Rangkuman Materi Turunan Fungsi Trigonometri Kelas 12 SMA Kurikulum Merdeka
Rangkuman Materi Turunan Fungsi Trigonometri Kelas 12 SMA Kurikulum Merdeka – Materi turunan fungsi trigonometri kelas 12 SMA adalah salah satu yang akan kamu pelajari pada mapel Matematika.
Meskipun terlihat sulit karena membutuhkan ketelitian dalam menghitung, kamu tidak perlu khawatir karena sebenarnya mudah saja, lho, untuk dapat menguasai materi ini.
Oleh karena itu, Mamikos telah menyiapkan rangkuman materi turunan fungsi trigonometri kelas 12 SMA kurikulum merdeka yang dapat kamu jadikan sumber belajar tambahan.
Materi Turunan Fungsi Trigonometri Kelas 12 SMA
Daftar Isi
Daftar Isi
Secara sederhana, turunan menunjukkan seberapa cepat nilai dari suatu fungsi berubah ketika nilai variabelnya sedikit diubah.
Nah, dalam trigonometri turunan digunakan untuk menganalisis perubahan sudut dan fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen.
Aturan Dasar Turunan
Selanjutnya, turunan dari suatu fungsi di titik tertentu akan mewakili kemiringan garis singgung yang bersinggungan dengan grafik fungsi tersebut pada titik tersebut.
Oleh karena itu, untuk dapat memenuhi kondisi tersebut terdapat aturan dasar turunan, yaitu:
1. Turunan Fungsi Konstan
Jika f(x) = c di mana c adalah suatu bilangan konstan, maka turunan fungsi tersebut adalah nol, dikarenakan fungsi konstan tidak berubah. Tidak ada perubahan dalam nilai f(x) seiring dengan perubahan nilai x.
2. Turunan Fungsi Linear
Apabila f(x) = ax + b, di mana a dan b adalah konstanta, maka turunan fungsi ini adalah koefisien dari x, yaitu a.
Kondisi tersebut dikarenakan ax berubah secara linear terhadap x, dengan laju perubahan konstan yang sama dengan nilai koefisien a.
3. Turunan Fungsi Kuadrat
Jika f(x) = ax^2 + bx + c, maka turunan fungsi ini adalah 2ax + b yang menunjukkan bahwa laju perubahan fungsi kuadrat ax^2 terhadap x berubah secara linear dengan x.
Turunan Fungsi Trigonometri
Materi turunan fungsi trigonometri kelas 12 SMA digunakan untuk menganalisis perubahan nilai dari fungsi trigonometri terhadap variabel independennya, seperti:
1. Turunan Fungsi sin(x)
Turunan dari fungsi sinus sin(x) adalah fungsi kosinus cos(x) yang menunjukkan bahwa laju perubahan dari sin(x) terhadap x sama dengan nilai cos(x) pada titik tersebut.
2. Turunan Fungsi \cos(x)
Turunan dari fungsi kosinus cos(x) adalah negatif dari fungsi sinus -sin(x). Turunan tersebut berarti laju perubahan dari cos(x) adalah negatif dari nilai sin(x).
3. Turunan Fungsi \tan(x)
Turunan dari fungsi tangen tan(x) adalah sec^2(x) dan menunjukkan bahwa perubahan nilai tan(x) terhadap x bergantung pada kuadrat dari fungsi sekans sec(x).
Aturan Rantai dan Penerapannya pada Fungsi Trigonometri
Apa itu Aturan Rantai? Aturan rantai atau chain rule digunakan untuk menemukan turunan dari suatu fungsi yang merupakan hasil komposisi dari dua atau lebih fungsi.
Selain itu, aturan rantai menyatakan bahwa jika suatu fungsi y = f(g(x)) merupakan komposisi dari fungsi f(u) dengan u = g(x), maka turunan dari fungsi tersebut terhadap x dapat dihitung dengan cara mengalikan turunan fungsi luar f(u) dengan turunan fungsi dalam g(x).
Secara matematis, aturan rantai dinyatakan sebagai dengan , atau dalam bentuk .
Penerapan Aturan Rantai pada Fungsi Trigonometri
Aturan rantai sangat berguna dalam menghitung turunan dari fungsi trigonometri yang lebih kompleks, seperti sin(2x), cos(3x), dan lain-lain. Berikut adalah contoh penerapannya:
1. Turunan dari \sin(2x)
y = sin(2x)
Di sini, f(u) = sin(u) dan u = 2x. Maka, kita terapkan aturan rantai:
Turunan dari fungsi luar f(u) = sin(u) adalah cos(u).
