Rumus Limit Fungsi Trigonometri beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Kamu harus mengetahui rumus limit fungsi trigonometri berikut agar bisa menyelesaikan setiap soal terkait. Simak yuk apa saja rumusnya beserta contoh penerapannya!

25 Juli 2024 Citra

Ikuti Mamikos Info di Google

Contoh Soal 2

Hitunglah nilai dari $\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(2x) + \cos(x) \right)$ =…

Pembahasan:

Nilai sin (2𝑥) ketika 𝑥 → π/2 maka 2x →2⋅ π/2= π

Kita tahu bahwa: sin (𝜋) = 0

Nilai cos (𝑥) ketika 𝑥 → π/2 maka cos (π/2) = 0

Setelah kita menghitung nilai dari masing-masing fungsi pada 𝑥 = π/2 , maka kita bisa menjumlahkannya:

$\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(2x) + \cos(x) \right)$ = sin (𝜋) + cos (π/2) = 0 + 0 = 0

Jadi nilai dari limit tersebut adalah $\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(2x) + \cos(x) \right)$ = 0

Contoh Soal 3

Selesaikan persamaan di bawah ini! Hitunglah nilai dari $\ \lim_{x \to 0} x \sin \left(\frac{2}{x}\right)$ =…

Kita perlu memahami perilaku dari fungsi trigonometri sin (2/x) ketika 𝑥 mendekati 0 dan bagaimana 𝑥 mempengaruhi limit tersebut.

Pembahasan

Fungsi sin (2/x) berosilasi antara -1 dan 1 untuk semua nilai 𝑥, tetapi (2/x) akan menjadi sangat besar ketika 𝑥 mendekati 0. Meskipun sin (2/x) tidak memiliki limit tertentu karena terus berosilasi, kita tahu bahwa nilainya tetap terbatas antara -1 dan 1.

Ketika 𝑥 → 0, kita perlu mempertimbangkan bahwa sin (2/x) tetap terbatas. Artinya, kita dapat menggunakan prinsip bahwa sin (2/x) tetap antara -1 dan 1.

Kita dapat menggunakan batasan sinus yaitu -1 ≤ sin (2/x) ≤ 1

Jika kita mengalikan seluruh bagian dengan 𝑥 (yang mendekati 0) maka akan menghasilkan:

-𝑥 ≤ sin (2/x) ≤ 𝑥

Untuk menyelesaikan persamaan maka kita memakai rumus limit fungsi trigonometri yang ini:

f(x) ≤ g(x) ≤h (x) dan $\ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to 0} h(x) = L$ , maka $\ \lim_{x \to 0} g(x) = L$ .

Dalam soal ini:

𝑥 = 0 dan $\ \lim_{x \to 0} x = 0$

maka 𝑥 sin (2/x) = 0

Jadi nilai dari limit $\ \lim_{x \to 0} x \sin \left(\frac{2}{x}\right)$ adalah 0

Penutup

Dengan menguasai rumus limit fungsi trigonometri, kamu dapat menyelesaikan berbagai masalah limit fungsi trigonometri dengan lebih mudah dan tepat.

Semoga contoh soal dan pembahasan yang telah disajikan oleh Mamikos di atas dapat membantu proses belajar dan latihan kamu. Tetap semangat!

Apabila terdapat hal lain yang masih mengganjal, kamu bisa menyimak FAQ di bawah ini, ya!

FAQ

Apa itu rumus limit fungsi trigonometri?

Rumus limit fungsi trigonometri adalah rumus untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, atau tangen ketika variabel mendekati suatu titik tertentu.

Bagaimana cara menentukan nilai limit fungsi?

Untuk menentukan nilai limit fungsi, substitusikan nilai mendekati titik yang diinginkan.

Apa yang kalian ketahui tentang limit fungsi dan trigonometri?

Limit fungsi adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabel mendekati titik tertentu, sementara limit trigonometri melibatkan perilaku fungsi trigonometri seperti sin, cos, dan tan saat variabel mendekati titik tertentu.

Apa manfaat aplikasi limit fungsi trigonometri?

Aplikasi limit fungsi trigonometri bermanfaat untuk analisis perilaku fungsi mendekati titik tertentu, penting dalam kalkulus dan pemodelan fenomena fisik, teknik, dan ilmu alam.

Jelaskan mengenai nilai maksimum dan nilaiminimum dalam fungsi trigonometri?

Nilai maksimum fungsi trigonometri adalah nilai tertinggi yang dicapai oleh fungsi tersebut, sementara nilai minimum adalah nilai terendah yang dicapai oleh fungsi tersebut.