8 Sifat Logaritma beserta Contoh dan Penjelasannya Lengkap
8 Sifat Logaritma beserta Contoh dan Penjelasannya Lengkap — Logaritma dan eksponen atau bilangan berpangkat merupakan konsep matematika yang saling berkaitan.
Logaritma sering disebut inversi dari eksponen atau bilangan berpangkat operasinya merupakan kebalikan dari eksponen.
Agar siswa kelas 10 SMA lebih paham konsep logaritma, yuk pelajari beberapa sifat unik logaritma berikut ini!
Definisi Logaritma
Pada dasarnya menurut Entis Sutisna (2020) dalam Modul Pembelajaran SMA Matematika Peminatan, logaritma merupakan invers dari eksponensial atau perpangkatan.
Sebab demikian, apabila kita ingin menemukan nilai suatu logaritma, maka yang harus kita lakukan adalah membalik fungsi dari eksponennya.
Untuk membuktikan pernyataan di atas, simak uraian di bawah ini sebelum kita membahas lebih lanjut mengenai sifat logaritma, ya!
Sebelumnya, kita sudah mempelajari mengenai cara mengekspresikan sebuah eksponen.
Contohnya kita memiliki bilangan berpangkat 52 = 25, bagaimana cara untuk menyatakan 5 dalam 2 dan 25? Jawabannya 5 = √25.
Bagaimana menyatakan 2 dalam 5 serta 25? Caranya yaitu 2 merupakan pangkat dari 5 sehingga 52 = 25.
Apabila kita ekspresikan secara umum maka ay = x, jadi y merupakan eksponen dari a sehingga ay = x, kemudian pernyataan tadi bisa kita tuliskan dalam bentuk logaritma.
y = alog x atau x dengan a merupakan basis (bilangan dasar) serta y merupakan pangkatnya.
Bentuk Umum Logaritma
Bentuk umum logaritma bisa kita dapatkan dengan mengibaratkan a sebagai bilangan positif yang bukan merupakan bilangan 1 (0 < a < 1 atau a > 1) serta b merupakan bilangan positif (b > 0).
Bentuk umum:
alog b = c dapat dinyatakan apabila ac = b
Di mana:
- a merupakan basis atau bilangan pokok logaritma yang nilainya di antara 0 dan bilangan satu, atau nilai a boleh lebih dari 1.
- b nantinya dapat disebut sebagai numerus hanya dengan syarat apabila nilai b > 0
- c nantinya dapat kita sebut sebagai hasil logaritma
Logaritma Umum
Menurut Dicky Susanto, dkk (2021) dalam Matematika SMA/SMK Kelas X, bentuk logaritma yang perlu siswa kelas X ketahui lainnya adalah logaritma dengan bilangan pokok 10.
Logaritma dengan basis 10 dikenal dengan sebutan Logaritma Umum. Logaritma Umum biasanya diekspresikan dengan menghilangkan basis logaritmanya.
Sebagai contoh, kita bisa mengekspresikan 10log 100 dengan bentuk Logaritma Umum yaitu log 100.
Bentuk Logaritma Umum:
10log x = log x
Sifat Logaritma
Logaritma memiliki sifat-sifat yang penting untuk siswa kelas X ketahui. Ada berbagai jenis sifat-sifat yang logaritma miliki, tapi 8 sifat-sifat di bawah ini merupakan sifat paling dasar yang wajib siswa kelas X ketahui.
Sifat-sifat logaritma pada dasarnya dapat kita ketahui dari sifat-sifat yang dimiliki oleh eksponen.
Berikut sifat logaritma yang dibutuhkan untuk memecahkan persoalan terkait logaritma menurut Pintar Logaritma yang disusun oleh Janu Ismadi (2009) serta Matematika SMA/SMK Kelas X oleh Dicky Susanto, dkk (2021).
- alog a = 1
- alog 1 = 0
- alog az = z
- alog (b × c) = alog b + alog c
- alog (b/c) = alog b – alog c
- alog bz = z alog b
- alog b = mlog b/ mlog a = 1/ mlog a
- alog z × zlog c = a log c
Supaya kamu lebih mengerti sifat tersebut, Mamikos akan menjelaskannya satu persatu disertai dengan contoh-contohnya.
1. Sifat alog a = 1
Sifat logaritma yang pertama adalah apabila ada sutau persamaan logaritma di mana numerus dan bilangan basis (bilangan pokok) sama maka hasil logaritmanya adalah 1.
Hal ini sesuai dengan a apabila kita pangkatkan dengan 1, maka hasil logaritma yang kita dapatkan adalah bilangan a itu sendiri.
Contoh:
3log 3 = 1 karena 31 = 3
100log 100 = 1 karena 1001 = 100
154log 100 = 1 karena 1541 = 154
2. Sifat alog 1 = 0
Sifat logaritma ini menyatakan apabila terdapat sebuah logaritma dengan bilangan pokok a serta numerus 1, maka hasil logaritma yang akan kita dapatkan merupakan bilangan 0.
Hal ini sesuai dengan sifat operasi bilangan berpangkat atau eksponen, karena apabila ada bilangan apapun yang dipangkatkan dengan bilangan 0 maka hasilnya adalah 1.
Contoh:
5log 1 = 0 karena 50 = 1
57log 1 = 0 karena 570 = 1
1000log 1 = 0 karena 10000 = 1
3. Sifat alog az = z
Sifat logaritma berikut menyiratkan bahwa apabila suatu persamaan logaritma berbasis a dan numerusnya a pangkat z, maka hasil logaritmanya adalah z sehingga alog az = z.
