Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya untuk Bahan Belajar – Salah satu materi dalam mata pelajaran Matematika ada yang namanya Kedudukan Titik terhadap Lingkaran.

Materi ini banyak melibatkan rumus-rumus persamaan dan juga pertidaksamaan sehingga dengan dasar kuat dari keduanya, penguasaannya tidaklah terlalu sulit.

Kamu bisa kuasai materi ini dengan rajin mempelajari contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang bisa kamu mulai di laman ini. Yuk, simak keseluruhan artikelnya di bawah ini!

Seperti Apa Kedudukan Titik terhadap Lingkaran?

Sebelum jauh membahas contoh soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran, ada baiknya kamu pahami dulu seperti apa kemungkinan yang dimiliki oleh titik-titik tersebut.

Ada 3 kemungkinan posisi atau kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak tepat pada garis lengkung lingkaran.

Penentuan titik-titik ini bisa kamu lakukan dengan mudah bila tergambar pada suatu bidang. Hanya saja hal tersebut kurang efektif karena membutuhkan waktu lebih lama.

Maka dari itu, ada cara di mana kamu bisa menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran tanpa harus menggambarnya di suatu bidang Kartesius. Caranya adalah dengan mengetahui rumus persamaan lingkaran berikut ini:

1. Bila pusatnya P (0,0) dan jari-jarinya r, maka bentuk persamaannya x² + y² = r²
2. Jika pusatnya P (a,b) dan jari-jarinya r, maka bentuk persamaannya (x – a)² + (y – b)² = r²
3. Jika pusatnya P(-1/2A, -1/2B) dan jari-jarinya r =√1/4 A² + 1/4 B² – C , maka bentuk persamaannya x² + y² +Ax + By + C = 0

Nah, itulah rumus persamaan lingkaran yang akan berguna untuk menentukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran.

Baca Juga :

Contoh Soal Vektor Matematika Kelas 11 SMA dan Pembahasannya Kurikulum Merdeka

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran 

Yuk, pelajari beberapa contoh soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran berikut ini:

Contoh Soal 1

Tentukanlah posisi titik (3,4) terhadap lingkaran x² +y² = 36 !

Pembahasan:

Untuk bisa menentukan posisi dari titik (x₁,y₁) terhadap lingkaran x² +y² = r², maka kamu bisa membandingkan nilai x₁² + y₁² dengan r².

1. Apabila x₁² + y₁² > r², maka titik terletak di luar lingkaran.
2. Apabila x₁² + y₁² = r², maka titik tepat pada lingkaran.
3. Apabila x₁² + y₁² < r², maka titik berada di dalam lingkaran

Pada soal ini diketahui bahwa titik (3,4), sehingga x₁ = 3 dan y₁ = 4. 

Maka, persamaan lingkarannya adalah  x² +y² = 36, sehingga r² = 36.

Selanjutnya, hitunglah nilai dari x₁² + y₁² :

3² + 4² = 9 + 16 = 25

Lalu, bandingkan 25 dengan r² = 36 : 

25 < 6

Dikarenakan 3² + 4² < 36, maka posisi atau kedudukan dari titik (3,4) berada di dalam lingkaran.

Contoh Soal 2

Tentukanlah posisi atau kedudukan titik (-6, 0) terhadap lingkaran x² +y² = 25 !

Pembahasan:

Contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang kedua ini juga sama seperti yang pertama yaitu membandingkan nilai x₁² + y₁² dengan r².

Titik pada soal ini adalah (-6,0), maka x₁ = -6 dan y₁ = 0 dengan persamaan lingkaran x² +y² = 25, sehingga nilai dari r² = 25.

Dari sini kita bisa hitung nilai dari x₁² + y₁² :

(-6)² + 0² = 36 + 0 = 36

Baca Juga :

10 Contoh Soal TKA Bahasa Inggris Kelas 12 SMA dan Kunci Jawabannya

Lalu, bandingkanlah 36 dengan r² = 25 : 

36 > 25

Maka dari itu, dikarenakan (-6)² + 0 > 25 maka posisi titik (-6,0) berada di luar lingkaran.

Contoh Soal 3

Tentukan kedudukan titik (5, 6) terhadap lingkaran dengan persamaan (x−2)² +(y−3)² = 25.

Pembahasan:

Agar bisa menemukan posisi atau kedudukan dari titik (x1,y1) terhadap lingkaran yang memiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r², maka kita harus substitusikan koordinat titik titik dengan persamaan lingkaran.

1. Bila (x – a)² + (y – b)² > r², maka titik tersebut letaknya berada di luar lingkaran.
2. Bila (x – a)² + (y – b)² = r², maka titik tersebut letaknya berada pada lingkaran.
3. Bila (x – a)² + (y – b)² < r², maka titik tersebut letaknya berada di dalam lingkaran.

