Advertisement
Source : Canva.com/@Bluestocking

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya, Yuk Kita Pelajari!

Integral substitusi adalah metode pengerjaan integral dengan menyederhanakan variabel. Yuk, simak contoh soal integral substitusi di sini!

12 Februari 2025 Citra

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya (Trigonometri)

Selesaikan persamaan ini \ \int \sqrt{3 - x^2} \, dx !

Penyelesaian:

Hal pertama yang wajib kita lakukan adalah identifikasi pola dan memilih substitusi. Dari soal, kita melihat bahwa bentuk integral dalam soal menyerupai \ \sqrt{a^2 - x^2} di mana \ a = \sqrt{3} .

Kali ini, kita akan menggunakan substitusi:

\ x = \sqrt{3} \sin(\theta)

Kemudian, hitung diferensial 𝑑π‘₯:

\ dx = \sqrt{3} \cos(\theta) \, d\theta

12 Contoh Soal Polinomial beserta Penyelesaiannya Lengkap

Baca Juga :

12 Contoh Soal Polinomial beserta Penyelesaiannya Lengkap

Langkah kedua lakukan substitusi ke dalam integral dengan menggantikan π‘₯ dan 𝑑π‘₯ dalam integral melalui langkah-langkah berikut ini:

\ \int \sqrt{3 - (\sqrt{3} \sin(\theta))^2} \cdot \sqrt{3} \cos(\theta) \, d\theta

\ = \int \sqrt{3 - (3 \sin(\theta))^2} \cdot \sqrt{3} \cos(\theta) \, d\theta

\ = \int \sqrt{3(1 - \sin^2(\theta))} \cdot \sqrt{3} \cos(\theta) \, d\theta

Karena 1βˆ’sin2(πœƒ)=cos2(πœƒ) maka integral menjadi:

\ \int \sqrt{3 \cos^2(\theta)} \cdot \sqrt{3} \cos(\theta) \, d\theta

\ = \int \sqrt{3} \cos(\theta) \cdot \sqrt{3} \cos(\theta) \, d\theta

= 3∫cos2(θ)dθ

Gunakan identitas trigonometri untuk mengintegralkan cos2(πœƒ):

\ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}

\ = \frac{3}{2} \int (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta

\ = \frac{3}{2} \left( \int 1 \, d\theta + \int \cos(2\theta) \, d\theta \right)

\ = \frac{3}{2} \left( \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right) + C

\ = \frac{3}{2} \theta + \frac{3}{4} \sin(2\theta) + C

Kita perlu mengganti kembali ΞΈ dengan π‘₯. Dari substitusi awal π‘₯=sin(πœƒ), kita dapat menulis:

\ \sin(\theta) = \frac{x}{\sqrt{3}}

Jadi, \ \theta = \arcsin \left( \frac{X}{\sqrt{3}} \right)

Untuk sin (2πœƒ), gunakan identitas trigonometri:

sin (2πœƒ) =2 sin (πœƒ)cos (πœƒ)

Dari \ \sin(\theta) = \frac{x}{\sqrt{3}} dan \ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{\sqrt{3 - x^2}}{3}

\ \sin(2\theta) = 2 \left( \frac{X}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{\sqrt{3-x^2}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2x \sqrt{3-x^2}}{3}

Maka integral dalam variabel x menjadi:

\ \frac{3}{2} \arcsin \left( \frac{X}{\sqrt{3}} \right) + \frac{3}{4} \left( \frac{2x \sqrt{3-x^2}}{3} \right) + C

\ = \frac{3}{2} \arcsin \left( \frac{X}{\sqrt{3}} \right) + \frac{x \sqrt{3-x^2}}{2} + C

Jadi penyelesaiannya adalah

\ \int \sqrt{3-x^2} \, dx = \frac{3}{2} \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + \frac{x \sqrt{3-x^2}}{2} + C Β Β 

Penutup

Dengan belajar melalui contoh soal integral substitusi beserta jawabannya yang Mamikos sediakan, kamu mungkin sudah mendapatkan gambaran mengenai cara integral substitusi menyederhanakan dan menyelesaikan persamaan.

Semoga definisi singkat dan contoh-contoh yang disajikan dalam artikel ini membantu proses belajar kamu dan membuatmu lebih memahami konsep integral substitusi.

Jangan lupa untuk membaca bagian FAQ di akhir artikel ini kalau ada yang masih ingin kamu tayakan. Selamat belajar, adik-adik!

FAQ

Apakah metode substitusi dapat mengubah batas integral?

Ya, metode substitusi dapat mengubah batas integral. Ketika menggunakan substitusi, batas integral asli harus diubah sesuai dengan substitusi yang digunakan.

Apa yang dimaksud dengan integral parsial dan bagaimana cara menyelesaikannya?

Integral parsial adalah metode untuk menemukan integral dari produk dua fungsi menggunakan aturan tertentu. Cara menyelesaikannya adalah dengan menggunakan rumus βˆ«π‘’β€‰π‘‘π‘£ = π‘’π‘£βˆ’βˆ«π‘£β€‰π‘‘π‘’, di mana 𝑒 dan 𝑑𝑣 dipilih sesuai kebutuhan agar integral yang tersisa lebih mudah diintegrasikan.

Apa rumus integral tak tentu?

Rumus integral tak tentu adalah βˆ«π‘“(π‘₯) 𝑑π‘₯=𝐹(π‘₯)+𝐢 di mana 𝐹(π‘₯) adalah fungsi primitif dari 𝑓(π‘₯) dan 𝐢 adalah konstanta integrasi. Integral tak tentu menghasilkan keluarga fungsi yang berbeda hanya dalam konstanta 𝐢.

Rumus integral ada berapa?

Ada dua jenis utama rumus integral: integral tak tentu dan integral tentu. Integral tak tentu memberikan fungsi anti turunan tanpa batasan, sedangkan integral tentu menghitung area di bawah kurva dengan batas atas dan bawah tertentu.

Teknik Pengintegralan ada berapa?

Ada beberapa teknik pengintegralan yang umum digunakan, termasuk integrasi langsung, substitusi, integrasi parsial, dan substitusi trigonometri.

Referensi:

Halaman:

1 2 3 Tampilkan Semua
Advertisement

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

Tags Contoh Soal dan Jawaban Contoh Soal Integral Soal Matematika

Latihan Soal

10 Contoh Soal Perkalian Matriks beserta Pembahasannya dalam Matematika 22 September 2026 | Latihan Soal
Advertisement
19+ Contoh Soal Pilihan Ganda tentang Sampah Organik dan Anorganik serta Jawabannya 21 September 2026 | Latihan Soal
21 Contoh Soal TKA Matematika Wajib Oleh Puspendik 2026 dan Kunci Jawabannya 21 September 2026 | Latihan Soal
60 Contoh Soal UTS/PTS Bahasa Inggris Kelas 7 Semester 1 beserta Jawabannya 18 September 2026 | Latihan Soal
23 Contoh Soal Biologi tentang Biokimia beserta Jawabannya 14 September 2026 | Latihan Soal
Lihat Semua
Materi Sekolah Lihat Semua
Lihat Semua
Tips Belajar Lihat Semua
Lihat Semua