8 Sifat Logaritma beserta Contoh dan Penjelasannya Lengkap — Logaritma dan eksponen atau bilangan berpangkat merupakan konsep matematika yang saling berkaitan.

Logaritma sering disebut inversi dari eksponen atau bilangan berpangkat operasinya merupakan kebalikan dari eksponen.

Agar siswa kelas 10 SMA lebih paham konsep logaritma, yuk pelajari beberapa sifat unik logaritma berikut ini!

Definisi Logaritma

Pada dasarnya menurut Entis Sutisna (2020) dalam Modul Pembelajaran SMA Matematika Peminatan, logaritma merupakan invers dari eksponensial atau perpangkatan.

Sebab demikian, apabila kita ingin menemukan nilai suatu logaritma, maka yang harus kita lakukan adalah membalik fungsi dari eksponennya.

Untuk membuktikan pernyataan di atas, simak uraian di bawah ini sebelum kita membahas lebih lanjut mengenai sifat logaritma, ya!

Sebelumnya, kita sudah mempelajari mengenai cara mengekspresikan sebuah eksponen.

Contohnya kita memiliki bilangan berpangkat 5² = 25, bagaimana cara untuk menyatakan 5 dalam 2 dan 25? Jawabannya 5 = √25.

Bagaimana menyatakan 2 dalam 5 serta 25? Caranya yaitu 2 merupakan pangkat dari 5 sehingga 5² = 25.

Apabila kita ekspresikan secara umum maka a^y = x, jadi y merupakan eksponen dari a sehingga a^y = x, kemudian pernyataan tadi bisa kita tuliskan dalam bentuk logaritma.

y = ^alog x atau x dengan a merupakan basis (bilangan dasar) serta y merupakan pangkatnya.

Baca Juga :

Materi Matematika Kelas 10 SMA Semester 1 dan 2 Kurikulum Merdeka

Bentuk Umum Logaritma

Bentuk umum logaritma bisa kita dapatkan dengan mengibaratkan a sebagai bilangan positif yang bukan merupakan bilangan 1 (0 < a < 1 atau a > 1) serta b merupakan bilangan positif (b > 0).

Bentuk umum:

^alog b = c dapat dinyatakan apabila a^c = b

Di mana:

• a merupakan basis atau bilangan pokok logaritma yang nilainya di antara 0 dan bilangan satu, atau nilai a boleh lebih dari 1.
• b nantinya dapat disebut sebagai numerus hanya dengan syarat apabila nilai b > 0
• c nantinya dapat kita sebut sebagai hasil logaritma

Baca Juga :

Ringkasan Materi Persamaan dan Pertidaksamaan Linear SMA Kelas 10

Logaritma Umum

Menurut Dicky Susanto, dkk (2021) dalam Matematika SMA/SMK Kelas X, bentuk logaritma yang perlu siswa kelas X ketahui lainnya adalah logaritma dengan bilangan pokok 10.

Logaritma dengan basis 10 dikenal dengan sebutan Logaritma Umum. Logaritma Umum biasanya diekspresikan dengan menghilangkan basis logaritmanya.

Sebagai contoh, kita bisa mengekspresikan ¹⁰log 100 dengan bentuk Logaritma Umum yaitu log 100.

Bentuk Logaritma Umum:

¹⁰log x = log x

Sifat Logaritma

Logaritma memiliki sifat-sifat yang penting untuk siswa kelas X ketahui. Ada berbagai jenis sifat-sifat yang logaritma miliki, tapi 8 sifat-sifat di bawah ini merupakan sifat paling dasar yang wajib siswa kelas X ketahui.

Sifat-sifat logaritma pada dasarnya dapat kita ketahui dari sifat-sifat yang dimiliki oleh eksponen.

Berikut sifat logaritma yang dibutuhkan untuk memecahkan persoalan terkait logaritma menurut Pintar Logaritma yang disusun oleh Janu Ismadi (2009) serta Matematika SMA/SMK Kelas X oleh Dicky Susanto, dkk (2021).

1. ^alog a = 1
2. ^alog 1 = 0
3. ^alog a^z = z
4. ^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c
5. ^alog (b/c) = ^alog b – ^alog c
6. ^alog b^z = z ^alog b
7. ^alog b = ^mlog b/ ^mlog a = 1/ ^mlog a
8. ^alog z × ^zlog c = ^a log c

Supaya kamu lebih mengerti sifat tersebut, Mamikos akan menjelaskannya satu persatu disertai dengan contoh-contohnya.

1. Sifat ^alog a = 1

Sifat logaritma yang pertama adalah apabila ada sutau persamaan logaritma di mana numerus dan bilangan basis (bilangan pokok) sama maka hasil logaritmanya adalah 1.

Hal ini sesuai dengan a apabila kita pangkatkan dengan 1, maka hasil logaritma yang kita dapatkan adalah bilangan a itu sendiri.

Contoh:

³log 3 = 1 karena 3¹ = 3

¹⁰⁰log 100 = 1 karena 100¹ = 100

¹⁵⁴log 100 = 1 karena 154¹ = 154

Baca Juga :

Contoh Bentuk Grafik Fungsi Eksponen Kelas 10 SMA beserta Cara Menggambar yang Benar

2. Sifat ^alog 1 = 0

Sifat logaritma ini menyatakan apabila terdapat sebuah logaritma dengan bilangan pokok a serta numerus 1, maka hasil logaritma yang akan kita dapatkan merupakan bilangan 0.

