Turunan Trigonometri: Rumus dan Contoh Soal Turunan Trigonometri Lengkap

Turunan Trigonometri: Rumus dan Contoh Soal Turunan Trigonometri Lengkap – Menurut Wikipedia, trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon yang berarti “tiga sudut” dan metron yang berarti “mengukur”. Trigonometri merupakan sebuah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan meliputi panjang dan sudut segitiga. 

Turunan Trigonometri

Trigonometri memiliki konsep, yaitu jika salah satu sudut adalah 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, maka sudut ketiganya dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga ketika dijumlahkan menjadi 180 derajat. Oleh sebab itu, dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan akan berjumlah 90 derajat. Sudut ini disebut sudut komplementer. 

Trigonometri lebih sering digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat. Selain itu, rumus identitas trigonometri juga digunakan dalam navigasi di laut, udara, dan angkasa. Bidang lainnya seperti ilmu geografi, teori musik, optik, teori probabilitas, pencitraan medis, dan meteorologi tidak asing dengan cabang ilmu ilmu ini. Bagi kamu yang berkuliah pada ilmu atau jurusan arsitektur, teknik kelistrikan, teknik mekanik, dan teknik sipil pasti akan mempelajari trigonometri.

Nah, setelah kamu memahami dan mendapat gambaran tentang trigonometri, kita akan belajar bersama mengenai turunan trigonometri, sebagai berikut:

Pengertian Turunan Trigonometri

Turunan trigonometri merupakan proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri atau tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Fungsi trigonometri yang biasanya digunakan,  yaitu sin(x), cos(x) dan tan(x). Conto: turunan “f(x) = sin(x)” ditulis “f ′(a) = cos(a)”. “f ′(a)”, yaitu tingkat perubahan sin(x) pada titik “a”.

Rumus Turunan Trigonometri

Berikut ini adalah turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f (x) = sin x → f ‘(x) = cos x
f (x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
f (x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
f (x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
f (x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
f (x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Trigonometri I

Misalkan u adalah fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, Jadi:

f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
f (x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
f (x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
f (x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
f (x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
f (x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Trigonometri II

Berikut ini adalah turunan dari fungsi rumus sin cos tan trigonometri pada variabel sudut ax +b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0:

f (x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
f (x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
f (x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
f (x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
f (x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
f (x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Contoh Soal Turunan Trigonometri

Contoh Soal 1

Tentukan turunan y = cos x4

Jawaban:
Misal :
u = x4 ⇒ u’ = 4x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x4 . 4x
y’ = −4x sin x4

Contoh Soal 2

Tentukan turunan y = sin 3x !

Jawaban:
Misal:
u = 3x ⇒ u’ = 3

y’ = cos u . u’
y’ = cos 3x . 3
y’ = 3cos 3x

Contoh Soal 3

Tentukan turunan y = tan (2x+1)!

Jawaban:
Misal:
u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2

y’ = sec2u . u’
y’ = sec2(2x+1) . 2
y’ = 2sec2(2x+1)

Contoh Soal 4

Turunan dari y+3 sin x – cos x adalah

Jawaban:
Misal:
f(x)= sin x ⇒ f’(x) = cos x
f(x)= cos x ⇒ f’(x) = – sin x

y= 3 sin x – cos x
y’= 3 cos x – (-sin x)
y’= 3 cos x  – sin x

Contoh Soal 5

Turunan dari y = 𝑠𝑖𝑛3 (2x – 4) adalah y’ = ….

Jawaban:
y = 𝑠𝑖𝑛3 (2x – 4)
y’ = 3 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4) cos (2x – 4) (2)
y’ = 6 cos (2x – 4) 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4)

Contoh Soal 6

Turunan pertama dari f(x) = 𝑠𝑖𝑛4 (3x² – 2) adalah…

Jawaban:
f(x) = 𝑠𝑖𝑛4 (3x² – 2)
f’(x) = 4 𝑠𝑖𝑛3 (3x² – 2) cos (3x² – 2) (6x)
f’(x) = 2.6x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) (2. sin (3x² – 2) cos (3x² – 2))
f’(x) = 12x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin 2(3x² – 2)
f’(x) = 12x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² – 4)

Contoh Soal 7

Turunan pertama dari y = 14 sin 4x adalah…

Jawaban:
y = 14 sin 4x
y’ = 14 cos 4x (4) 
y’  = cos 4x

Contoh Soal 8 

Tentukan turunan y = sin⁶(x² + 3x)

Jawaban:
Misal :
g(x) = (x² + 3x) ⇒ g'(x) = 2x + 3

y = c sinⁿ g(x)
y’ = c. n sin^n-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)
y’ = 6 sin⁵ (x² + 3x) . cos (x² + 3x) . (2x + 3)
y’ = 6(2x + 3) sin⁵ (x² + 3x) . cos(x² + 3x)

Contoh Soal 9 

Carilah turunan dari y = x² cos 2x 

Jawaban:
Misal :
u = x² ⇒ u’= 2x
v = cos 2x ⇒ v’= −2 sin 2x

y’ = u’.v + u.v’
y’ = 2x . cos 2x + (x²) . (−2 sin 2x)
y’ = 2x cos 2x − 2x² sin 2x
y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x) 

Contoh Soal 10 

Tentukan turunan pertama dari fungsi y = (sin x + cos x)^s

Jawaban:
Misal:
g(x) = sin x + cos x ⇒ g'(x) = cos x – sin x

y = (sin x + cos x)²
y’ = n [g(x)]^n-1. g ‘(x)
y’ = 2 (sin x + cos x)^2-1.(cos x − sin x)
y’ = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
y’ = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
y’ = 2 (cos² x − sin² x)
y’ = 2 (cos² x − (1 − cos² x))
y’ = 2 (2cos² x − 1)
y’ = 4cos² x − 2.

Demikian pembelajaran kita hari ini mengenai turunan trigonometri, mulai definisi, rumus hingga contoh soal turunan trigonometri. Semoga pembelajar ini membuatmu lebih memahami tentang trigonometri, ya. Belajar matematika memang susah-susah gampang. Namun, ketika kamu menikmatinya, semua akan menjadi lebih mudah. Hal yang kamu butuhkan adalah belajar lebih fokus dan lebih giat lagi. Selamat belajar!

---

Klik dan dapatkan info kost di dekat mu:

Kost Jogja Harga Murah

Kost Jakarta Harga Murah

Kost Bandung Harga Murah

Kost Denpasar Bali Harga Murah

Kost Surabaya Harga Murah

Kost Semarang Harga Murah

Kost Malang Harga Murah

Kost Solo Harga Murah

Kost Bekasi Harga Murah

Kost Medan Harga Murah