Turunan dari fungsi dalam u = 2x adalah 2.
Kedua turunan ini akan kita kalikan, maka
2. Turunan dari \cos(3x)
y = cos(3x)
f(u) = cos(u) dan u = 3x
Turunan dari fungsi luar f(u) = cos(u) adalah -sin(u).
Turunan dari fungsi dalam u = 3x adalah 3.
Maka, turunan fungsi tersebut adalah
3. Turunan dari \tan(4x)
y = tan(4x)
Misalnya, f(u) = \tan(u) dan u = 4x.
Turunan dari fungsi luar f(u) = tan(u) adalah sec^2(u).
Turunan dari fungsi dalam u = 4x adalah 4.
Maka, turunan fungsi tersebut adalah
Mengerjakan Soal Materi Turunan Fungsi Trigonometri kelas 12 SMA
Dari materi turunan fungsi trigonometri kelas 12 SMA di atas, sekarang kamu akan Mamikos ajak untuk belajar mengerjakan contoh-contoh soalnya.
Contoh 1
Hitung turunan dari fungsi f(x) = sin(x).
Penyelesaian:
Fungsi yang diberikan adalah f(x) = sin(x). Kita dapat langsung menggunakan aturan dasar turunan untuk fungsi sinus.
Jadi, turunan dari sin(x) adalah cos(x).
Contoh 2
Hitung turunan dari fungsi f(x) = 3cos(x).
Penyelesaian:
Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 3cos(x), di sini kita akan menggunakan aturan turunan fungsi kosinus.
Jadi, turunan dari 3cos(x) adalah -3sin(x).
Contoh 3
Hitung turunan dari fungsi f(x) = sin(2x).
Penyelesaian:
Fungsi yang diberikan adalah f(x) = sin(2x), yang merupakan komposisi dari fungsi sin(u) dengan u = 2x. Kita gunakan aturan rantai:
1. Turunan dari fungsi luar sin(u) adalah cos(u).
2. Turunan dari fungsi dalam u = 2x adalah 2.
Mengalikan kedua turunan:
Jadi, turunan dari sin(2x) adalah 2cos(2x).
Contoh 4
Hitung turunan dari fungsi f(x) = 4sin(x) + 5cos(3x).
Penyelesaian:
Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 4sin(x) + 5cos(3x). Ini merupakan gabungan dari dua fungsi trigonometri.
Untuk 4sin(x), turunan langsung adalah 4cos(x).
Untuk 5cos(3x), kita gunakan aturan rantai:
Maka, turunan totalnya adalah f'(x) = 4cos(x) – 15sin(3x)
Jadi, turunan dari 4sin(x) + 5cos(3x) adalah 4cos(x) – 15sin(3x).
Contoh 5
Hitung turunan dari fungsi f(x) = sin(x)cos(2x).
Penyelesaian:
Fungsi yang diberikan adalah hasil kali dua fungsi trigonometri. Untuk menyelesaikannya, kita gunakan aturan perkalian (product rule):
Aturan perkalian: (uv)’ = u’v + uv’.
Di sini, u(x) = sin(x) dan v(x) = cos(2x).
1. Turunan dari u(x) = sin(x) adalah u'(x) = cos(x).
2. Turunan dari v(x) = cos(2x) adalah v'(x) = -2sin(2x) (menggunakan aturan rantai).
Menggunakan aturan perkalian:
Jadi, turunan dari adalah .
Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri
Pada bagian sebelumnya, Mamikos telah menjabarkan cara mengerjakan contoh soal tentang materi turunan fungsi trigonometri kelas 12 SMA. Nah, kini giliran kamu untuk mencoba mengerjakan contoh soal turunan fungsi, ya.
1. Hitung turunan dari fungsi f(x) = sin(4x).
A. 4cos(4x)
B. 2cos(4x)
C. -4sin(4x)
D. -4cos(4x)
Jawaban: A. 4cos(4x)
2. Diberikan fungsi g(x) = 5cos(x) + 3sin(2x). Tentukan turunan dari fungsi tersebut.
A. -5sin(x) – 6cos(2x)
B. 5sin(x) + 6cos(2x)
C. -5sin(x) + 6cos(2x)
D. 5sin(x) – 6cos(2x)
Jawaban: C. -5sin(x) + 6cos(2x)
3. Jika h(x) = tan(3x), maka turunan h'(x) adalah…
A. 3sec^2(3x)
B. 3sec(3x) tan(3x)
C. sec^2(3x)
D. -3sec^2(3x)
Jawaban: A. 3sec^2(3x)