Hal ini sesuai dengan sifat operasi bilangan berpangkat atau eksponen, karena apabila ada bilangan apapun yang dipangkatkan dengan bilangan 0 maka hasilnya adalah 1.

Contoh:

⁵log 1 = 0 karena 5⁰ = 1

⁵⁷log 1 = 0 karena 57⁰ = 1

¹⁰⁰⁰log 1 = 0 karena 1000⁰ = 1

3. Sifat ^alog a^z = z

Sifat logaritma berikut menyiratkan bahwa apabila suatu persamaan logaritma berbasis a dan numerusnya a pangkat z, maka hasil logaritmanya adalah z sehingga ^alog a^z = z.

Contoh:

⁴log 4³ = 3 hal ini dikarenakan apabila 4³ maka hasilnya pun 4³.

4. Sifat ^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c

Sifat ini memberikan kita gambaran bahwa hasil perkalian dari dua bilangan logaritma sama dengan penjumlahan logaritma dari bilangan-bilangan terkait.

Coba misalkan, b = a^x dan c = a^y maka bc = a^x × a^y = a^x+^y. Didasarkan pada definisi logaritma, maka kita akan memperoleh

^alog (b × c) = x + y = ^alog b + ^alog c

Jadi, ^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c

Contoh:

²log (4 × 8) = ²log 4 + ²log 8 = 2 + 3 = 5

Karena

4 × 8 = 32 dan 2⁵ = 32

5. Sifat ^alog (b/c) = ^alog b – ^alog c

Sifat logaritma ini menyatakan hasil pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma dari bilangan-bilangan terkait.

Misalkan, b = a^y dan c = a^z maka b/c = a^y / a^z = a^y-a. Hal ini didasarkan pada sifat operasi bilangan berpangkat yang sebelumnya sudah kita ketahui.

^alog (b/c) = x – y = ^alog b – ^alog c

Jadi, ^alog (b/c) = ^alog b – ^alog c

Contoh:

³log (27/9) = ³log 27 – ³log 9 = ³log 27 – ³log 9 = 3 – 2 = 1

6. Sifat ^alog b^z = z ^alog b

Hasil logaritma dari suatu bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan lain sama dengan eksponen dikalikan logaritma dari bilangan tersebut.

Berdasarkan sifat 4, kita bisa menuliskan:

^alog b^z = ^alog (b.b…b) = ^alog b + ^alog b + … + ^alog b = z ^alog b

Jadi dapat kita simpulkan ^alog b^z = z ^alog b

Contoh:

²log 8² = 2 × ²log 8 = 2 × 3 = 6 karena 8² = 6⁴ dan 2⁶ = 64

7. Sifat ^alog b = ^mlog b/ ^mlog a = 1/ ^mlog a

Sifat logaritma ini menyiratkan logaritma dengan basis berbeda dapat diubah menggunakan faktor pembagi.

Misalkan, ^alog b = x, maka b = a^x

Mari kita tentukan logaritma dari kedua ruas dengan bilangan pokok m sehingga diperoleh,

^mlog b = ^mlog a^x = x × ^mlog a (kita gunakan sifat 6 logaritma yang sebelumnya kita bahas).

Didapatkan, x = ^mlog b/ ^mlog a

Oleh karena x = ^alog b, maka ^alog b = ^mlog b/ ^mlog a

Contoh:

²log 16 = ³log 16/ ³log 2 = 1/⁴log 2 dikarenakan hasil dari 2⁴ adalah 16.

Baca Juga :

Cara Hitung Penjumlahan Eksponen beserta Contohnya dalam Matematika SMA Kelas 10

8. Sifat ^alog z × ^zlog c = ^a log c

Sifat logaritma kali ini menyatakan bahwa bilangan pokok berbeda dapat disederhanakan menjadi logaritma dengan basis yang diubah.

Untuk membuktikan sifat ini, kita bisa menggunakan sifat logaritma ke-7 yang sudah Mamikos jelaskan sebelumnya.

^alog z × ^zlog c = ^alog z × (^alog c/ ^alog z) = ^a log c

Jadi, ^alog z × ^zlog c = ^a log c.

Contoh:

²log 8 × ⁸log 64 = ² log 64 = 6 karena 2⁶ = 64

Penutup

Sifat logaritma dapat kita uraikan dari sifat-sifat eksponen. Bagi siswa kelas 10 SMA, 8 sifat-sifat logaritma berikut merupakan hal wajib yang patut diketahui.

Apabila kamu merasa sudah mengerti sifat-sifat tersebut, kamu bisa melanjutkan dengan mengerjakan soal menyederhanakan eksponen dan logaritma.

Nah, jika kamu merasa penjelasan Mamikos di uraian sifat-sifat logaritma kurang jelas, kamu bisa menengok FAQ ini!

FAQ

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

The post 8 Sifat Logaritma beserta Contoh dan Penjelasannya Lengkap appeared first on Blog Mamikos.