Di soal yang ini, diketahui titiknya adalah (5,6) maka x₁ = 5 dan y₁ = 6. 

Lalu persamaan lingkarannya adalah (x−2)² +(y−3)² = 25, sehingga a = 2, b = 3, dan r² = 25.

Pertama, mari substitusikan nilai dari x1 dan y2 ke dalam ruas kiri dari persamaan, sehingga:

(5 – 2)² + (6 – 3)² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18 

Setelah itu, bandingkanlah hasil dari r² = 25:

18 < 25

Maka, dikarenakan (5 – 2)² + (6 – 3)² < 25, dapat dipastikan bahwa posisi titik (5,6) berada di dalam lingkaran tersebut.

Contoh Soal 4

Tentukanlah kedudukan dari titik (1, -1) terhadap lingkaran dengan persamaan (x+1)² +(y−2)² = 9.

Pembahasan:

Pada contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran keempat ini, titiknya diketahui adalah (1, -1), maka x₁ = 1 dan y₁ = -1 dengan persamaan linkgarannya adalah (x + 1)² + (y – 2)² = 9, maka a = -1, b = 2, dan r² = 9.

Substitusikan nilai x1 dan y1 ke dalam persamaan bagian ruas kiri, sehingga didapat:

(1 + 1)² + (-1 – 1)² = 22 + (-3)² = 4 + 9 = 13

Selanjutnya, bandingkan hasil tersebut dengan r² = 0, maka:

13 > 9

Dengan alasan (1 + 1)² + (-1 – 1)² > 9, maka posisi atau kedudukan titik (1, -1) terletak di luar lingkaran.

Baca Juga :

Jawaban Bahasa Inggris Tingkat Lanjut Kelas 12 SMA Halaman 3 dan 4 Kurikulum Merdeka

Contoh Soal 5

Tentukanlah nilai p agar titik (p,1) terletak di dalam lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.

Pembahasan:

Untuk menentukan kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran x² +y² + 4x + By + C = 0, kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran.

1. Bila x₁² + y₁² + Ax₁ +By₁ + C > 0, maka titik terletak di luar lingkaran.
2. Jika x₁² + y₁² + Ax₁ +By₁ + C = 0, maka titik terletak pada lingkaran.
3. Apabila x₁² + y₁² + Ax₁ +By₁ + C < 0, maka titik terletak di dalam lingkaran.

Pada contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang terakhir ini diketahui bahwa titiknya adalah (p, 1), maka x₁ = p dan y₁ = 1. Lalu, persamaan lingkarannya adalah x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.

Dikarenakan titik (p, 1) letaknya ada di dalam lingkaran, maka kita harus bisa memenuhi kondisi berikut ini:

x₁² + y₁² + 4x₁ +2y₁ – 4 < 0

Pertama, substitusikan terlebih dahulu nilai dari x¹ = p dan y¹ = 1 seperti ini:

p² + 1² – 4(p) + 2(1) – 4 < 0

P² + 1 – 4p + 2 – 4 < 0

p² – 4p – 1 < 0

Selanjutnya, untuk bisa menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, amaka kita harus cari terlebih dahulu akar-akar yang ada di dalam persamaan p² – 4p – 1 = 0 yang bisa dilakukand dengan menggunakan rumus ABC:

p = -b +- b^{2 –} 4ac / 2a

p = – (-4) +- (-4)² – 4 (1) (-1) / 2 (1)

p = 4 +- 16 + 4 / 2

p = 4 +- 20 / 2

p = 4 +- 2 5 / 2

p = 2 +- 5

Maka, ditemukanlah akar-akar dari p₁ = 2 – 5 dan p₂ = 2 + 5.

Dengan pertidaksamaan p² – 4p – 1 < 0 dan koefisien dari p² yang merupakan 1 nilainya adalah positif, maka yang merupakan daerah penyelesaiannya terletak di antara kedua akar.

Maka dari itu, nilai p agar titik (p, 1) berada di dalam lingkaran adalah 2 – 5 < p < 2 + 5.

Baca Juga :

Jawaban Bahasa Inggris Tingkat Lanjut Kelas 12 SMA Halaman 5 6 7 Kurikulum Merdeka

Penutup

Itulah beberapa contoh soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran yang bisa kamu jadikan bahan belajar tambahan baik di sekolah maupun di rumah.

Dengan semakin banyak mempelajari contoh soal spesifik pada materi ini, sudah pasti penguasaan dan pemahamanmu terhadap materi ini jadi semakin dalam.

Saat ada ulangan harian mengenai materi ini atau saat muncul di UAS atau UTS, pastinya jadi lebih lihai mengerjakan karena sudah tahu cara-cara penyelesaiannya.

Terima kasih telah menyimak hingga titik ini. Semoga bermanfaat!

FAQ

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

The post Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya untuk Bahan Belajar appeared first on Blog Mamikos.