10 Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA dan Pembahasannya

Mempelajari materi persamaan trigonometri paling mudah adalah langsung dengan mengerjakan contoh-contoh soalnya. Oleh karena itu, artikel kali ini akan memberikan kamu berbagai contoh soal persamaan trigonometri beserta pembahasannya.

17 Juli 2024 Lintang Filia

10 Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA dan Pembahasannya – Persamaan trigonometri melibatkan berbagai fungsi trigonometri seperti sin, cos, dan tan.

Dalam mencari persamaan tersebut dibutuhkan solusi yang berbentuk sudut atau radian yang akan memenuhi sebuah persamaan.

Oleh karena itu, artikel kali ini akan mengajak kamu untuk membahas dan menyelesaikan berbagai contoh soal persamaan trigonometri kelas 11 SMA.

Daftar Isi

Kumpulan Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA
Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA No 1 – 5
Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA No 6 – 10
Penutup

Kumpulan Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA

Di bawah ini terdapat 10 contoh soal persamaan trigonometri dari berbagai fungsi dan materi trigonometri yang akan kamu dapatkan di kelas 11 SMA.

Selain itu Mamikos juga akan memberikan penjelasan tentang penyelesaian dari contoh soal trigonometri agar bisa kamu pelajari dan ikuti.

Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA No 1 – 5

Soal 1

Tentukan semua solusi dari persamaan 2 sin x – √3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Pembahasan:

Kita selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai sin x:

2 sin x = √3

sin x = √3/2

Solusi untuk sin x = √3/2 adalah x = 60° dan x = 120°.

Jadi, solusi dari persamaan 2 sin x – √3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah x = 60° dan x = 120°.

Baca Juga :

Contoh Soal Menentukan Grafik Fungsi Eksponen beserta Jawabannya untuk Kelas 10 SMA

Soal 2

Tentukan semua solusi dari persamaan 3 tan x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Pembahasan:

Kita selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai tan x:

3 tan x = 0

Untuk menyelesaikan ini, kita perhatikan bahwa jika 3 tan x = 0, maka tan x harus sama dengan 0.

Solusi untuk tan x = 0 adalah x = 0°, 180°, dan 360°.

Jadi, solusi dari persamaan 3 tan x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah x = 0°, 180°, dan 360°.

Baca Juga :

Contoh Soal Limit Tak Hingga Bentuk Akar beserta Jawabannya Lengkap

Soal 3

Berapakah himpunan penyelesaian dari sin 4x + sin 2x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°?

Pembahasan:

Kita gunakan identitas trigonometri untuk menyelesaikan persamaan ini:

sin 4x + sin 2x = 0

Kita bisa menggunakan identitas sinus untuk mengubah persamaan menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Identitas digunakan adalah:

$\sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$

Jadi, persamaan yang kita kerjakan menjadi:

$2 \sin \left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \cos \left(\frac{4x - 2x}{2}\right) = 0$

$2 \sin(3x) \cos(x) = 0$

Kemudian kita cari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini:

1. sin(3x) = 0

Solusi untuk $\sin(3x) = 0 \) adalah \( 3x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ .

Jadi, $x = 0^\circ, 60^\circ, 120^\circ$ .

2. cos(x) = 0

Solusi untuk $\cos(x) = 0$ adalah $x = 90^\circ, 270^\circ$ .

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin 4x + \sin 2x = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah $x = 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 270^\circ$ .

Soal 4

Carilah semua solusi dari persamaan $2 \sin^2 x - \sin x = 0 \) untuk \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ !

Pembahasan:

Pertama, kita akan memfaktorkan persamaan tersebut:

$2 \sin^2 x - \sin x = 0$

$\sin x (2 \sin x - 1) = 0$

Maka, solusinya:

$\sin x = 0 \quad \text{atau} \quad 2 \sin x - 1 = 0$

1. Untuk sin x = 0

Solusi dari $\sin x = 0$ adalah $x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ .

2. Untuk 2 sin x – 1 = 0

Solusi dari $2 \sin x - 1 = 0$ adalah $\sin x = \frac{1}{2}$ .

Jadi, $x = 30^\circ$ dan $x = 150^\circ$ .

Jadi, solusi dari persamaan $2 \sin^2 x - \sin x = 0$ adalah $x = 0^\circ, 30^\circ, 150^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ .

Soal 5

Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan $\cos^2 x = \frac{3}{4}$ untuk $0^\circ \leq x < 360^\circ$ .

Pembahasan:

Mari cari nilai-nilai x terlebih dahulu yang memenuhi $\cos^2 x = \frac{3}{4}$ .

$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Solusi untuk $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ adalah $x = 30^\circ \) dan \( x = 330^\circ$ .

Solusi untuk $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ adalah $x = 150^\circ$ dan $x = 210^\circ$ .

Nilai \x yang memenuhi persamaan $\cos^2 x = \frac{3}{4}$ adalah $x = 30^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 330^\circ$ .

Contoh Soal Persamaan Trigonometri Kelas 11 SMA No 6 – 10

Soal 6

Carilah solusi dari persamaan trigonometri $\cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ .

Pembahasan:

Faktorkan $\cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0$

Letakkan $y = \cos x$ , sehingga persamaan menjadi $y^2 - 3y + 2 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut menjadi $(y - 1)(y - 2) = 0$

Solusi yang ditemukan, yaitu:

$y - 1 = 0 \quad \text{atau} \quad y - 2 = 0$

$y = 1 \quad \text{atau} \quad y = 2$

Kembalikan variabel $y \) ke \( \cos x$ :

1. $\cos x = 1$ : Solusi dari $\cos x = 1$ adalah $x = 0^\circ$ .

2. $\cos x = 2$ : Tidak ada solusi dalam rentang $\cos x$ yang valid karena cos x tidak dapat melebihi 1.

Jadi, solusi dari persamaan $\cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah $x = 0^\circ$ .

Baca Juga :

40 Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar dan Jawabannya

Soal 7

Diketahui terdapat persamaan trigonometri $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ . Carilah semua solusinya.

Pembahasan:

Persamaanuntuk mencari nilai sin x :

$2 \sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Solusi untuk $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ adalah $x = 60^\circ$ dan $x = 120^\circ$ .

Solusi yang ditemukan dari persamaan $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah $x = 60^\circ$ dan $x = 120^\circ$ .

Soal 8

Tentukan semua solusi dari persamaan $\sin^2 x + \cos x - 1 = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ .

Pembahasan:

Seperti soal sebelumnya, kita ubah dahulu persamaan dengan menggunakan identitas trigonometri:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Substitusikan ke dalam rumus $\sin^2 x + \cos x - 1 = 0$ sehingga menjadi:

$1 - \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

$- \cos^2 x + \cos x = 0$

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Maka, solusinya adalah:

$\cos x = 0 \quad \text{atau} \quad \cos x = 1$

1. Untuk $\cos x = 0$ : Solusi dari $\cos x = 0$ adalah $x = 90^\circ$ dan $x = 270^\circ$ .

2. Untuk $\cos x = 1$ : Solusi dari $\cos x = 1$ adalah $x = 0^\circ$ .

Hasil solusi dari persamaan $\sin^2 x + \cos x - 1 = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah $x = 0^\circ, 90^\circ, 270^\circ$ .

Soal 9

Carilah berbagai solusi dari persamaan $2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ .

Pembahasan:

Seperti biasa faktorkan persamaan tersebut ke dalam rumus $2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0$

Masukkan y = cos x, sehingga persamaan menjadi $2 y^2 - 5 y + 2 = 0$

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akarnya:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Di sini, a = 2, b = -5, dan c = 2 :

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

$y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}$

$y = \frac{5 \pm 3}{4}$

Maka, y bisa menjadi y = 2 atau $y = \frac{1}{2}$ .

Kembalikan variabel y ke cos x:

1. cos x = 2: Tidak ada solusi dalam rentang cos x yang valid karena cos x tidak dapat melebihi 1.

2. cos x = $\frac{1}{2}$ : Solusi dari $\cos x = \frac{1}{2}$ adalah $x = 60^\circ \) dan \( x = 300^\circ$ .

Hasil yang didapat dari $2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ yaitu $x = 60^\circ$ dan $x = 300^\circ$ .

Soal 10

Dari persamaan $\cos 2x = \cos x$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ , berapakah solusi pada tiap fungsi trigonometri?

Pembahasan:

Gunakan identitas trigonometri dengan cos 2x, yaitu $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$

Maka, persamaan menjadi:

$2 \cos^2 x - 1 = \cos x$

$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

$(2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

Solusinya adalah:

$2 \cos x + 1 = 0 \quad \text{atau} \quad \cos x - 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2} \quad \text{atau} \quad \cos x = 1$

1. $\cos x = -\frac{1}{2}$ : Solusi dari $\cos x = -\frac{1}{2}$ adalah $x = 120^\circ \) dan \( x = 240^\circ$ .

2. $\cos x = 1$ : Solusi dari $\cos x = 1$ adalah $x = 0^\circ$ dan $x = 360^\circ$ .

Jadi, solusi dari persamaan $\cos 2x = \cos x$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah $( x = 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ, 360^\circ \)$ .

Baca Juga :

40 Contoh Soal Operasi Aljabar pada Fungsi beserta Jawabannya SMA Kelas 10

Penutup

Apabila kamu masih belum memahami apa yang Mamikos sampaikan pada berbagai contoh soal persamaan trigonometri kelas 11 SMA di atas, jangan ragu untuk bertanya kepada guru, ya.

Belajar tentang materi trigonometri memang susah-susah gampang. Namun, jangan khawatir karena jika kamu rajin mengulang materi yang diberikan dan mengerjakan contoh-contoh soalnya, pasti kamu akan terbiasa dan lebih menguasai.

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

Tags Contoh Soal Kelas 11 Latihan Soal Matematika