4. Fungsi y =cos(5x). Berapakah turunan dari fungsi tersebut?
A. 5sin(5x)
B. 5cos(5x)
C. -cos(5x)
D. -5sin(5x)
Jawaban: D. -5sin(5x)
5. Tentukan turunan dari fungsi f(x) = csc(x).
A. csc(x) cot(x)
B. -csc(x) cot(x)
C. -sec(x) tan(x)
D. sec(x) cot(x)
Jawaban: B. -csc(x) cot(x)
6. Diketahui fungsi f(x) = 7sec(2x). Berapakah turunan dari fungsi ini?
A. 14sec(2x)tan(2x)
B. 7sec^2(2x)
C. 14sec(x)tan(2x)
D. 14sec^2(x)
Jawaban: A. 14sec(2x)tan(2x)
7. Hitunglah turunan dari fungsi g(x) =cos(4x) + 2sin(x).
A. 4cos(4x) – 2sin(x)
B. 4sin(4x) + 2cos(x)
C. -4cos(4x) + 2sin(x)
D. -4sin(4x) + 2cos(x)
Jawaban: D. -4sin(4x) + 2cos(x)
8. Jika h(x) = cot(3x), maka berapakah turunan dari h(x)?
A. -csc^2(3x)
B. 3csc^2(3x)
C. -3csc^2(3x)
D. 3sec^2(3x)
Jawaban: C. -3csc^2(3x)
9. Fungsi y = 2sin(3x) – cos(x). Tentukan turunan dari fungsi tersebut.
A. 6cos(3x) – sin(x)
B. 6cos(3x) + sin(x)
C. -6sin(3x) + cos(x)
D. 3sin(3x) – cos(x)
Jawaban: A. 6cos(3x) – sin(x)
10. Diberikan fungsi f(x) = sec(x)tan(x). Berapakah nilai turunan dari fungsi tersebut?
A. sec(x)(1 + tan^2(x))
B. sec(x)tan(x)
C. sec^2(x) + sec(x)\tan(x)
D. sec(x)(tan(x) + 1)
Jawaban: C. sec^2(x) + sec(x)tan(x)
11. Jika f(x) = 3csc(5x) – 4cos(2x), berapakah turunan dari fungsi ini?
A. -15csc(5x)cot(5x) + 8sin(2x)
B. -15csc(5x)cot(5x) – 8sin(2x)
C. 15csc(5x)cot(5x) – 8sin(2x)
D. 15csc(5x)cot(5x) + 8sin(2x)
Jawaban: B. -15csc(5x)cot(5x) – 8sin(2x)
12. Hitung turunan dari fungsi g(x) = 2sin(6x)cdot cos(x).
A. 12cos(6x)cos(x) – 2sin(6x)sin(x)
B. 12cos(6x)cos(x) + 2sin(6x)sin(x)
C. 12sin(6x)cos(x) – 2cos(6x)sin(x)
D. -12cos(6x)cos(x) + 2sin(6x)sin(x)
Jawaban: A. 12cos(6x)cos(x) – 2sin(6x)sin(x)
13. Diketahui fungsi h(x) = 7sec^2(x) + 5cos(4x). Tentukan turunan dari fungsi tersebut.
A. 7sec(x)tan(x) – 20sin(4x)
B. 14sec^2(x)tan(x) + 20sin(4x)
C. 14sec(x)tan(x) – 20sin(4x)
D. 14sec(x)tan(x) + 20sin(4x)
Jawaban: C. 14sec(x)tan(x) – 20sin(4x)
14. Diberikan fungsi y = cot(x) + 2sin(3x). Hitunglah turunan dari fungsi tersebut.
A. sec^2(x) + 6cos(3x)
B. csc^2(x) – 6cos(3x)
C. -csc^2(x) – 6cos(3x)
D. -csc^2(x) + 6cos(3x)
Jawaban: D. -csc^2(x) + 6cos(3x)
15. Temukan turunan dari fungsi f(x) = sec(4x) + tan(2x).
A. 4sec(4x)tan(4x) – 2sec^2(2x)
B. 4sec(4x)tan(4x) + 2sec^2(2x)
C. 4sec(4x)tan(4x) + 2csc^2(2x)
D. 2sec(4x)tan(4x) + 4sec^2(2x)
Jawaban: B. 4sec(4x)tan(4x) + 2sec^2(2x)
Penutup
Demikian rangkuman materi turunan fungsi trigonometri kelas 12 SMA yang disertai dengan contoh soal turunan fungsi yang bisa kamu jadikan sebagai bahan belajar.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: