dari y” – 3y’ + 2y = 0 adalah…

A. 1 dan 2
B. -1 dan -2
C. 1 dan -2
D. -1 dan 2
E. 3 dan 2

Jawaban: A
Pembahasan:
Persamaan: r² – 3r + 2 = 0
Faktorkan: (r – 1)(r – 2) = 0
Maka akar-akarnya adalah r = 1 dan r = 2

Baca Juga :

Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA beserta Penjelasannya

Tingkat Kesulitan: Sedang (Aplikasi Rumus & Ketelitian)

1. Solusi umum dari y” – 4y’ + 4y = 0 adalah…

A. y = C₁e²ˣ + C₂e²ˣ
B. y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
C. y = (C₁ + C₂x)e²ˣ
D. y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ
E. y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)

Jawaban: C
Pembahasan:
Persamaan karakteristik: r² – 4r + 4 = 0
(r – 2)² = 0. Akar kembar r = 2.
Rumus akar kembar:
y = (C₁ + C₂x)eʳˣ
y = (C₁ + C₂x)e²ˣ

2. Berapa solusi khusus dari dy/dx = x, dengan syarat y(0) = 2.
A. y = ½x² + 2
B. y = x² + 2
C. y = ½x² – 2
D. y = ½x² + C
E. y = 2x² + 2

Jawaban: A
Pembahasan:
Solusi umum: y = ½x² + C.
Substitusi syarat y(0) = 2: 2 = ½(0)² + C
C = 2
Jadi, y = ½x² + 2

3. Faktor integrasi dari persamaan linear dy/dx + (2/x)y = 3 adalah…

A. e²ˣ
B. ln(x)
C. x²
D. 1/x
E. 2/x

Jawaban: C
Pembahasan:
Bentuk umumnya adalah: y’ + P(x)y = Q(x)
Di sini P(x) = 2/x
Faktor Integrasi (µ) = e^(∫ P(x) dx)
µ = e^(∫ 2/x dx)
= e^(2 ln x)
= e^(ln x²)
= x²

4. Bentuk persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan memisahkan variabel adalah…

A. dy/dx = x + y
B. dy/dx = xy
C. dy/dx = sin(x + y)
D. dy/dx = x² + y²
E. y” + y = x

Jawaban: B
Pembahasan: dy/dx = xy
dapat diubah menjadi (1/y) dy = x dx.
Pilihan jawaban yang lain tidak dapat dipisah secara langsung.

Tingkat Kesulitan: Sulit

1. Diketahui terdapat sebuah benda yang bergerak dengan laju perubahan suhu yang sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu ruangan (Hukum Pendinginan Newton). Persamaan diferensialnya adalah…

A. dT/dt = k(T + Tm)
B. dT/dt = k(T – Tm)
C. dT/dt = k(T)
D. d²T/dt² = k(T – Tm)
E. dT/dt = kT

Jawaban: B
Pembahasan:
Laju perubahan (dT/dt) sebanding (= k) dengan selisih suhu (T – Tm).
Karena suhu biasanya turun, k bernilai negatif, atau ditulis dT/dt = -k(T-Tm).
Bentuk umumnya adalah pilihan B (k bisa positif atau negatif tergantung konteks soal, tapi strukturnya T – Tm)

Soal Esai

Soal 1

d²y/dx² – 5(dy/dx) + 6y = 0

Jawaban: y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
Pembahasan:
Ubah ke persamaan karakteristik dengan mengganti d²y/dx² dengan r², dy/dx dengan r, dan y dengan 1. r² – 5r + 6 = 0
Faktorkan Persamaan dengan mencari dua angka yang jika dikali hasilnya 6, tetapi jika dijumlah hasilnya -5. Angka tersebut adalah -2 dan -3. Maka, (r – 2)(r – 3) = 0
Cari akar-akarnya: r₁ = 2 dan r₂ = 3
Tentukan solusi umum: Karena akar-akarnya bilangan riil dan berbeda (r₁ ≠ r₂), maka rumusnya adalah
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x). y
y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)