Contoh:
4log 43 = 3 hal ini dikarenakan apabila 43 maka hasilnya pun 43.
4. Sifat alog (b × c) = alog b + alog c
Sifat ini memberikan kita gambaran bahwa hasil perkalian dari dua bilangan logaritma sama dengan penjumlahan logaritma dari bilangan-bilangan terkait.
Coba misalkan, b = ax dan c = ay maka bc = ax × ay = ax+y. Didasarkan pada definisi logaritma, maka kita akan memperoleh
alog (b × c) = x + y = alog b + alog c
Jadi, alog (b × c) = alog b + alog c
Contoh:
2log (4 × 8) = 2log 4 + 2log 8 = 2 + 3 = 5
Karena
4 × 8 = 32 dan 25 = 32
5. Sifat alog (b/c) = alog b – alog c
Sifat logaritma ini menyatakan hasil pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma dari bilangan-bilangan terkait.
Misalkan, b = ay dan c = az maka b/c = ay / az = ay-a. Hal ini didasarkan pada sifat operasi bilangan berpangkat yang sebelumnya sudah kita ketahui.
alog (b/c) = x – y = alog b – alog c
Jadi, alog (b/c) = alog b – alog c
Contoh:
3log (27/9) = 3log 27 – 3log 9 = 3log 27 – 3log 9 = 3 – 2 = 1
6. Sifat alog bz = z alog b
Hasil logaritma dari suatu bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan lain sama dengan eksponen dikalikan logaritma dari bilangan tersebut.
Berdasarkan sifat 4, kita bisa menuliskan:
alog bz = alog (b.b…b) = alog b + alog b + … + alog b = z alog b
Jadi dapat kita simpulkan alog bz = z alog b
Contoh:
2log 82 = 2 × 2log 8 = 2 × 3 = 6 karena 82 = 64 dan 26 = 64
7. Sifat alog b = mlog b/ mlog a = 1/ mlog a
Sifat logaritma ini menyiratkan logaritma dengan basis berbeda dapat diubah menggunakan faktor pembagi.
Misalkan, alog b = x, maka b = ax
Mari kita tentukan logaritma dari kedua ruas dengan bilangan pokok m sehingga diperoleh,
mlog b = mlog ax = x × mlog a (kita gunakan sifat 6 logaritma yang sebelumnya kita bahas).
Didapatkan, x = mlog b/ mlog a
Oleh karena x = alog b, maka alog b = mlog b/ mlog a
Contoh:
2log 16 = 3log 16/ 3log 2 = 1/4log 2 dikarenakan hasil dari 24 adalah 16.
8. Sifat alog z × zlog c = a log c
Sifat logaritma kali ini menyatakan bahwa bilangan pokok berbeda dapat disederhanakan menjadi logaritma dengan basis yang diubah.
Untuk membuktikan sifat ini, kita bisa menggunakan sifat logaritma ke-7 yang sudah Mamikos jelaskan sebelumnya.
alog z × zlog c = alog z × (alog c/ alog z) = a log c
Jadi, alog z × zlog c = a log c.
Contoh:
2log 8 × 8log 64 = 2 log 64 = 6 karena 26 = 64
Penutup
Sifat logaritma dapat kita uraikan dari sifat-sifat eksponen. Bagi siswa kelas 10 SMA, 8 sifat-sifat logaritma berikut merupakan hal wajib yang patut diketahui.
Apabila kamu merasa sudah mengerti sifat-sifat tersebut, kamu bisa melanjutkan dengan mengerjakan soal menyederhanakan eksponen dan logaritma.
Nah, jika kamu merasa penjelasan Mamikos di uraian sifat-sifat logaritma kurang jelas, kamu bisa menengok FAQ ini!
FAQ
Orang yang menciptakan rumus logaritma adalah matematikawan asal Skotlandia bernama John Napier. Pada tahun 1614, Napier menerbitkan tabel logaritma naturalis dengan basis e. Selanjutnya ia menerbitkan logaritma dengan basis 10 untuk memudahkan penggunanya.
Bentuk umum logaritma bisa kita peroleh dengan memisalkan a sebagai bilangan positif yang tidak sama dengan bilangan 1 (0 < a 1) dan b berupa bilangan positif yang nilainya harus lebih dari nol.
Bentuk umum logaritma yaitu: alog b = c. Pernyataan ini sah untuk diekspresikan jika ac = b.
(a) yaitu ‘bilangan pokok’ sebuah logaritma yang nilainya terletak antara 0 serta bilangan satu. Nilai a juga boleh bernilai lebih dari bilangan 1. (b) nantinya bisa kita sebut dengan ‘numerus’ dengan aturan nilai b harus lebih dari 0. (c) bisa disebut sebagai hasil logaritma.
Ya, logaritma bisa bernilai negatif apabila bilangan yang dilogaritmakan merupakan bilangan pecahan antara 0 dan 1. Sebagai contoh 10log 0,01 = -2 karena 10-2 = 0,01.
Tidak, hasil logaritma bisa bernilai negatif (tidak selalu positif), apabila numerusnya merupakan bilangan pecahan.
Angka 2 merupakan basis, sementara 8 adalah numerus, sehingga dapat kita simpulkan bahwa bilangan 2 harus dipangkatkan dengan berapa agar didapatkan hasil berupa angka 8. Maka, 2 harus dipangkatkan dengan 3 agar kita bisa mendapatkan bilangan 8. Jadi 2log 8 = 3.
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: